1、考研数学三（微积分）模拟试卷 187 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x0 处二阶可导，f(0)0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点3.设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x)在 x0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x0 是 f(x)的极大值点B.
2、x0 是 f(x)的极小值点C.(0,f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.x0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点4.设 f(x，y) （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微D.一阶连续可偏导二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 f(x)二阶连续可导，且 0，f(0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.设 f(ln)x，则f(x)dx 1（分数：2.00）填空项 1:_8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_9.设(ay2xy 2 )d
3、x(bx 2 y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_10.以 yC 1 e x c x (C 2 cosxC 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求 （分数：2.00）_13.设 f(x) （分数：2.00）_14.设 （分数：2.00）_15.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 (e a e
4、b )f()f()（分数：2.00）_16.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_17.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)f(0)0，f(x)0曲线 yf(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_18.设 f(x)连续，且 f(x)2 0 x f(xt)dte x ，求 f(x)（分数：2.00）_19.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_20.求椭圆 1 与椭圆 （分数：2.00）_21.设 z （分数：2.00）_22.计算 I （分数：2.00）_23.设 a
5、n 收敛，举例说明级数 a n 2 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明 （分数：2.00）_24.求幂级数 （分数：2.00）_25.设 f(x)是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0时，有y(x) （分数：2.00）_26.用变量代换 xlnt 将方程 （分数：2.00）_27.设商品需求函数为 Q （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 187 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(
6、x)在 x0 处二阶可导，f(0)0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解析：由 2 得 f(0)f(0)0，于是 f(0)0 再由3.设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x)在 x0 的邻域内连续，且 （分数：2.00）A.x0 是 f(x)的极大值点B.x0 是 f(x)的极小值点C.(0,f(0)是曲线 yf(x)的拐点 D.x0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解
7、析：由 0 得 g(0)g(0)0，f(0)0， f(x)2x 2 0 x g(xt)dt2x 2 0 x g(xt)d(xt)2x 2 0 x g(u)du， f(x)4xg(x)，f(0)0，f(x)4g(x)，f(0)40， 因为 f(0) 40，所以存在 0，当0x 时， 4.设 f(x，y) （分数：2.00）A.连续但不可偏导B.可偏导但不连续C.可微 D.一阶连续可偏导解析：解析：因为 f(x，y)0f(0，0)，所以 f(x，y)在(0，0)处连续； 因为 ，所以 f x (0，0)0，根据对称性，f y (0，0)0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导： 由 ，得 f(x，
8、y)在(0，0)处可微； 当(x，y)(0，0)时，f x (x，y)2xsin ， 则 f x (x，y) 因为 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)5.设 f(x)连续，f(0)0，f(0)1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析： 0 x lncos(xt)dt 0 x lncos(xt)d(xt) x 0 lncosudu 0 x lncosudu， 6.设 f(x)二阶连续可导，且 0，f(0)4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2）解析：解析：由 0 得 f(0)0，f(0)0，则7.设 f(ln)x，则f
9、(x)dx 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8. 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设(ay2xy 2 )dx(bx 2 y4x3)dy 为某个二元函数的全微分，则 a 1，b 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a4）填空项 1:_ （正确答案：b2）解析：解析：令 P(x，y)ay2xy 2 ，Q(x，y)bx 2 y4x3， 因为(ay2xy 2 )dx(bx 2 y4x3)dy 为某个二元函数的全微分， 所以 2bxy4 10.以 yC 1 e x c x (C 2 cosxC
10、 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：特征值为 1 1， 2,3 1i，特征方程为(1)(1i)(1i)0，即 3 3 2 420，所求方程为 y3y4y2y0三、解答题(总题数：17，分数：34.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：13.设 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的间断点为 xk(k0，1，)及 xk (k0，1，) 因为 ，所以 x0 为 f(x)的可去间
11、断点； 因为 ，所以 xk(k1，2，)为 f(x)的第二类间断点； 因为 0，所以 xk )解析：14.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：ln(1x)(axbx 2 )x (x 2 )(axbx 2 ) (1a)x(b )x 2 (x 2 )， 由 1 得 0 x2 e t2 dtx 2 ， 于是 )解析：15.设 f(x)Ca，b，在(a，b)内可导，f(a)f(b)1证明：存在 ，(a，b)，使得 2e 2 (e a e b )f()f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)e x f(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 e f()f() 再由 f(
12、a)f(b)1，得 e f()f() 从而 (e a e b )e f()f()， 令 (x)e 2x ，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得 )解析：16.设 f(x)二阶可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：17.设 f(x)二阶连续可导且 f(0)f(0)0，f(x)0曲线 yf(x)上任一点(x，f(x)(x0)处作切线，此切线在 x 轴上的截距为 u，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 yf(x)在点(x，f(x)处的切线方程为 Yf(x)f(x)(Xx)， 令 Y0得 ux ，由泰勒公式得 f(u) f( 1 )u 2 ，其中 1 介于 0
13、 与 u 之间， f(x) f( 2 )x 2 ，其中 介于 0 与 x 之间， )解析：18.设 f(x)连续，且 f(x)2 0 x f(xt)dte x ，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(xt)dt f(u)(du) 0 x f(u)du， f(x)2 0 x f(u)due x 两边求导数得 f(x)2f(x)e x ， 则 f(x) )解析：19.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)m0，f(x)M0，从而 Mm，两边积分得 0 1
14、 f(x)dxMm 0 1 dxMm， 因为 0 1 f(x)dxMm 0 1 )解析：20.求椭圆 1 与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据对称性，所求面积为第一象限围成面积的 4 倍，先求第一象限的面积 L 1 ： 1 的极坐标形式为 L 2 ：r 2 r 1 2 () ， L 2 ： 1 的极坐标形式为 L 2 ：r 2 r 2 2 () ， 则第一象限围成的面积为 )解析：21.设 z （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.计算 I （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 D 1 (x，y)1x1，0yx 2 ，D 2 (x，y)1x1，x
15、2 y2， )解析：23.设 a n 收敛，举例说明级数 a n 2 不一定收敛；若 是正项收敛级数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a n ，由交错级数的 Leibniz 审敛法，级数 收敛， 而 发散，设 是正向收敛级数，则 0， 取 0 1，存在自然数 N，当 nN 时，a n 01，从而 0a n 1， 当 nN 时，有 0a n 2 a n 1 由 收敛，再由比较审敛法得 )解析：24.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)是连续函数 (1)求初值问题 的解，其中 a0； (2)若f(x)k，证明：当 x0时，有y(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)yayf(x)的通解为 y 0 x f(t)e at dtCe ax ， 由 y(0)0 得C0，所以 ye ax 0 x f(t)e at dt (2)当 x0 时，ye ax 0 x f(t)e at dte ax 0 x f(t)e at dtke ax 0 x e at dt )解析：26.用变量代换 xlnt 将方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 代入原方程得 y0 )解析：27.设商品需求函数为 Q （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：收益函数为 RPQ 4P， 收益 R 对价格 P 的弹性为 )解析：
