1、- 1 -6 平面向量数量积的坐标表示课后篇巩固探究A组 基础巩固1.若向量 a=(1,2),b=(-3,4),则(ab)(a+b)=( )A.20 B.54C.(-10,30) D.(-8,24)解析 ab=-3+8=5,a+b=(-2,6), (ab)(a+b)=(-10,30).答案 C2.已知向量 a=(1,k),b=(2,2),且 a+b与 a共线,则向量 a与向量 c=( ,-1)的夹角的余弦值是( )A. B.C. D.解析 a+b=(3,k+2),又 a+b与 a共线,所以 k+2=3k,解得 k=1,于是 a=(1,1),设 a与 c夹角为 ,则 cos = .答案 B3.在
2、以 OA为边, OB为对角线的矩形中, =(-3,1), =(-2,k),则实数 k=( )A.4 B.3 C. D.4解析 由已知得 =(1,k-1),而由题意得 ,即 =-3+k-1=0,故 k=4.答案 D4.已知 a=(2,4),则与 a垂直的单位向量的坐标是( )A.B.C.D.解析 由已知得与 a=(2,4)垂直的向量为 b= (4,-2),即 b=(4 ,-2 ),又 |b|=1,所以 = ,于是所求单位向量为 .答案 D5.设 x,yR,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则 |a+b|=( )A. B. C.2 D.10解析 向量 a=(x
3、,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 ac,bc,则有 2x-4=0,-4-2y=0,解得 x=2,y=-2,故a+b=(3,-1),故有 |a+b|= ,故选 B.- 2 -答案 B6.若平面向量 b与向量 a=(1,-2)的夹角是 180,且 |b|=3 ,则 b= . 解析 由题意知 b= (1,-2)=( ,-2 )(= =- ,故选 B.答案 B2.已知 O为坐标原点,向量 =(3sin ,cos ), =(2sin ,5sin - 4cos ), ,且 ,则 tan 的值为( )A.- B.- C. D.解析 由题意知 6sin2+ cos (5sin - 4cos )=0
4、,即 6sin2+ 5sin cos -4cos2= 0,等式两边同时除以 cos2 ,得 6tan2+ 5tan - 4=0,由于 ,所以 tan 0得 k-2,又当 ab 时,2 k=1,k= ,所以 a与 b夹角为锐角时, k的范围是.答案 B- 4 -4.已知 a,b,c均为单位向量,且 |a+b|=1,则(a-b)c 的取值范围是( )A.0,1 B.-1,1C.- D.0, 解析 由 a,b为单位向量和|a+b| =1的几何意义,可知 |a-b|= ,设 a-b与 c的夹角为 ,则(a-b)c=|a-b|c|cos = cos , cos -1,1, (a-b)c的取值范围为 -
5、.答案 C5.设 a=(4,-3),b=(2,1),若 a+tb与 b的夹角为 45,则 t的值为 . 解析 a=(4,-3),b=(2,1), a+tb=(4+2t,-3+t). a+tb与 b的夹角为 45, (a+tb)b=|a+tb|b|cos 45, 2(4+2t)+(-3+t)1= , 5t+5= . (t+1). 将 式两边平方得 t2+2t-3=0,解得 t=1或 t=-3.当 t=-3时, 式无意义, t=- 3舍去,故 t=1.答案 16.在平面直角坐标系 xOy中,已知点 A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).(1)求以线段 AB,AC为邻边的平行四边形的两条
6、对角线的长;(2)设实数 t满足( -t ) =0,求 t的值 .解 (1)由题设知 =(3,5), =(-1,1),则 =(2,6), =(4,4),所以 | |=2 ,| |=4 .故所求的两条对角线的长分别为 2 ,4 .(2)由题设知 =(-2,-1), -t =(3+2t,5+t).由( -t )=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而 5t=-11,所以 t=- .7. 导学号 93774079 在四边形 ABCD中, =a, =b, =c, =d,且ab=bc=cd=da,试问四边形 ABCD是什么图形?- 5 -解 因为 a+b+c+d=0,所以 a+b=-(c+d
7、).所以(a+b) 2=(c+d)2,即|a| 2+2ab+|b|2=|c|2+2cd+|d|2.因为 ab=cd,所以|a| 2+|b|2=|c|2+|d|2. 同理,有|a| 2+|d|2=|c|2+|b|2. 由 可得 |a|=|c|,且|b|=|d|,即四边形 ABCD的两组对边分别相等 .所以四边形 ABCD是平行四边形 .又由 ab=bc得 b(a-c)=0.而由平行四边形 ABCD的性质得 a=-c,代入上式得 b(2a)=0,即 ab=0.所以 ab,即 AB BC.综上所述,四边形 ABCD是矩形 .8. 导学号 93774080 如图,在 ABC中, =0,| |=8,| |=6,l为线段 BC的垂直平分线, l与 BC交于点 D,E为 l上异于 D的任意一点 .(1)求 的值;(2)判断 的值是否为一个常数,并说明理由 .解 (1)以点 D为坐标原点, BC所在直线为 x轴,直线 l为 y轴建立平面直角坐标系,由题意易知|BC|=10,则 D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A ,此时 =(-10,0),所以 =- (-10)+ 0=14.(2)设点 E的坐标为(0, y)(y0),此时 ,所以 =- (-10)+ 0=14,为常数,故 的值是一个常数 .- 6 -
