1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 24及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列事件中与 A互不相容的事件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.3.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则（ ）（分数：2.00）A.P（C）P（A）+P（B）一 1B.P（C）P（A）+P（B）一 1C.P（C）=P（AB）D.P（C）=P（AB）4.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.
2、A与 BC独立B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立5.设随机变量 X的密度函数为 f（x）= （分数：2.00）A.与 a无关，随 的增大而增大B.与 a无关，随 的增大而减小C.与 无关，随 a的增大而增大D.与 无关，随 a的增大而减小6.设随机变量 X服从正态分布 N（0，1），对给定的 （0，1），数 u 满足 PXu =，若P|X|x=，则 x等于（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.7.设相互独立的两随机变量 x与 y均服从分布 B（1， ），则 Px2Y=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=m
3、inX，2的分布函数（ ）（分数：2.00）A.是连续函数B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点9.已知随机变量 X服从二项分布，且 E（X=24，D（X=144，则二项分布的参数 n ，p 的值为 （ ）（分数：2.00）A.n=4，p=06B.n=6，p=04C.n，=8，p=03D.n=24，p=0110.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D（X）0，D（Y）0，则（ ）（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY定不相关11.设随机变量 Xt（n）（n1），Y= （分数：2.00）A.Y 2 （n）B.Y
4、2 （n1）C.YF（n，1）D.YF（1，n）二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知事件 A、B 仅发生一个的概率为 03，且 P（A）+P（B）=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.已知随机变量 x的概率分布为 Px=k= （k=1，2，3），当 X=k时随机变量 Y在（0，k）上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_15.若 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_16.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 （2x +1）
5、（2y1），其中 （x）为标准正态分布函数，则（X，Y）N 1。（分数：2.00）填空项 1:_17.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E（X）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN（0，1），YN（0，2），则 E（X 2 +Y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_19.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E（X i ）=D（X i ）=1（1i2n），如果 Y n = （分数：2.00）填空项 1:_20.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN（0，2），X
6、N（0，3），则 D（X 2 + Y 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的极大似然估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。（分数：2.00）_24.设连续型随机变量 X的分布函数 F（x）=
7、 求：（）常数 A；（）X 的密度函数 f（x）；（分数：2.00）_25.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_26.设随机变量 X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （分数：2.00）_27.已知（X，Y）在以点（0，0），（1，1），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 （）求（X，Y）的联合密度函数 f（x，y）； （）求边缘密度函数 f X （x）f Y （y）及条件密度函数 f X|Y （x|y），f Y|X （y|x）；并问 X与 Y是否独立； （）计算概率 PX
8、 0，Y0， （分数：2.00）_28.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为 （分数：2.00）_29.设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P|=i= （分数：2.00）_30.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_31.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f（x；）= （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 24答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2
9、.下列事件中与 A互不相容的事件是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 与任何一个事件 A都相互不相容，即3.设当事件 A与 B同时发生时，事件 C必发生，则（ ）（分数：2.00）A.P（C）P（A）+P（B）一 1B.P（C）P（A）+P（B）一 1 C.P（C）=P（AB）D.P（C）=P（AB）解析：解析：由题设条件可知 C4.设 A、B、C 三个事件两两独立，则 A、B、C 相互独立的充分必要条件是（ ）（分数：2.00）A.A与 BC独立 B.AB与 AC 独立C.AB与 AC独立D.AB 与 AC 独立解析：解析：经观察，即可知由选项 A能够推得所需条件。
10、事实上，若 A与 BC独立，则有 P（ABC）=P（A）P（BC）。而由题设知 P（BC）=P（B）P（C）。从而 P（ABC）=P（A）P（B）P（C）。故选 A。5.设随机变量 X的密度函数为 f（x）= （分数：2.00）A.与 a无关，随 的增大而增大B.与 a无关，随 的增大而减小C.与 无关，随 a的增大而增大 D.与 无关，随 a的增大而减小解析：解析：概率 PX+a（a0），显然与 a有关，固定 随 a的增大而增大，因而选 C。 事实上，由于 1= + f（x）dx=A + e x dx=Ae 6.设随机变量 X服从正态分布 N（0，1），对给定的 （0，1），数 u 满足 P
11、Xu =，若P|X|x=，则 x等于（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：标准正态分布上 分位数的定义及条件 PXu = 与 P|X|x=，并考虑到标准正态分布概率密度曲线的对称性，可作出如图 322及图 323所示图形。 如图 323所示，根据标准正态分布的上 分位数的定义，可知 7.设相互独立的两随机变量 x与 y均服从分布 B（1， ），则 Px2Y=（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：PX2Y=PX=0+PX=1，Y=1= +Px=1PY=18.设随机变量 X服从指数分布，则随机变量 Y=minX，2的分布函数（ ）（分数：2.00）A.是连续函数
12、B.至少有两个间断点C.是阶梯函数D.恰好有一个间断点 解析：解析：考虑分布函数的连续性问题，需求出其分布函数。因为 X服从指数分布，则其概率密度为 其中 0 为参数。 由分布函数的定义 F Y （y）=PYy=Pmin（X，2）y， 当 y0 时，F Y （y）=0； 当 y2 时，F Y （y）=1； 当 0y2 时， F Y （y）=PminX，2y=PXy= 0 y e x xdx=1e y ， 故 因为 9.已知随机变量 X服从二项分布，且 E（X=24，D（X=144，则二项分布的参数 n ，p 的值为 （ ）（分数：2.00）A.n=4，p=06B.n=6，p=04 C.n，=8
13、，p=03D.n=24，p=01解析：解析：因为 XB（n，p），所以 E（X）=np，D（X）=np（1p），将已知条件代入，可得10.设随机变量 X与 Y相互独立，且方差 D（X）0，D（Y）0，则（ ）（分数：2.00）A.X与 X+Y一定相关 B.X与 X+Y一定不相关C.X与 XY一定相关D.X与 XY定不相关解析：解析：直接根据计算协方差来判断，已知 X与 y独立，故 Cov（X，Y）=0， Cov（X，X+Y）=Cov（X，X）+Cov（X，Y）=D（X）0。 所以 X与 X+Y一定相关，应选 A。 又由于 Cov（X，XY）=E（X 2 Y）E（X）E（XY） 11.设随机变量
14、 Xt（n）（n1），Y= （分数：2.00）A.Y 2 （n）B.Y 2 （n1）C.YF（n，1） D.YF（1，n）解析：解析：因 Xt（n），故根据 t分布定义知 X= 其中 U N（0，1），V 2 （n）。于是Y= 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设两个相互独立的事件 A和 B都不发生的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设，有 由于 A和 B相互独立，所以 即 P（A）1 一 P（B）=1 一 P（A）P（B）， 可得 P（A）=P（B）。 从而 ，且 P（A）1， 解得 P（A）=13.已知事件 A、B 仅发生一
15、个的概率为 03，且 P（A）+P（B）=05，则 A，B 至少有一个不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09）解析：解析：由题设 =P（A）+P（B）2P（AB） =03。 P（A）+P（B）=05，于是解得 P（AB）=01，所以所求的概率为14.已知随机变量 x的概率分布为 Px=k= （k=1，2，3），当 X=k时随机变量 Y在（0，k）上服从均匀分布，即 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题设可知 根据全概率公式，可得15.若 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
16、析：解析：16.设二维随机变量（X，Y）的分布函数为 （2x +1）（2y1），其中 （x）为标准正态分布函数，则（X，Y）N 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：（X，Y）的分布函数为 （2x +1）（2y1），所以可知 X，Y 独立。 根据正态分布 X一 N（， 2 ）的标准化可知 17.将 10双不同的鞋随意分成 10堆，每堆 2只，以 X表示 10堆中恰好配成一双鞋的堆数，则 E（X）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 将第 i堆的第一只鞋固定，第二只鞋要与第一只鞋配对，只有在不同于第一只鞋剩下的 1
17、9只中唯一的一只才有可能，故 Px i =1= ，也就有 18.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN（0，1），YN（0，2），则 E（X 2 +Y）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 X和 Y相互独立，所以 X 2 与 Y相互独立， E（X 2 +Y）=E（X 2 ）+E（Y）， 由于XN（0，1），所以 E（X）=0，D（X）=1。 因此 E（X 2 ）=D（X）+（EX） 2 =1，YN（0，2），故E（Y）=0，所以 E（X 2 +Y）=1。19.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 2n 独立同分布，且 E（X i ）=D（X i
18、）=1（1i2n），如果 Y n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 Z i =X 2i X 2i1 ，则 Z i （1in）独立同分布，且 E（Z i ）=0，D（Z i ）=2。由独立同分布中心极限定理可得，当 n充分大时， 近似服从标准正态分布，所以 c= 20.设随机变量 X和 Y相互独立，且 XN（0，2），XN（0，3），则 D（X 2 + Y 2 ）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：26）解析：解析：因 XN（0，2），故 21.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自参数为 的泊松分布总体的一个样本，则 的
19、极大似然估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 p（x i ；）=PX=x i = （X i =0，1，），则极大似然估计为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的任何一艘都不需要等候码头空出的概率。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设甲、乙两艘船到达的时间分别为 x，y，并把（x，y）视为直角坐
20、标系里的一个点的坐标，则 x， y 满足条件 0x24，0y24。 所以总的基本事件数为坐标系中边长为 24的正方形的面积，如图 314所示。 用事件 A表示“两艘船中任何一艘都不需要等候码头空出”，则x，y 满足不等式 yx1，xy2。 则上述不等式组表示的区域为图中阴影部分的面积，即事件 A的基本事件数。 容易求得正方形面积为 S=24 2 ，阴影部分面积为 23 2 ，根据几何概型，可得 )解析：24.设连续型随机变量 X的分布函数 F（x）= 求：（）常数 A；（）X 的密度函数 f（x）；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）因 X是连续型随机变量，故其分布函数 F（x）在
21、x=1处连续，即 所以 A=1。 （）当 x0 时，F（x）=0，所以 f（x）=F“（x）=0； 当 0x1 时，F（x）=x 2 ，所以f（x）=F“（x）=2x； 当 x1 时，F（x）=1，所以 f（x）=F“（x）=0。 综上所述 )解析：25.已知随机变量 X的概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接根据 F（x）=PXx，F Y （y）=PF（X）y求解。 （）令Y=F（X），则由 0F（x）1 及 F（x）为 x的单调不减连续函数知（如图 326所示），当 y0 时，F Y （y）=0；当 y1 时，F Y （y）=1；当 0y 时， )解析：26.设随机变量
22、X与 Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布率及关于 X和关于 Y的边缘分布率中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.已知（X，Y）在以点（0，0），（1，1），（1，1）为顶点的三角形区域上服从均匀分布。 （）求（X，Y）的联合密度函数 f（x，y）； （）求边缘密度函数 f X （x）f Y （y）及条件密度函数 f X|Y （x|y），f Y|X （y|x）；并问 X与 Y是否独立； （）计算概率 PX 0，Y0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）由于以（0，0），（1，1），（1，1）为顶点的三
23、角形面积为 1，如图332所示，故 )解析：28.已知二维随机变量（X，Y）的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：画出 f（x，y）非零定义域，应用定义、公式进行计算。 因为 f X （x）f Y （y）f（x，y），所以 X与 Y不独立。 （）分布函数法。Z=XY 的分布函数为 由于 F Z （z）为 z的连续函数，除 z=0外，导函数存在且连续，故 )解析：29.设 和 是独立同分布的两个随机变量。已知 的分布律为 P|=i= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）X，Y 可能的取值均为 1，2，3。 由题意可知 XY 始终成立，即XY是不可能事件，故 PX=1，
24、Y=2=PX=1，Y=3=PX=2，Y=3=0。 （X，Y）的联合分布律如下表:)解析：30.设随机变量 X的概率密度为 对 X独立地重复观察 4次，用 Y表示观察值大于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 则有 E（Y 2 ） =D（Y）+ E 2 （Y）=npq +（np） 2 =4 )解析：31.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f（x；）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 L（）=L（x 1 ，x 2 ，x n ；）= 当 x i 9（i=1，2，n）时，L（）0，取对数，得 因为 =2n0，所以 L（）单调增加。 由于 必须满足 x i （i=1，2，n），因此当 取 x 1 ，x 2 ，x n 中最小值时，L（）取最大值，所以 的最大似然估计值为 )解析：
