1、考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 6及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A为常数，则 F = ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关，随 增大而增大B.与 a无关，随 增大而减小C.与 无关，随 a增大而增大D.与 无关，随 a增大而减小4.设随机变量 X与 Y均服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )
2、，记 p 1 =PX-4)，p 2 =PY+5)，则 ( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，都有 p 1 =p 2B.对任意实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任意实数 ，都有 p 1 p 25.设 X的概率密度为 f(x)= ，则 Y=2X的概率密度为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.已知随机向量(X 1 ，X 2 )的概率密度为 f 1 (x 1 ，x 2 )，设 Y 1 =2X 1 ， ，则随机向量(Y 1 ，Y 2 )的概率密度为 f 2 (y 1 ，y 2 )= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5
3、，分数：10.00)7.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 f Y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设二维随机变量(X，Y)在区域 D= （分数：2.00）填空项 1:_10.设二维随机变量(X，Y)在 G= 上服从均匀分布，则条件概率 （分数：2.00）填空项 1:_11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或
4、演算步骤。_已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：4.00）(1).求 X 1 与 X 2 的联合分布；（分数：2.00）_(2).问 X 1 与 X 2 是否独立?为什么?（分数：2.00）_13.设随机变量 X与 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.00）_14.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_15.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_16.设二次方程 x 2 -Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度（分数：2.00）_17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为
5、 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为2n，p 的二项分布（分数：2.00）_18.设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 （分数：2.00）_19.设随机变量 X与 Y相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=X-Y的概率密度及 （分数：2.00）_20.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_21.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.00）_23.设 X关于 Y的条件概率密度为 而 Y的概率密度为 求 （分数
6、：2.00）_24.设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1上的均匀分布，试求给定 Y=y的条件下 X的条件概率密度函数 f XY (xy)（分数：2.00）_25.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_26.市场上有两种股票，股票 A的价格为 60元股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B的价格为 40元股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 32，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有 10000元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设银行 1年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收
7、益不少于 800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1 ，s 2 ，s 3 )，并计算该策略的收益的标准差（分数：2.00）_27.设随机变量服从几何分布，其分布律为 P(X=k)=(1-p) k-1 p，0p1，k=1，2，求 EX与DX（分数：2.00）_考研数学一（概率论与数理统计）-试卷 6答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A为常数，则 F = ( ) （分数：2.00）
8、A. B.C.D.解析：解析：由3.设随机变量 X的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）A.与 a无关，随 增大而增大B.与 a无关，随 增大而减小C.与 无关，随 a增大而增大 D.与 无关，随 a增大而减小解析：解析：由密度函数的性质， 可得 A=e - 于是 4.设随机变量 X与 Y均服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =PX-4)，p 2 =PY+5)，则 ( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，都有 p 1 =p 2 B.对任意实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任意实数 ，都有 p 1 p 2解析：解析：
9、用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有 5.设 X的概率密度为 f(x)= ，则 Y=2X的概率密度为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：F Y (y)=PYy)=P2Xy)= 所以，f Y (y)= 6.已知随机向量(X 1 ，X 2 )的概率密度为 f 1 (x 1 ，x 2 )，设 Y 1 =2X 1 ， ，则随机向量(Y 1 ，Y 2 )的概率密度为 f 2 (y 1 ，y 2 )= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：设(X 1 ，X 2 )的分布函数为 F 1 (x 1 ，x 2 )，(Y 1 ，Y 2 )的分布函数为 F 2 (
10、y 1 ，y 2 )，则 二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：方法一 因为 ，所以，8.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 f Y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设二维随机变量(X，Y)在区域 D= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 3-2阴影部分所示，它的面积 所以(X，Y)的概率密度为10.设二维随机变量(
11、X，Y)在 G= 上服从均匀分布，则条件概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：G 如图 3-3中OAB，它的面积 S= ，所以(X，Y)的概率密度为 由于关于 Y的边缘概率密度 其中，D 如图 3-3带阴影的三角形11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x，y)的表达式知 X与 Y相互独立，且关于 X与关于 Y的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由 f X (x)0 知 f YX (yx)=f Y (y)= 三、解答题(总题数：17，分数：34.
12、00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：已知随机变量 X 1 与 X 2 的概率分布， （分数：4.00）(1).求 X 1 与 X 2 的联合分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X 2 的联合分布有如下形式： 其中 p 12 =p 32 =0是由于 PX 1 X 2 =0)=1，所以，P(X 1 X 2 0)=0再 根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下： )解析：(2).问 X 1 与 X 2 是否独立?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由联合分布表可以看出 PX 1 =-1，X 2
13、=0= ，而 )解析：13.设随机变量 X与 Y相互独立，概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题可以按以下公式先算出 Z的分布函数 F Z (z)： F Z (z)= f X (x)f Y (y)dxdy(其中 D z =(x，y)2x+yz)， 然后对 F Z (z)求导算出 f Z (z)，但较麻烦 记 U=2X，则由随机变量的函数的概率密度计算公式得 于是，Z=2X+Y=U+Y(其中 U与 Y相互独立)的概率密度 即 f U (u)f Y (z-u)仅在 D z =(u，z)0u2，z-u0)(如图 3-8的阴影部分)上取值 在uOz平面的其他部分都取值为 0，所
14、以 )解析：14.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X，Y 不是相互独立的，所以记 V=-Y时，(X，V)的概率密度不易计算应先计算 Z的分布函数，再计算概率密度 f Z (z) 记 Z的分布函数为 F Z (z)，则 F Z (z)=PZx)=PX-Yz= ，其中 D z =(x，y)x-yz)(直线 x-y=z的上方部分)，由 D z 与 D=(x，y)0x1，0yx)(如图 3-9的带阴影的OSC)相对位置可得： 当 z0 时，D z 与 D不相交，所以 当 0z1 时，D z D=四边形 OABC， )解析：15.设二维随机变量(X，Y)
15、的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y相互独立，且它们的概率密度都为 记 u=g(x)=x 2 ，它在 f(x)0 的区间(0，1)内单调可导，且反函数为 x=h(u)= (0u1)，所以 U=X 2 的概率密度 同样地，V=Y 2 的概率密度为 (u)= 由 X与 Y相互独立知 X 2 与 Y 2 相互独立，从而(X 2 ，Y 2 )的概率密度为 )解析：16.设二次方程 x 2 -Xx+Y=0的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二次方程的两个根为 X
16、1 ，X 2 ，则它们的概率密度都为 f(t)= 记 X的概率密度为 f X (x)，则由 X=X 1 +X 2 得 f X (x)= 其中 f(t)f(x-t)= 即 f(t)f(x-t)仅在图3-10的带阴影的平行四边形中取值为 ，在 tOx平面的其余部分取值为零因此， 当 x0或 x4 时，f X (x)=0； 记 Y的概率密度为 f Y (y)，则由 Y=X 1 X 2 得 当 y0 或 y4 时，f Y (y)=0； 当 0y4 时， )解析：17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为2n，p 的二项分布（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：PZ=k=PX+Y=k= X=iPY=k-i )解析：18.设 ， 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3 PX=1，Y=1)=Pmax，=1，min，=1=P=1，=1= 以此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下： )解析：19.设随机变量 X与 Y相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=X-Y的概率密度及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：U=X-Y 的密度为 当 u-1 或 u1 时，f u (u)=0； 所以，Z=X-Y=U
18、的密度为 )解析：20.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：边缘密度为 )解析：21.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Z的分布函数为 F Z (z)，则 )解析：22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：方法一 PX 1 =minX 1 ，X 2 ，X n =PX 1 minX 2 ，X 3 ，X n ，记 Y=minX 2 ，X 3 ，X n ，则有 (X 1 ，y)的概率密度为 f(x，y)=f 1 (x)
19、f Y (y) 方法二 利用连续型的全概率公式 )解析：23.设 X关于 Y的条件概率密度为 而 Y的概率密度为 求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)的概率密度为 如图 3-12所示，则 )解析：24.设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1上的均匀分布，试求给定 Y=y的条件下 X的条件概率密度函数 f XY (xy)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1上的均匀分布，所以 所以，当-1y1 时，有 )解析：25.设试验成功的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X表示所需试验次数，则
20、X的可能取值为 2，3，于是 )解析：26.市场上有两种股票，股票 A的价格为 60元股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B的价格为 40元股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 32，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有 10000元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设银行 1年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1 ，s 2 ，s 3 )，并计算该策略的收益的标准差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设投资策略为(s 1
21、 ，s 2 ，s 3 )，则该投资策略的收益为 S= ，平均收益及方差为： ES=s 1 7+s 2 32+(10000-60s 1 -40s 2 )5， 问题为求 的最小值 约束条件为：ES=s 1 7+s 2 32+(10000-60s 1 -40s 2 )5800 用拉格朗日乘数法求解该问题，令 L= +800-s 1 7-s 2 32-(10000-60s 1 -40s 2 )5， 其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为： 解此方程组得：s 1 =6356 股，s 2 =3814 股，s 3 =46608元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2 +253814 2 238 360，= )解析：27.设随机变量服从几何分布，其分布律为 P(X=k)=(1-p) k-1 p，0p1，k=1，2，求 EX与DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 q=1-p )解析：
