1、考研数学一-概率论与数理统计(一)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x，有_（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1B.F(1+x)+F(1-x)=1C.F(x+1)+F(x-1)=1D.F(1-x)+F(x-1)=12.设 XP()，P 1 ，P 2 分别为随机变量 X 取偶数和奇数的概率，则_（分数：4.00）A.P1=P2B.P1P2C.P1P2D.P1，P2 大小关系不定3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(-x)
2、=f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对于任意实数 a，有_ A B （分数：4.00）A.B.C.D.4.设二维随机变量(X，Y)在区域 D:x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=PX 2 +9Y 2 9a 2 ，则 Ap 的值与 a 无关，且 Bp 的值与 a 无关，且 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+by 亦不相关，则_（分数：4.00）A.a-b=1B.a-b=0C.a+b=1D.a+b=06.已知总体 X 的期望 E(X)=0，方差 D(X)=
3、 2 X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为 ，则下面可以作为 2 无偏估计量的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时， （分数：4.00）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，C 为任意常数，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.9.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自 X 的简单随机样本，
4、统计量 （分数：4.00）A.4B.2C.3D.510.在假设检验中，如果待检验的原假设为 H 0 ，那么犯第二类错误是指_（分数：4.00）A.H0 成立，接受 H0B.H0 不成立，接受 H0C.H0 成立，拒绝 H0D.H0 不成立，拒绝 H0二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从 1，2，3，4，5 中任取一个数，且取后放回，用 b i 表示第 i 次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量 b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T ，三阶方阵 （分数：6.00）_甲、乙两个人投球，甲先投，当有任一人投进之后便获胜，比赛结束设甲、乙命中率分别为 p 1 ，p 2 ，0p
5、 1 ，p 2 1 求：（分数：6.00）(1).甲、乙投球次数 X 1 与 X 2 的分布；（分数：3.00）_(2).若使甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则 p 1 ，p 2 满足什么条件?（分数：3.00）_12.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，又 （分数：6.00）_设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）_(2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）_(3).概率 PX+Y1，PYX及 （分数：2.00）_设(X，Y)服从 D=(x，y)|y0，x 2 +y 2 1上的均匀分布，定义 （分数：6.00）
6、(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）_(2).求关于 V 的边缘分布律；（分数：2.00）_(3).求在 U=1 的条件下 V 的分布律（分数：2.00）_13.设随机变量 X 的概率密度为 ，求随机变量 （分数：6.00）_设随机变量 X 在区间(0，2)上随机取值，在 X=x(1x2)条件下，随机变量 Y 在区间(1，x)上服从均匀分布（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问 X 与 Y 是否独立；（分数：2.00）_(2).求 P3Y2X；（分数：2.00）_(3).记 Z=X-Y，求 Z 的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_设随机变量 X 与
7、 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度函数为 （分数：6.00）(1). （分数：3.00）_(2).Z 的概率密度函数（分数：3.00）_设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：6.00）(1).U 的分布函数 F 1 (u)；（分数：2.00）_(2).V 的分布函数 F 2 (v)；（分数：2.00）_(3).PUu，Vv(uv0)，并判断 U 与 V 是否独立（分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y2上服从二维均匀分布，随机变量 （分数：6.00）(1).U 和 V 的联合概率分布；（分数：3.00）_(2).讨论
8、 U 和 V 的相关性和独立性（分数：3.00）_考研数学一-概率论与数理统计(一)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：40.00)1.设随机变量 X 服从正态分布 N(1， 2 )，其分布函数为 F(x)，则对任意实数 x，有_（分数：4.00）A.F(x)+F(-x)=1B.F(1+x)+F(1-x)=1 C.F(x+1)+F(x-1)=1D.F(1-x)+F(x-1)=1解析：解析 由于 XN(1， 2 )，所以 X 的密度函数 f(x)的图形是关于 x=1 对称的，而 2.设 XP()，P 1 ，P 2 分别为随机变量 X 取偶数和奇数的
9、概率，则_（分数：4.00）A.P1=P2B.P1P2C.P1P2 D.P1，P2 大小关系不定解析：解析 若 XP()，则 ，其中 X 取偶数的概率为 X 取奇数的概率为 于是 3.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)，且 f(-x)=f(x)，F(x)是 X 的分布函数，则对于任意实数 a，有_ A B （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 概率密度 f(x)为偶函数，于是对于任意实数 a，有 F(-a)=1-F(a)成立；利用区间可加性得 结合上面的等式，于是得 4.设二维随机变量(X，Y)在区域 D:x 2 +y 2 9a 2 (a0)上服从均匀分布，p=PX 2 +9Y
10、2 9a 2 ，则 Ap 的值与 a 无关，且 Bp 的值与 a 无关，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 因为(X，Y)在区域 D：x 2 +y 2 9a 2 上服从均匀分布， 所以(X，Y)的联合密度函数为 5.设随机变量 X 与 Y 服从正态分布 N(-1，2)与 N(1，2)，并且 X 与 Y 不相关，aX+Y 与 X+by 亦不相关，则_（分数：4.00）A.a-b=1B.a-b=0C.a+b=1D.a+b=0 解析：解析 XN(-1，2)，YN(1，2)，于是 D(X)=2，D(Y)=2 又 Cov(X，Y)=0，Cov(aX+Y，X+bY)=0，由协方差的性质有
11、6.已知总体 X 的期望 E(X)=0，方差 D(X)= 2 X 1 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本，其均值为 ，则下面可以作为 2 无偏估计量的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 E(X)=0，D(X)=E(X 2 )= 2 ，则 所以选择 C对于 A，B 选项，由 E(S 2 )= 2 ，知 7.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时， （分数：4.00）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布 D.服从同一连续型分布解析：解析 辛钦大数定律的应用条件为：“独立同分布且数学期望存在”
12、，选项 A 缺少同分布条件，选项 B、D 虽然服从同一分布但不能保证期望存在，只有 C 符合该条件故选 C8.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X 的简单随机样本， 是样本均值，C 为任意常数，则_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 9.设总体 X 服从正态分布 N(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 10 是来自 X 的简单随机样本，统计量 （分数：4.00）A.4B.2 C.3D.5解析：解析 因为 X 1 ，X 2 ，X 10 是来自 X 的简单随机样本，故独立同分布于 N(0， 2 ) 因此 ，则有 又 与 相互独立，故 与 Y 比较，得 10
13、.在假设检验中，如果待检验的原假设为 H 0 ，那么犯第二类错误是指_（分数：4.00）A.H0 成立，接受 H0B.H0 不成立，接受 H0 C.H0 成立，拒绝 H0D.H0 不成立，拒绝 H0解析：解析 直接应用“犯第二类错误”=“取伪”=“H 0 不成立，接受 H 0 ”的定义，选择 B二、解答题(总题数：10，分数：60.00)11.每次从 1，2，3，4，5 中任取一个数，且取后放回，用 b i 表示第 i 次取出的数(i=1，2，3)，三维列向量 b=(b 1 ,b 2 ,b 3 ) T ，三阶方阵 （分数：6.00）_正确答案：()解析：对增广矩阵 作初等行变换有 于是 Ax=
14、b 有解的充要条件是 ，即 b 3 -2b 2 +b 1 =0，其中 b 1 ，b 2 ，b 3 相互独立，且分布律相同： ，k=1，2，3，4，5，i=1，2，3 所以 Ax=b 有解的概率为 甲、乙两个人投球，甲先投，当有任一人投进之后便获胜，比赛结束设甲、乙命中率分别为 p 1 ，p 2 ，0p 1 ，p 2 1 求：（分数：6.00）(1).甲、乙投球次数 X 1 与 X 2 的分布；（分数：3.00）_正确答案：()解析：每次投篮是相互独立的与其他几次无关 事件 X 1 =n 表示“甲投了 n 次”，即“甲、乙各自在前 n-1 次没有投进，在第 n 次时甲投进或乙投进”，所以 PX
15、1 -n=(q 1 q 2 ) n-1 (p 1 +q 1 p 2 )，n=1，2，其中：q i =1-p i ，i=1，2 事件“X 2 =m”表示“乙投了 m 次”，即“甲、乙前 m-1 次均没有投进，甲在第 m 次也没有投进，乙在第m 次投进”，或“甲、乙前 m 次均没有投进，甲在第 m+1 次投进” 特殊地，当 m=0 时，表示甲第一次就投中，所以 PX 2 =m=(q 1 q 2 ) m-1 (q 1 p 2 +q 1 q 2 p 1 )=q 1 (p 2 +q 2 p 1 )(q 1 q 2 ) m-1 ，m=1，2，(2).若使甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则 p 1 ，p 2
16、满足什么条件?（分数：3.00）_正确答案：()解析：设事件 A 表示“甲获胜”，则总投篮次数为奇数当 X 1 +X 2 =2n-1 时，意味着甲、乙前 n-1 次都未投进，甲在第 n 次投进，于是有 PX 1 +X 2 =2n-1=p 1 (q 1 q 2 ) n-1 ，则 若甲、乙两人赢得比赛的概率相同，则 ，可得 ，即 12.设随机变量 X 在区间(0，1)上服从均匀分布，又 （分数：6.00）_正确答案：()解析：解法一： 应用单调函数公式法先求 Y 的概率密度 f Y (y) 由于 X 在(0，1)内取值 所以 的值域为(0，+)，且 y=g(x)在(0，1)单调 因此其反函数 在(
17、0，+)内单调可导，其导数 h“(y)=2e -2y ，在其定义域(0，+)内恒不为零 又因为 X 的概率密度 所以 Y 的概率密度 因此可见 Y 服从参数为 2 的指数分布，其分布函数为 解法二： 用分布函数法先求出 Y 的分布函数 F Y (y) 当 y0 时，F Y (y)=0； 当 y0 时，0x=1-e -2y 1， 最后一步是由于 X 服从(0，1)上的均匀分布 故所求 Y 的分布函数为 将 F Y (y)对 y 求导，得 设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：6.00）(1).(X，Y)的分布函数；（分数：2.00）_正确答案：()解析：当 x0 或 y0 时，f(x，y)=
18、0，故 F(x，y)=0 当 0x1，0y2 时， 当 0x1，y2 时， 当 x1，0Y2 时， 当 x1，y2 时， 综上所述，分布函数为 (2).(X，Y)的边缘分布密度；（分数：2.00）_正确答案：()解析：当 0x1 时， 当 0y2 时， (3).概率 PX+Y1，PYX及 （分数：2.00）_正确答案：()解析：如下图所示， 如下图所示， 所以 设(X，Y)服从 D=(x，y)|y0，x 2 +y 2 1上的均匀分布，定义 （分数：6.00）(1).求(U，V)的联合分布律；（分数：2.00）_正确答案：()解析：由题设可知 ，故 (U，V)的可能值为(0，0)，(0，-1)，
19、(0，1)，(1，-1)，(1，0)，(1，1) 则 (UV)的联合分布律为 (2).求关于 V 的边缘分布律；（分数：2.00）_正确答案：()解析：由(U，V)的联合分布律得 V 的边缘分布律为 (3).求在 U=1 的条件下 V 的分布律（分数：2.00）_正确答案：()解析： ，所以 所以所求 V 的分布律为 13.设随机变量 X 的概率密度为 ，求随机变量 （分数：6.00）_正确答案：()解析：记 如下图所示，(x)在0，+)内最小值为-1，无最大值，在0，+)左端点处的值为 0y=-1，0 将 y 轴分成(-，-1)，-1，0)，0，+)三个区间 当 y(-，-1)时，F Y (
20、y)=0 当 y-1，0)时，纵坐标为 y 的水平直线关于曲线 y=(x)内的集合在 x 轴上的投影与0，+)的交集为 F Y (y)=f X (x)在 上的积分为 当 y0，+)时，纵坐标为 y 的水平直线关于曲线 y=(x)内的集合在 x 轴的投影与0，+)的交集为 ，此时 F Y (y)=f X (x)在 上的积分为 综上所述，y 的分布函数为 设随机变量 X 在区间(0，2)上随机取值，在 X=x(1x2)条件下，随机变量 Y 在区间(1，x)上服从均匀分布（分数：6.00）(1).求(X，Y)的联合概率密度，并问 X 与 Y 是否独立；（分数：2.00）_正确答案：()解析：根据题设
21、 X 在(0,2)上服从均匀分布，其密度函数为 而变量 Y，在 X=x(1-x2)的条件下，在区间(1，x)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为 再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度 又 所以 (2).求 P3Y2X；（分数：2.00）_正确答案：()解析：如下图所示， (3).记 Z=X-Y，求 Z 的概率密度 f Z (z)（分数：2.00）_正确答案：()解析：已知(x，y)f(x，y)，则 Z=X-Y 的取值范围为 0Z1当 0z1 时，Z=X-Y 的分布函数为 则 故 设随机变量 X 与 Y 相互独立，X 的概率分布为 ，Y 的概率密度函数为 （分数：6.00）(1). （分数
22、：3.00）_正确答案：()解析：(2).Z 的概率密度函数（分数：3.00）_正确答案：()解析：F Z (z)=PZz=PX+Yz=PX=-1，Yz+1+PX=0，Yz+PX=1，Yz-1因为 X 与 Y 相互独立，故 当 z+10(z-1-2)，即 z-1 时，f Y (y)=0，从而 F Z (z)=0； 当 0z+11(-2z-1-1)，即-1z0 时， 当-1z-10(1z+12)，即 0z1 时， 当 0z-11(2z+13)，即 1z2 时， 当 1z-1(3z+1)，即 z2 时， 综上 故 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度为 （分数：6.00）(1).U 的分布
23、函数 F 1 (u)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：当 u0 时，F 1 (u)=0； 当 u0 时， 故 U 的分布函数 F 1 (u)为 (2).V 的分布函数 F 2 (v)；（分数：2.00）_正确答案：()解析：当 v0 时，F 2 (v)=0； 当 v0 时， 故 V 的分布函数 F 2 (v)为 (3).PUu，Vv(uv0)，并判断 U 与 V 是否独立（分数：2.00）_正确答案：()解析：设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 D=(x，y)|0x2，0y2上服从二维均匀分布，随机变量 （分数：6.00）(1).U 和 V 的联合概率分布；（分数：3.00）_正确答案：()解析：(U，V)的可能取值为(-1,-1)，(-1,1)，(1,-1,)，(1,1)，如下图 依题意知，X 与 Y 的联合概率密度为 则有 同理 类似地可以计算出其他 P ij 的值： (2).讨论 U 和 V 的相关性和独立性（分数：3.00）_正确答案：()解析：从(U，V)的联合分布与边缘分布可以计算出
