1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 191 及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小C.高阶无穷小D.低阶无穷小3.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0
2、既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_5.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_6.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 f(x)= D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项
3、1:_9.设向量场 A=2x 3 yzix 2 y 2 zjx 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向 l=2，2，1的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_10.微分方程 yxe y + （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；（分数：2.00）_(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_12
4、.设 （分数：2.00）_13.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，|f(x)|12|f(x)|证明：f(x)0，x0，1（分数：2.00）_14.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且|f (4) (x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 |f“(x 0 ) （分数：2.00）_15.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b) 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 1n （分数：2.00）_16.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x
5、)dx（分数：2.00）_17.设 f(x)= 1 x （分数：2.00）_18.设 a n = 0 4 tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.证明： 0 xa sinx dx 0 2 a cosx dx 3 4，其中 a0 为常数（分数：2.00）_设直线 L 1 ： （分数：4.00）(1).证明：直线 L 1 ，L 2 为异面直线；（分数：2.00）_(2).求平行于 L 1 ，L 2 且与它们等距离的平面（分数：2.00）_21.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e xyz = xy z h(xy+zt)dt 确
6、定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_22.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： x （分数：2.00）_23.计算二重积分 （分数：2.00）_24.设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1，0z1 的表面与平面 x+y+z=32 所截而成，计算| C (z 2 y 2 )dx+(x 2 z 2 )dy+(y 2 x 2 )dz|（分数：2.00）_25.求幂级数 （分数：2.00）_26.设函数 f(x，y)可微， =f(x，y)(0，2)=1，且 （分数：2.00）_飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当
7、飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v（分数：4.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：2.00）_(2).导弹运行方程（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）模拟试卷 191 答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)= 0 sinx sint 2 dt，g(x)=x 3 +x 4 ，当 x0 时，f(x)是 g(x
8、)的( )（分数：2.00）A.等价无穷小B.同阶但非等价无穷小 C.高阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为3.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(xt)dt= 0 x g(t)dt 得 f(x)=2x 2 + 0 x g(t)dt，f“(x)=4x+g(x)， 因为 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
9、确答案：1）解析：解析：5.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与2y=1+xy 3 在点(1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(1，1)，所以 ba=0，又由 y=x 2 +ax+b 得 dydx| x=1 =a2，再由2y=1+xy 3 得 6.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f x (1，2)=3，f y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 (1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 (x)=f x x
10、，f(x，2x)+f y x，f(x，2x)f x (x，2x)+2f y (x，2x)， 所以 (1)=f x 1，f(1，2)+f y 1，f(1，2)f x (1，2)+2f y (1，2) =3+4(3+8)=477.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析： 由 y(1)=1 得 C=0，故 y(x)8.设 f(x)= D 为 xOy 面，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：14）解析：解析：在 D 1 =(x，y)|x+，0y1上，f(y)=y； 在 D 2 ：0x+y1 上，f(x+y)=x+y，
11、 则在 D 0 =D 1 D 2 =(x，y)|yx1y，0y1)上，f(y)f(x+y)=y(x+y)， 所以 9.设向量场 A=2x 3 yzix 2 y 2 zjx 2 yz 2 k，则其散度 divA 在点 M(1，1，2)沿方向 l=2，2，1的方向导数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：223）解析：解析：divA= =6x 2 yz2x 2 yz2x 2 yz=2x 2 yz， 10.微分方程 yxe y + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e y =1x( ）解析：解析： 所以原方程的通解为 e y =1x( 三、解答题(总题数：1
12、9，分数：42.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：设 f(x)在0，2上连续，且 f(0)=0，f(1)=1证明：（分数：4.00）(1).存在 c(0，1)，使得 f(c)=12c；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)1+2x，(0)=1，(1)=2，因为 (0)(1)0，所以存在c(0，1)，使得 (c)=0，于是 f(c)=12c)解析：(2).存在 0，2，使得 2f(0)+f(1)+3f(2)=6f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)C0，2，所以 f(x)在0，2上取到最小值 m 和最大值 M， 由6
13、m2f(0)+f(1)+3f(2)6M 得 m M， 由介值定理，存在 0，2，使得 )解析：12.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，因为 )解析：13.设 f(x)在0，1上可导，f(0)=0，|f(x)|12|f(x)|证明：f(x)0，x0，1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在0，1上可导，所以 f(x)在0，1上连续，从而|f(x)|在0，1上连续，故|f(x)|在0，1上取到最大值 M，即存在 x 0 0，1，使得|f(x 0 )|=M 当 x 0 =0 时，则M=0，所以 f(x)0，x0，1； 当 x 0 0 时，M=|f(x 0
14、 )|=|f(x 0 )f(0)|=|f()|x 0 |f()|12|f()|M2， 其中 (0，x 0 )，故 M=0，于是 f(x)0，x0，1)解析：14.设 f(x)在 x 0 的邻域内四阶可导，且|f (4) (x)|M(M0)证明：对此邻域内任一异于 x 0 的点x，有 |f“(x 0 ) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 2 + (xx 0 ) 3 + (xx 0 ) 4 ， f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(xx 0 )+ (xx 0 ) 4 ， 两式相加得 f(x)+f(x)2f(x
15、 0 )=f“(x 0 )(xx 0 ) 2 + f (4) ( 1 )+f (4) ( 2 )(xx 0 ) 4 ， 于是|f“(x 0 ) |124|f (4) ( 1 )|+|f (4) ( 2 )|(xx 0 ) 2 ， 再由|f (4) (x)|M，得 |f“(x 0 ) )解析：15.设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=ab=f(b) 证明：存在 i (a，b)(i=1，2，n)，使得 1n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 h= ，因为 f(x)在a，b上连续且单调增加，且 f(a)=ab=f(b)， 所以f(a)=aa+h
16、a+(n1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性， 存在 ac 1 c 2 c n1 b，使得 f(c 1 )=a+h，f(c 2 )=a+2h，f(c n1 )=a+(n1)h，再由微分中值定理，得 f(c 1 )f(a)=f( 1 )(c 1 a)， 1 (a，c 1 )， f(c 2 )f(c 1 )=f( 2 )(c 2 c 1 )， 2 (c 1 ，c 2 )， f(b)f(c n1 )=f( n )(bc n1 )， n (c n1 ，b)， )解析：16.设 f(x)在0，1连续可导，且 f(0)=0证明：存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在区间0，1上连续，所以 f(x)在区间0，11 上取到最大值 M 和最小值 m，对 f(x)f(0)=f(c)x(其中 c 介于 0 与 x 之间)两边积分得 0 1 f(x)dx= 0 1 f(c)xdx， 由 mf(c)M 得 m 0 1 dx 0 1 f(c)xdxM 0 1 xdx， 即 m2 0 1 f(c)xdxM 或m2|f(x)dxM， 由介值定理存在 0，1，使得 f()=2 0 1 f(x)dx)解析：17.设 f(x)= 1 x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 1 x 2 f(x)dx=13 0 1 f(x)d(x
18、 3 )=13x 3 f(x)| 0 1 0 1 x 3 f(x)dx )解析：18.设 a n = 0 4 tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n +a n+2 = 0 4 (1+tan 2 x)tan n xdx= 0 4 tan n xd(tanx) 同理 a n +a n2 =1(n1)因为 tan n x，tan n+2 x 在0，4上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x，tan n+2 x 不恒等，所以 0 4 tan n xdx 0 4 于是 =a n +a n+2 2a n ，即 a n )解析：19. （分数
19、：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.证明： 0 xa sinx dx 0 2 a cosx dx 3 4，其中 a0 为常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0 xa sinx dx=2 0 a sinx dx= 0 2 a cosx sdx， 所以 0 xa sinx dx 0 2 a cosx dx= 0 2 a cosx dx 0 2 a cosx dx = 0 2 (a cosx2 ) 2 dx 0 2 ( cosx2 ) 2 dx( 0 2 a cosx2 a cosx2 dx) 2 = 3 4)解析：设直线 L 1 ： （分数：4.00）(1).证明：
20、直线 L 1 ，L 2 为异面直线；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：M 1 (1，0，1)L 1 ，M 2 (2，1，2)L 2 ， =3，1，3， s 1 =1，2，1，s 2 =0，1，2，s 1 s 2 =5，2，1 因为(s 1 s 2 ) )解析：(2).求平行于 L 1 ，L 2 且与它们等距离的平面（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：与 L 1 ，L 2 同时平行的平面的法向量为 n=s 1 s 2 =5，2，1， 设与L 1 ，L 2 等距离的平面方程为 ：5x+2y+z+D=0， 则有 )解析：21.设 u=f(x，y，xyz)，函数 z=z(x，y)由 e
21、xyz = xy z h(xy+zt)dt 确定，其中 f 连续可偏导，h 连续，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： xy z h(xy+zt)dt z xy h(u)(du)= xy z h(u)du， )解析：22.设函数 f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足 f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)证明： x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=t k f(x，y，z)，两边对 t 求导得 =kt k1 f(x，y，z) 当 t=1 时，有 x )解析：23.计算二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(
22、正确答案：根据对称性 (x 2 +4x+y 2 )dxdy=4 (x 2 +y 2 )dxdy，其中 D 1 是 D位于第一卦限的区域 )解析：24.设空间曲线 C 由立体 0x1，0y1，0z1 的表面与平面 x+y+z=32 所截而成，计算| C (z 2 y 2 )dx+(x 2 z 2 )dy+(y 2 x 2 )dz|（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取平面 x+y+z=32 上被折线 C 所围的上侧部分为 S，其法向量的方向余弦为cos=cos=cos= 设 D xy 表示曲面 S 在平面 xOy 上的投影区域，其面积为 A=34，由斯托克斯公式得 | C (z 2 y 2
23、 )dx+(x 2 z 2 )dy+(y 2 x 2 )dz| )解析：25.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设函数 f(x，y)可微， =f(x，y)(0，2)=1，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 解得 f(0，y)=Csiny 由 f(0，2)=1，得 C=1，即 f(0，y)=siny 又由 )解析：飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至 O 时被发现，随即从 x 轴上(x 0 ，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 0 0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为 2v（分数：4.00）(1).求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得 所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 )解析：(2).导弹运行方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
