1、考研数学一（高等数学）-试卷 30 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.f“(a)4.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是
2、 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点5.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续6.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导7.f(x)在 x 0
3、 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续8.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）填空项 1:_10.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a=
4、 1，b= 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一 1，1)内 f“(x)=x，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_15.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 M n = （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过
5、程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设 y= （分数：2.00）_18.设 x=x(t)由 sint （分数：2.00）_19.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.求 （分数：2.00）_22.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_23.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)一 2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1处的可导性（分数：2.00）_24.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶
6、连续可导， （分数：2.00）_25.设 f(x)= （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0证明： (1)存在 (（分数：2.00）_27.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_28.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_29.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_30.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且
7、（分数：2.00）_31.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_32.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： f“(x)（分数：2.00）_33.设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x； (2) （分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=
8、0证明：存在 (a，b)，使得 f“() （分数：2.00）_35.f(x)在_一 1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (一 1，1)，使得 f“()=3（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 30 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设
9、 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当xa 时，有 f(x)0，于是3.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.f“(a) 解析：解析：4.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：5.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x
10、)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以6.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令 f(x)=7.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解
11、析：由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连续，但f(x)在 x 0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x)=x在 x=0 处不可导，选(C)8.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)=一 f(x)，f“(一 x)=f“(x)，f(一 x)=一f“(x)，即 f“(x)为偶函数，f“(x)为奇函
12、数，故由 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，得当 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，选(A)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a= 1，b= 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x 2 +ax+b
13、得 11.设函数 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：13.设 f(x)=x 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(1+4x)e 8x）解析：解析： 14.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一 1，1)内 f“(x)=x，则 f( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(一 1，1)内 f“(x)=x，15.若 f
14、(x)=2nx(1 一 x) n ，记 M n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：20，分数：40.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 x=x(t)由 sint （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 x 3 一 3xy+y 3 =3 确定 y 为 x 的函数，求函数 y=y(x)的极值点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x 3 一 3xy+y 3 =3 两边对 x 求导得 )解
15、析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 当 x(0，e)时，f“(x)0；当 x(e，+)时，f“(x)0，则 x=e 为 f(x)的最大点， )解析：22.设 f(x)连续，(x)= 0 1 f(xt)dt，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足f(x)一 2e x (x 一 1) 2 ，研究函数 f(x)在 x=1处的可导性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e 当 x1 时，
16、不等式两边同除以x 一 1，得 )解析：24.设 f(x)在 x=0 的邻域内二阶连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，f(0)=0，f( )=1，f(1)=0证明： (1)存在 (（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 (x)=f(x)x，(x)在0，1上连续， 0，(1)=一 10， 由零点定理，存在 ( )解析：27.设 f(x)在0，2上连续，在(0，2)内二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由罗尔定
17、理，存在 x 0 (c，2) (1，2)，使得 f“(x 0 )=0 令(x)=e x f“(x)，则 (1)=(x 0 )=0， 由罗尔定理，存在 (1，x 0 ) )解析：28.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而f(x)在0，1上连续，故f(x)在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得f(x 0 )=M 当 x 0 =0 时，则 M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=f(x 0 )=f(x 0 )一 f(0)=f“()x 0 f
18、“() )解析：29.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 =(e a +e b )f“()+f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：30.设 f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0 且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上二阶可导，所以 f(x)在0，1上连续且 f(0)=f(1)=0，=一 1，由闭区间上连续函数最值定理知，f(x)在0，1取到最小值且最小值在(0，1)内达到，即存在 c(0，1)，使得 f
19、(c)=一 1，再由费马定理知 f“(c)=0， 根据泰勒公式 )解析：31.一质点从时间 t=0 开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设运动规律为 S=S(t)，显然 S(0)=0，S“(0)=0，S(1)=1，S“(1)=0由泰勒公式 )解析：32.设 f(x)在0，1上二阶可导，且f“(x)1(x0，1)，又 f(0)=f(1)，证明： f“(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：33.设 f(x)在(一 1，1)内二阶连续可导，
20、且 f“(x)0证明： (1)对(一 1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf“(x)x； (2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对任意 x(一 1，1)，根据微分中值定理，得 f(x)=f(0)+xf“(x)x，其中0(x)1 因为 f“(x)C(一 1，1)且 f“(x)0，所以 f“(x)在(一 1，1)内保号，不妨设 f“(x)0， 则 f“(x)在(一 1，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的 (2)由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f“(0)x+ ，其中 介于 0 与 x 之间， 而 f(x)=f(0)+
21、xf“(x)x，所以有 )解析：34.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0证明：存在 (a，b)，使得 f“() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 )解析：35.f(x)在_一 1，1上三阶连续可导，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f“(0)=0证明：存在 (一 1，1)，使得 f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 f“( 1 )+f“( 2 )=6 因为 f(x)在一1，1上三阶连续可导，所以 f“(z)在 1 ， 2 上连续，由连续函数最值定理，f“(x)在 1 ， 2 上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf“( 1 )+f“( 2 )2M， 即 m3M 由闭区间上连续函数介值定理，存在 1 ， 2 )解析：
