1、1第 7章 立体几何 第 2讲A组 基础关1如图是某个几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A2 B22 3C4 D43 2答案 A解析 由三视图可知，该几何体是由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体这个几何体的体积 V 1 21 ( )222 .12 12 2 22早在公元前三百多年我国已经运用“以度审容”的科学方法，其中商鞅铜方升是公元前 344年商鞅督造的一种标准量器，其三视图如图所示(单位：寸)，若 取 3，其体积为 12.6(立方寸)，则图中的 x为( )A1.2 B1.6C1.8 D2.4答案 B解析 由三视图知，商鞅铜方升是由一个圆柱和一个长方体组合而成的，利用体积及已知线段长度即
2、可求出 x.故其体积为(5.4 x)231 2x16.23 x x12.6，又 3，故 x1.6.故选 B.(12) 143一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 120的扇形，则该圆锥的高为( )A. B 12 2C. D232答案 B解析 设圆锥的底面半径为 r，它的侧面展开图是圆心角为 120的扇形，圆锥的母线长为 3r，又圆锥的表面积为 ， r(r3 r)，解得 r ， l ，故圆锥的高 h .12 32 l2 r2 24如图，在边长为 1的正方形组成的网格中，画出的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A9 B272C18 D27答案 A解析 根据三视图可知，几何体是
3、一个三棱锥 A BCD，三棱锥的外面是长、宽、高为36,3,3的长方体，几何体的体积 V 6339.13 125(2018日照一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A. B163 112C D173 356答案 A解析 该几何体可以看成是在一个半球上叠加一个 圆锥，然后挖掉一个相同的 圆锥，14 14所以该几何体的体积和半球的体积相等由图可知，球的半径为 2，则 V r3 .故23 163选 A.6(2018江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为 1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A64 2 B842 3 2C66
4、 D62 42 2 3答案 A4解析 直观图是四棱锥 P ABCD，如图所示， S PAB S PAD S PDC 222， S12PBC 2 2 sin602 ， S 四边形 ABCD2 24 ，因此所求棱锥的表面积为12 2 2 3 2 264 2 .故选 A.2 37(2017衡水中学三调)已知正方体 ABCD A B C D的外接球的体积为 ，32将正方体割去部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则剩余几何体的表面积为( )A. B3 或 92 32 3 92 32C2 D 或 2392 32 3答案 B解析 设正方体的棱长为 a，依题意得， ，解得 a1.由三视图可知，43 33a38
5、 32该几何体的直观图有以下两种可能，图 1对应的几何体的表面积为 ，图 2对应的几何92 32体的表面积为 3 .故选 B.358圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3倍，母线长为 3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为_答案 7解析 设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r.由 S( r3 r)384，解得 r7.9已知在长方体 ABCD A1B1C1D1中，底面是边长为 2的正方形，高为 4，则点 A1到截面 AB1D1的距离是_答案 43解析 如图，设 A1C1 B1D1 O1， B1D1 A1O1， B1D1 AA1， B1D1平面 AA1O1，故平面 AA1O1平
6、面 AB1D1，交线为 AO1，在平面 AA1O1内过 A1作 A1H AO1于 H，则易知 A1H的长即是点 A1到截面 AB1D1的距离，在 Rt A1O1A中， A1O1 ， AO13 ，由 A1O1A1A hAO1，可得 A1H .2 24310我国古代数学经典名著九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑(bi no)若三棱锥P ABC为鳖臑，且 PA平面 ABC， PA AB2，且该鳖臑的外接球的表面积为 24，则该鳖臑的体积为_答案 836解析 根据题意，三棱锥 P ABC为鳖臑，且 PA平面 ABC， PA AB2，如
7、图所示，可得 PAB PAC ABC PBC90.易知 PC为外接球的直径，设外接球的半径为 R.又该鳖臑的外接球的表面积为 24，则 R2 6，则 BC 2444，则该鳖臑的体积为 242 . 26 2 22 213 12 83B组 能力关1(2018山西五校 3月联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽 3丈，长 4丈；上棱长 2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知 1丈为 10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1丈，则该楔体
8、的体积为( )A5000 立方尺 B5500 立方尺C6000 立方尺 D6500 立方尺答案 A7解析 该楔体的直观图如图中的几何体 ABCDEF.取 AB的中点 G， CD的中点 H，连接FG， GH， HF，则该几何体的体积为四棱锥 F GBCH与三棱柱 ADE GHF的体积之和又可以将三棱柱 ADE GHF割补成高为 EF，底面积为 S 31 平方丈的一个直棱柱，故该楔12 32体的体积 V 2 2315 立方丈5000 立方尺故选 A.32 132(2018汕头一模)已知一个四棱锥的正(主)视图和俯视图如图所示，其中a b10，则该四棱锥的高的最大值为( )A3 B23 3C4 D2
9、答案 C解析 如图所示，由题意知，平面 PAD平面 ABCD，且点 P到 AD的距离为 x，当 x最大时，四棱锥的体积最大，因为 PA PD106，所以点 P的轨迹为一个椭圆，由椭圆的性质得，当 a b时， x取得最大值 4，8即该四棱锥的高的最大值为 4.3某几何体的正视图和侧视图如图(1)所示，它的俯视图的直观图是 A B C，如图(2)所示，其中 O A O B2， O C ，则该几何体的表面积为( )3A3612 B2483 3C2412 D3683 3答案 C解析 由俯视图的直观图可得该几何体的底面是边长为 4的等边三角形，由正视图与侧视图可得该几何体是高为 6的三棱锥(如图所示的三
10、棱锥 P ABC)，其中 PB底面 ABC，所以该几何体的表面积 S 422 46 4 2412 ，故选34 12 12 62 23 2 3C.4(2018安徽皖江最后一卷)某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为( )9A11 B12C13 D14答案 A解析 由三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥 A BCD，外接球球心 O在过 CD中点 E且垂直于平面 BCD的直线 l上，又点 O到 A， D距离相等，点 O又在线段 AD的垂直平分面 上，故 O是直线 l与面 的交点，可知 O是直线 l与直线 MN的交点( M， N分别是左侧正方体对棱的中点)， OE NE ， OD ，32
11、OE2 DE2故三棱锥 A BCD外接球的半径 R ，表面积为 S11.1125(2018全国卷)已知圆锥的顶点为 S，母线 SA， SB所成角的余弦值为 ， SA与圆78锥底面所成角为 45，若 SAB的面积为 5 ，则该圆锥的侧面积为_15答案 40 2解析 因为母线 SA， SB所成角的余弦值为 ，所以母线 SA， SB所成角的正弦值为 ，78 158因为 SAB的面积为 5 ，设母线长为 l，所以 l2 5 ，所以 l280，1512 158 15因为 SA与圆锥底面所成角为 45，所以底面圆的半径为 lcos l，4 22因此，圆锥的侧面积为 rl l240 .22 26如图所示，等
12、腰三角形 ABC的底边 AB6 ，高 CD3，点 E是线段 BD上异于点6B， D的动点，点 F在 BC边上，且 EF AB，现沿 EF将 BEF折起到 PEF的位置，使PE AE，记 BE x， V(x)表示四棱锥 P ACFE的体积，求 V(x)的最大值10解 因为 PE EF， PE AE， EF AE E，所以 PE平面 ABC.因为 CD AB， FE AB，所以 EF CD，所以 ，EFCD BEBD即 ，所以 EF ，EF3 x36 x6所以 S ABC 6 39 ，12 6 6S BEF x x2，12 x6 612所以 V(x) x13 (96 612x2) x (00， V(x)单调递增；当 6x3 时， V( x)0， V(x)单调递减，6因此当 x6 时， V(x)取得最大值 12 .611
