1、考研数学一（高等数学）-试卷 1 及答案解析(总分：102.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 x0 时，有 ax 3 bx 2 cx （分数：2.00）A.aB.aC.aD.a0，b2，c03.设 f(x) （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小4.设 （分数：2.00）A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小5.设a n 与b n 为两个数列，下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n
2、 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 0，则 D.若 a n 为无穷大，且 6.设 f(x) 在(一，)内连续，且 （分数：2.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0D.a0，b07.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D.8.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数9
3、.设 f(x)是二阶常系数非齐次线性微分方程 y“py“qysin2x2e x 的满足初始条件 f(0)f“(0)0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1D.其他10.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 处连续B.若 f(x)在 xa 处连续，则f(x)在 xa 处连续C.若 f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 的一个邻域内连续D.若二、填空题(总题数：14，分数：28.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填
4、空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.当 x0 时，xsinxcos2xcx k ，则 c 1，k 2（分数：2.00）填空项 1:_16. （分数：2.00）填空项 1:_17. （分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.设 f(x)连续，f(0)0，f“(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_22. （分数：2.00）填空项 1:_23.设 f(x)在 x0 处连续，且 （
5、分数：2.00）填空项 1:_24.设 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：27，分数：54.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.求 （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_29.设 f“(0)6，且 （分数：2.00）_30.设 （分数：2.00）_31.已知 （分数：2.00）_32.确定 a，b，使得 x 一(abcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_34.确定常数 a，b，c，使得 （分
6、数：2.00）_35.设 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_36. （分数：2.00）_37. （分数：2.00）_38. （分数：2.00）_39. （分数：2.00）_40.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) （分数：2.00）_41.设 f(x)在1，)内可导，f“(x)0 且 a0，令 a n .证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_42.设 a0，x 1 0，且定义 x n1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_43.设 a 1 1，当 n1 时，a n1 （分数：2.00）_44.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1)1证明
7、： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c； (2)存在拿0，2，使得 2f(0)f(1)3f(2)6f()（分数：2.00）_45.设 （分数：2.00）_46.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_47.设 f(x)在a，)上连续，f(a)0，而 （分数：2.00）_48.f(x) （分数：2.00）_49.求 f(x) （分数：2.00）_50.设 f(x) （分数：2.00）_51.求函数 （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 1 答案解析(总分：102.00，做题时间：
8、90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 x0 时，有 ax 3 bx 2 cx （分数：2.00）A.aB.aC.aD.a0，b2，c0 解析：解析：因为 x0 时，ax 3 bx 2 cx ， 所以 ，显然 c0， 再由 3.设 f(x) （分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为4.设 （分数：2.00）A.低阶无穷小 B.高阶无穷小C.等价无穷小D.同阶但非等价的无穷小解析：解析：5.设a n 与b n 为两个数列，下
9、列说法正确的是( )（分数：2.00）A.若a n 与b n 都发散，则a n b n 一定发散B.若a n 与b n 都无界，则a n b n 一定无界C.若a n 无界且 0，则 D.若 a n 为无穷大，且 解析：解析：(A)不对，如 a n 2(一 1) n ，b n 2 一(一 1) n ，显然a n 与b n 都发散，但 a n b n 3，显然a n b n 收敛；(B)、(C)都不对，如 a n n1(一 1) n ，b n n1 一(1) n ，显然a n 与b n 都无界，但 a n b n 0，显然a n b n 有界且 6.设 f(x) 在(一，)内连续，且 （分数：2
10、.00）A.a0，b0B.a0，b0C.a0，b0 D.a0，b0解析：解析：因为 f(x) 在(一，)内连续，所以 a0，又因为7.设 (xa)，则 （分数：2.00）A.eB.e 2C.1D. 解析：解析：因为 ，所以 ， 于是8.设函数 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0 使得( )（分数：2.00）A.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0) B.对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)C.当 x(0，)时，f(x)为单调增函数D.当 x(0，)时，f(x)是单调减函数解析：解析：因为 f“(0)0，所以 ，根据极限的保号性，存在 0，当 x(0，)时，有9.设 f(x)是二阶常
11、系数非齐次线性微分方程 y“py“qysin2x2e x 的满足初始条件 f(0)f“(0)0 的特解，则当 x0 时， （分数：2.00）A.不存在B.等于 0C.等于 1 D.其他解析：解析： 因为 f(0)f“(0)0，所以 f“(0)2，于是10.下列命题正确的是( )（分数：2.00）A.若f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 处连续B.若 f(x)在 xa 处连续，则f(x)在 xa 处连续 C.若 f(x)在 xa 处连续，则 f(x)在 xa 的一个邻域内连续D.若解析：解析：令 显然f(x)1 处处连续，然而 f(x)处处间断，(A)不对； 令 显然 f(x)在x0
12、 处连续，但在任意 za0 处函数 f(x)都是间断的，故(C)不对；令 显然 ，但 f(x)在x0 处不连续，(D)不对；若 f(x)在 xa 处连续，则 f(a)，又 0f(x)f(a)f(x)一 f(a)，根据夹逼定理，二、填空题(总题数：14，分数：28.00)11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15.当
13、x0 时，xsinxcos2xcx k ，则 c 1，k 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：16. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：17. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：19.设 f(x)连续，f(0)0，f“(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：20.设 f(x)一阶连续可导，且 f(0)0，f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （
14、正确答案：正确答案：1）解析：解析：21.设 f(x)连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：22. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：当 x0 时，有 ，则 ，原式23.设 f(x)在 x0 处连续，且 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a1）填空项 1:_ （正确答案：b1）解析：解析：三、解答题(总题数：27，分数：54.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：2
15、6.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.设 f“(0)6，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 f(0)0，f“(0)0， )解析：30.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.确定 a，b，使得 x 一(abcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 yx 一(abcos
16、x)sinx， y1bsin 2 x 一(abcosx)cosx， y“bsin2x sin2x(abcosx)sinxasinx2bsin2x， y“acosx4bcos2x， 显然 y(0)0，y“(0)0， 所以令 y“(0)y“(0)0 得 故当 )解析：33.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1x)(axbx 2 )x 一 o(x 2 )一(axbx 2 ) (1a)x 一(b )x 2 o(x 2 )， 由 得 x0 时， ， 于是 )解析：34.确定常数 a，b，c，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 b一 1； 由 得 a ； 于是 c )
17、解析：35.设 ，其中 f(x)连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：36. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：38. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：39. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：40.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)0，F(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：41.设 f(x)在1，)内可导，f“(x)0 且 a0，令 a n .证明：a n 收敛且 0 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)
18、0，所以 f(x)单调减少 又因为 a n1 一 a n f(n1)一 f(n1)一 f()0(n，n1)， 所以a n 单调减少 因为 a n f(k)f(x)dxf(n)，而 f(k)f(x)dx0(k1，2，n1) 且 a0，所以存在 X0，当xX 时，f(x)0 由 f(x)单调递减得 f(x)0(x1，)，故 a n f(n)0，所以 存在 由 a n f(1) ， 而 f(k)一 0(k2，3，n)，所以 a n f(1)，从而 0 )解析：42.设 a0，x 1 0，且定义 x n1 (n1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为正数的算术平均数不小于几何
19、平均数，所以有 )解析：43.设 a 1 1，当 n1 时，a n1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：44.设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)0，f(1)1证明： (1)存在 c(0，1)，使得 f(c)12c； (2)存在拿0，2，使得 2f(0)f(1)3f(2)6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)f(x)一 12x，(0)一 1，(1)2，因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)0，于是 f(c)12c (2)因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由 6m2f(0)f(1)
20、3f(2)6M 得 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：45.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 1，因为 )解析：46.设 f(x)在0，1上有定义，且 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x 0 0，1，因为 e x f(x)与 e f(x) 在0，1上单调增加， 所以当xx 0 时，有 故 f(x 0 )f(x) ， 令 x ，由夹逼定理得 f(x 0 一 0)f(x 0 )；当 xx 0 时，有 故 令 x )解析：47.设 f(x)在a，)上连续，f(a)0，而 （分
21、数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 k0，取 0 0，因为 k0，所以存在 X 0 0， 当 xX 0 时，有f(x)一 k ，从而 f(x) )解析：48.f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xk(k0，一 1，一 2，)及 x1 为 f(x)的间断点 f(00) 因为f(00)f(00)，所以 x0 为跳跃间断点； 由 得 x2 为可去间断点； 当 xk(k一 1，一3，一 4，)时， 由 得 xk(k一 1，一 3，一 4，)为第二类间断点； 由 )解析：49.求 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 x0，一 1，一 2，及 x1 当 x0 时，f(00) ， f(00) ，则 x0 为函数 f(x)的第一类间断点中的跳跃间断点 当 x一 1 时， ，则 x一 1 为 f(x)的第一类间断点中的可去间断点 当 xk(k一 2，一 3，)时， )解析：50.设 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先 其次 f(x)的间断点为 xk(k0，1，)，因为 )解析：51.求函数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
