1、考研数学一（高等数学）-试卷 70 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.b=4d。B.b=-4d。C.a=4c。D.a=-4c。3.f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在。B.极限存在，但不连续。C.连续但不可导。D.可导。4.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2。B.-1。C.-2。5.设 f(x)有二阶连续导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(
2、0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。6.函数 f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.-i。B.i。C.-j。D.j。7.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = (x 3 +y 3 )dxdy，I 2 = (x 3 +y 3 )dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 3 I 2 I 3 。D.I 1 I 3 I 2 。8.设常数 0，且级数 （分数：2.00）A.发散。B.条件收敛。C.绝对
3、收敛。D.敛散性与 有关。9.已知微分方程 y“+6y“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（分数：2.00）A.0，+)。B.(-，0。C.(-，4。D.(-，+)。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_11.设 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 p=1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_14.grad （分数：2.00）填空项 1:_15.设 z=z(x，y)由方程 z+e z =xy 2 所确定，则 dz= 1。（分数：
4、2.00）填空项 1:_16.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 为曲线 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_18.已知幂级数 在 x=1 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_21.设 f(x)= （分数：2.00）_22.设 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0。证明：()对于任意的 x(
5、-1，0)(0，1)，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立；() （分数：2.00）_23.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1-x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形 D。 ()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()求 a 的值，使 V(a)为最大。（分数：2.00）_24.设 z= （分数：2.00）_25.计算 （分数：2.00）_26.设 P 为椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 -yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与 xOy 面垂直，求
6、P 点的轨迹C，并计算曲面积分 （分数：2.00）_27.设幂级数 在(-，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“-2xy“-4y=0，y(0)=0，y“(0)=1。 ()证明 a n = （分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 70 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.b=4d。B.b=-4d。C.a=4c。D.a=-4c。 解析：解析：当 x0 时，由带佩亚诺型余项的泰勒公式可知，tanx，ln(1-2x)
7、均为 x 的一阶无穷小；而1-cosx， 均为 x 的二阶无穷小，所以3.f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在。B.极限存在，但不连续。C.连续但不可导。 D.可导。解析：解析： 4.设 f(x)为可导函数，且满足条件 （分数：2.00）A.2。B.-1。C.-2。解析：解析：将题中极限条件两端同乘 2，得5.设 f(x)有二阶连续导数，且 f“(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：根据
8、极限的保号性，由 =1 可知，存在 x=0 的某邻域 U (0)，使对任意 xU (0)，都有 6.函数 f(x，y)=arctan （分数：2.00）A.-i。B.i。C.-j。D.j。 解析：解析： 7.设 D 为单位圆 x 2 +y 2 1，I 1 = (x 3 +y 3 )dxdy，I 2 = (x 3 +y 3 )dxdy，I 3 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3 。B.I 3 I 1 I 2 。C.I 3 I 2 I 3 。D.I 1 I 3 I 2 。 解析：解析：积分域 D 关于两个坐标轴都对称，而 x 3 是 x 的奇函数，y 3 ，y 5 是 y 的奇函数，
9、则 由于在 D 内x1，y1，则 x 6 +y 6 x 4 +y 4 ，于是 8.设常数 0，且级数 （分数：2.00）A.发散。B.条件收敛。C.绝对收敛。 D.敛散性与 有关。解析：解析：取 a n = ，显然满足题设条件。而此时 于是由比较判别法知，级数 9.已知微分方程 y“+6y“+y=0 的每个解都在区间(0，+)上有界，则实数 b 的取值范围是( )（分数：2.00）A.0，+)。 B.(-，0。C.(-，4。D.(-，+)。解析：解析：微分方程 y“+6y“+y=0 的特征方程为 r 2 +br+1=0，特征根为 (1)b 2 4 时，原方程通解为 (2)b 2 =4 时，原方
10、程通解为 (3)b 2 4 时，原方程通解为 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)10.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2）解析：解析：11.设 y=y(x)由方程 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：将 x=0 代入方程 x= 可得 y=1，即 y(0)=1。 在方程两边对 x 求导，得12.= 1。 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 ，所以13.曲线 p=1 相应于 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知可得 。则14.grad
11、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：i+j+k）解析：解析：令 u=xy+ ，则15.设 z=z(x，y)由方程 z+e z =xy 2 所确定，则 dz= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在方程两端对 x 求偏导得 同理可得 所以16.交换积分次序 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，积分区域如图 1-6-4 所示，则有17.设 为曲线 从 z 轴正向往 z 轴负向看去为顺时针方向，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2）解析：解析：利用格林公式计算
12、。 设 C 为圆 x 2 +y 2 =1 的顺时针方向，由 x-y+z=2 可知 z=2-x+y，则 18.已知幂级数 在 x=1 处条件收敛，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：幂级数 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数19.微分方程 xy“+3y“=0 的通解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 p=y“，则原方程化为 p“+ =0，其通解为 p=Cx -3 。 因此 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)20.解答题解答应写出文字说明、
13、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：21.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 f(x)在(-1，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0。证明：()对于任意的 x(-1，0)(0，1)，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)成立；() （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由拉格朗 13 中值定理，对任意的 x(-1，1)，x0，存在 (x)(0，1)使 f(x)=f(0)+xf“(x)x)。 又由 f“(x)连续且 f“(x)0 知，f“(x)在(-1，1)不变号，则 f“(x)在(-1，1)严格单调
14、， 唯一。 ()对 f“(x)使用 f“(0)的定义。由()中的式子，则有 解出 ，令 x0 取极限得 )解析：23.设曲线 y=ax 2 (x0，常数 a0)与曲线 y=1-x 2 交于点 A，过坐标原点 O 和点 A 的直线与曲线 y=ax 2 围成一平面图形 D。 ()求 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积 V(a)； ()求 a 的值，使 V(a)为最大。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：y=ax 2 与 y=1-x 2 的交点为 ，直线 OA 的方程为 ()旋转体的体积 )解析：24.设 z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 将上式分别代入原式可得 )解析：
15、25.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 1-6-10 所示，在极坐标中 )解析：26.设 P 为椭球面 S：x 2 +y 2 +z 2 -yz=1 上的动点，若 S 在点 P 的切平面与 xOy 面垂直，求 P 点的轨迹C，并计算曲面积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()切平面法向量的分量 F x =2x，F y =2y-z，F z =2z-y，因切平面与 xOy 面垂直，所以 2x0+(2y-z)0+(2z-y)1=0，即 z= 因此轨迹 C 为 ()记方程为 z=z(x，y)，由第一类曲面积分可得 由 x 2 +y 2 +z 2 -yz=1 两边分别同时对 x，y 求偏导，得 因为 x 2 +y 2 +z 2 -yz=1。所以 )解析：27.设幂级数 在(-，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“-2xy“-4y=0，y(0)=0，y“(0)=1。 ()证明 a n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()记 y(x)= ，代入微分方程 y“-2xy“-4y=0 有 故有 (n+2)(n+1)a n+2 -2na n -4a n =0， 即有 ()由初始条件 y(0)=0,y“(0)=1，知 a 0 =0，a 1 =1。于是根据递推关系式 a n+2 = ，有 a 2n =0，a 2n+1 = 。故 )解析：
