1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 15及答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af 1 (x)+bf 2 (x)，其中 f 1 (x)是正态分布N(0， 2 )的密度函数，f 2 (x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 F(0)= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A为常数，则 = ( ) （分数：2.00）A.B.
2、C.D.4.设随机变量 x的密度函数为 （分数：2.00）A.与 a无关，随 增大而增大B.与 a无关，随 增大而减小C.与 无关，随 a增大而增大D.与 无关，随 a增大而减小5.随机变量 X与 Y均服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =PX4，p 2 =P(Y+5)，则 ( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，都有 p 1 =p 2B.对任意实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任意实数 ，都有 p 1 p 26.设 X的概率密度为 ，则 Y=2X的概率密度为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数
3、：6，分数：12.00)7.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 F y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)1xe 2 ，0y （分数：2.00）填空项 1:_10.设二维随机变量(X，Y)在 G=(x，y) x0，0y2x+1上服从均匀分布，则条件概率（分数：2.00）填空项 1:_11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设二维随机变量的分布律
4、为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_15.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_16.设二次方程 x 2 Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均匀分布，分别求 X与 Y的概率密度（分数：2.00）_17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为2n，p 的二项分布（分数：2.00）_18.设 是相互独立且服从同一分布的两个随
5、机变量，已知 的分布律为 P(=i)= （分数：2.00）_19.设随机变量 X与 Y相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=XY的概率密度及 （分数：2.00）_20.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_21.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.00）_23.设 X关于 y的条件概率密度为 （分数：2.00）_24.设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1上的均匀分布，试求给定 Y=y的条件下 X的条件概率密度函数 f X，Y (
6、xy)（分数：2.00）_25.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_26.设试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_27.有 20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)（分数：2.00）_28.市场上有两种股票，股票 A的价格为 60元股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B的价格为 40元股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 32，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投
7、资者有 10 000元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设银行 1年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1 ，s 2 ，s 3 )，并计算该策略的收益的标准差（分数：2.00）_29.设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1P) k1 p，0p1，k=1，2， 求 EX与DX（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 15答案解析(总分：58.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只
8、有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 f(x)=af 1 (x)+bf 2 (x)，其中 f 1 (x)是正态分布N(0， 2 )的密度函数，f 2 (x)是参数为 的指数分布的密度函数，已知 F(0)= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 f(x)dx=a f 1 (x)dx+b f 2 (x)dx=a+b=1，知四个选项均满足这个条件，所以，再通过 F(0)= 确定正确选项由于 F(0)= 0 f(x)dx=a 0 f 1 (x)dx+b 0 f 2 (x)dx= +0=a(0) = 3.设随机
9、变量 X的分布函数为 F(x)，密度函数为 其中 A为常数，则 = ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 0 1 Ax(1x)dx= =1可得 A=6所以 4.设随机变量 x的密度函数为 （分数：2.00）A.与 a无关，随 增大而增大B.与 a无关，随 增大而减小C.与 无关，随 a增大而增大 D.与 无关，随 a增大而减小解析：解析：由密度函数的性质， Ae x dx=Ae =1可得 A=e 于是 PX+a= +a e e x dx=1e a ， 与 无关，随 a增大而增大5.随机变量 X与 Y均服从正态分布，XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，记 p 1 =PX
10、4，p 2 =P(Y+5)，则 ( )（分数：2.00）A.对任意实数 ，都有 p 1 =p 2 B.对任意实数 ，都有 p 1 p 2C.只对 的个别值，才有 p 1 =p 2D.对任意实数 ，都有 p 1 p 2解析：解析：用 代表标准正态分布 N(0，1)的分布函数，有 6.设 X的概率密度为 ，则 Y=2X的概率密度为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：F Y (y)=PYy=P2Xy= 所以， 二、填空题(总题数：6，分数：12.00)7.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 f(
11、x)= ，所以， k=8.设随机变量 X服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X 2 在(0，4)内的密度函数为 F y (y)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：f X (x)= 当 Y=X 2 在(0，4)内时 f Y (y)= 9.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)1xe 2 ，0y （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：D 如图 3-3阴影部分所示，它的面积 S= =2， 所以(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=从而 f X (e)= f(e，y)dy= 10.设二维随机变量(X，Y)在 G
12、=(x，y) x0，0y2x+1上服从均匀分布，则条件概率（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：G 如图 3-4的OAB，它的面积 S= ，所以(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= 由于关于 Y的边缘概率密度 其中 D如图 3-4带阴影的三角形11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由 f(x，y)的表达式知 X与 Y相互独立，且关于 X与关于 Y的边缘概率密度分别为 由此可知，当 x0 时，由 f X (x)0 知 f YX (yx)=f Y (y)= 12.设二维
13、随机变量的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Z 全部可能取值为 0，1，2，3，且 PZ=0=PY.minX，Y=0=PminX，Y=0=PX=0= PZ=1=PY.minX，Y=1=PY=1，minX，Y=1=PX=1，Y=1= PZ=2=PY.minX，Y=2=PY=2，minX，Y=1=PX=1，Y=2= PZ=3=PY.minX，Y=3=PY=3，minX，Y=1=PX=1，Y=3= 所以 Z的分布律为三、解答题(总题数：17，分数：34.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.设随机变量
14、(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X，Y 不是相互独立的，所以记 V=Y 时，(X，V)的概率密度不易计算应先计算 Z的分布函数，再计算概率密度 f Z (z) 记 Z的分布函数为 F Z (z)，则 F Z (z)=PZz=PXYz= f(x，y)dxdy，其中 D z =(x，y)xyz(直线 xy=z 的上方部分)，由 D z 与 D=(x，y)0x1，0yx(如图 3-10的带阴影的OSC)相对位置可得： 当 z0 时，D z 与 D不相交，所以 f(x，y)dxdy=0； 当 0z1 时，D z D=四边形 OABC， 当 z1 时，D z D=
15、OSC， =1 由此得到 )解析：15.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x，y)的表达式知，X 与 Y相互独立，且它们的概率密度都为 记 U=g(x)=x 2 ，它在 f(x)0 的区间(0，1)内单调可导，且反函数为 x=h(u)= (0u1)，所以 U=X 2 的概率密度 同样地，V=Y 2 的概率密度为 (v)= 由 X与 Y相互独立知 X 2 与 Y 2 相互独立，从而(X 2 ，Y 2 )的概率密度为 f 1 (u，v)=(u).(v)= )解析：16.设二次方程 x 2 Xx+Y=0 的两个根相互独立，且都在(0，2)上服从均
16、匀分布，分别求 X与 Y的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设二次方程的两个根为 X 1 ，X 2 ，则它们的概率密度都为 f(t)= 记 X的概率密度为 f X (x)，则由 X=X 1 +X 2 得 f X (x)= f(t)f(xt)dt，其中 f(t)f(xt)= 即 f(t)f(xt)仅在如图 3-11的带阴影的平行四边形中取值为 ，在 tOx平面的其余部分取值为零因此， 当 x0 或 x4 时，f X (x)=0； 当 0x2 时，f X (x)= 当 2x4 时，f X (x)= 即 记 Y的概率密度为 f Y (y)，则由 Y=X 1 X 2 得 f Y (y)
17、= dt， 其中 仅在图如 3-12的带阴影的三角形中取值为 ，在 tOy平面的其余部分取值都为零因此，当 y0 或 y4 时，f Y (y)=0； 当 0y4 时， )解析：17.设 X，Y 是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n，p 的二项分布，证明：Z=X+Y 服从参数为2n，p 的二项分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为 P(=i)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的可能值为 1，2，3，Y 的可能值为 1，2，3 PX=1，Y=1=Pmax，=l，min，=1=P=1，=1= 以
18、此类推可求出(X，Y)的分布律及边缘分布列如下： P= )解析：19.设随机变量 X与 Y相互独立，都服从均匀分布 U(0，1)求 Z=XY的概率密度及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：U=XY 的密度为 f U (u)= f X (u+y)f Y (y)dy= 0 1 f X (u+y)dy 当 u1 或 u1 时，f U (u)=0； 当1u0 时，f U (u)= 0 1 f X (u+y)dy= u 1 dy=1+u； 当0u1 时，f U (u)= 0 1 f X (u+y)dy= 0 1u 1dy=1u， 即 所以，Z=XY=U的密度为 f Z (z)=f U (z)+f
19、 U (z)= 从而 )解析：20.设(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：边缘密度为 f X (x)= f(x，y)dy= f Y (y)= )解析：21.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Z的分布函数为 F Z (y)(z)，则 故 f Z (z)=F Z (z)= )解析：22.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且 X i 服从参数为 i 的指数分布，其密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用连续型的全概率公式 )解析：23.设 X关于 y的条件概率密度为 （分数：2.00）_正确答案
20、：(正确答案：(X，Y)的概率密度为 如图 3-13所示，则 )解析：24.设(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1上的均匀分布，试求给定 Y=y的条件下 X的条件概率密度函数 f X，Y (xy)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(X，Y)服从 G=(x，y)x 2 +y 2 1)上的均匀分布，所以 f(x，y)= 故 f Y (y)= f(x，y)dx= 所以，当1y1 时，有 )解析：25.设随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 3-14所示， F Z (z)=PZz=PX+2Yz= f(x，y)dxdy )解析：26.设
21、试验成功的概率为 ，失败的概率为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X表示“所需试验次数”，则 X的可能取值为 2，3，于是 )解析：27.有 20位旅客乘民航的送客车自机场开出，旅客有 10个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不停车，以 X表示停车的次数，求 EX(设每位旅客在各个车站下车是等可能的，并设各旅客是否下车是相互独立的)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：引入随机变量 X i = i：1，2，10 则 X=X 1 +X 2 +X 10 ，由 PX i =0= ，i=1，2，10 知 EX i =1 ，i=1，2，10 进而 EX= )解析：28.市场上有
22、两种股票，股票 A的价格为 60元股，每股年收益为 R 1 元，其均值为 7，方差为 50股票B的价格为 40元股，每股年收益为 R 2 元，其均值为 32，方差为 25，设 R 1 和 R 2 互相独立某投资者有 10 000元，拟购买 s 1 股股票 A，s 2 股股票 B，剩下的 s 3 元存银行，设银行 1年期定期存款利率为 5，投资者希望该投资策略的年平均收益不少于 800元，并使投资收益的方差最小，求这个投资策略(s 1 ，s 2 ，s 3 )，并计算该策略的收益的标准差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设投资策略为(s 1 ，s 2 ，s 3 )，则该投资策略的收益为 S
23、= ，平均收益及方差为： ES=s 1 7+s 2 32+(10 00060s 1 40s 2 )5， DS=50s 1 2 +25s 2 2 ， 问题为求 DS=50s 1 2 +25s 2 2 的最小值 约束条件为：ES=s 1 7+s 2 32+(10 00060s 1 40s 2 )5800 用拉格朗日乘数法求解该问题，令 L=50s 1 2 +25s 2 2 +(800s 1 7s 2 3210 00060s 1 40s 2 )5， 其中 是待定系数，最优解应满足的一阶条件为： 解此方程组得：s 1 =6356 股，s 2 =3814 股，s 3 =4 6608 元该投资策略的方差和标准差分别为：DS=506356 2 +253814 2 238 360，= )解析：29.设随机变量服从几何分布，其分布律为 PX=k=(1P) k1 p，0p1，k=1，2， 求 EX与DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：EX= 其中 q=1P 由于 又 E(X 2 )= 所以 DX=E(X 2 )(EX) 2 = )解析：
