1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 6及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.随机事件 A与 B互不相容，0P（4）1，则下列结论中一定成立的是（ ）（分数：2.00）A.AB=B.C.A=BD.3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 （分数：2.00）A.0B.C.D.14.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P（C）1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.5.设随机变量 X的分布函数为 F（x
2、），其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 XN（， 2 ），0，其分布函数 F（x）的曲线的拐点为（a，b），则（a，b）为（ ）（分数：2.00）A.（，）B.C.D.（0，）7.设随机变量 X与 Y相互独立，XB（1， ），y 的概率密度 f（y）= 的值为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X （x）与 F Y （y），则 Z=maxX， Y的分布函数f Z （z）是（ ）（分数：2.00）A.maxF X （z），F Y （z）B.F X （z）+F Y （z）F X
3、 （z）F Y （z）C.F X （z）F Y （z）D.9.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 E（X1）（X2）=1，则 =（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.假设二维随机变量（X 1 ，X 2 ）的协方差矩阵为 （分数：2.00）A.p=0B.C.D.|=111.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，x 5 是取自总体 N（0，1）的简单随机样本，已知 （分数：2.00）A.5B.4C.3D.2二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。（
4、分数：2.00）填空项 1:_13.已知事件 A与 B相互独立，P（A）=a，P（B）=b。如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件 A、B、C 均不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的密度函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， （分数：2.00）填空项 1:_16.已知 X （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机量 X和 y相互独立，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X的概率密度为 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_19.D（X）=2，则根
5、据切比雪夫不等式有 P|XE（X）|2 1。（分数：2.00）填空项 1:_20.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总体 N（0，2 2 ）的简单随机样本，Y=a（X 1 2X 2 ） 2 +6（3X 3 4X 4 ） 2 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_21.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.
6、00）_23.袋中有 a只白球，6 只红球，k（ka+b）个人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽样；（2）做不放回抽样。求第 i（i=1，2，k）人取到白球（记为事件 B）的概率。（分数：2.00）_24.已知连续型随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_26.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的。1 分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1= ，定义随机变量 Z= （分数：2.00）_27.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=Ae 2x +2xy一 y 2 ，x+，y+，求常数 A及条件概率密
7、度 f Y|X （y|x）。（分数：2.00）_28.设二维随机变量（X，Y）在区域 G=（x，y）|1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： （）（X，Y）的边缘概率密度 f X （x）和 f Y （y）； （）Z=X+Y 的概率密度 f Z （z）。（分数：2.00）_29.将 3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X表示有球的盒子数，求 E（X），D（X）。（分数：2.00）_30.某流水线上每个产品不合格的概率为 p（0p1），各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E（X）和方差D（X）。（分数：
8、2.00）_31.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 6答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.随机事件 A与 B互不相容，0P（4）1，则下列结论中一定成立的是（ ）（分数：2.00）A.AB=B. C.A=BD.解析：解析：因 AB=3.设 A，B 是任意两个随机事件，则 （分数：2.00）A.0 B.C.D.1解析：解析：由事件运算法则的分配律知4.设 A、B、C 是三个相互独立的随机事件，且 0P
9、（C）1，则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：本题考查多个随机事件间的独立性的关系。由 A、B、C 相互独立可知，事件 A、B 的和、差、积（或其逆）与事件 C或5.设随机变量 X的分布函数为 F（x），其密度函数为 其中 A为常数，则 的值为（ ）（分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：根据题意得，f（x）关于 x=6.设随机变量 XN（， 2 ），0，其分布函数 F（x）的曲线的拐点为（a，b），则（a，b）为（ ）（分数：2.00）A.（，）B.C. D.（0，）解析：解析：X N（， 2 ），其密度函数 f（x）= ，故
10、曲线拐点在(, 7.设随机变量 X与 Y相互独立，XB（1， ），y 的概率密度 f（y）= 的值为（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：x B（1， ），x 取值只能是 X=0或 X=1，将 X=0和 X=1看成完备事件组， 用全概率公式有8.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X （x）与 F Y （y），则 Z=maxX， Y的分布函数f Z （z）是（ ）（分数：2.00）A.maxF X （z），F Y （z）B.F X （z）+F Y （z）F X （z）F Y （z）C.F X （z）F Y （z） D.解析：解析：F Z （z）=P max（X
11、，Y）z=PXz，Yz =PXzPYz=F X （z）F y （z），故选项 C正确。9.设随机变量 X服从参数为 的泊松分布，且 E（X1）（X2）=1，则 =（ ） （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：因 X服从参数为 的泊松分布，故 E（X）=，D（X）=。则 E（X1）（X2）=E（X 2 3X +2）=E（X 2 ）3E（X） +2， 其中 E（X 2 ）=D（X）+E（X） 2 =+ 2 ， 代入得 2 2+1=0，故 =1。10.假设二维随机变量（X 1 ，X 2 ）的协方差矩阵为 （分数：2.00）A.p=0B.C.D.|=1 解析：解析：| |=0 11 22 =
12、 12 21 D（X 1 ）D（X 2 ） =Cov 2 （X 1 ，X 2 ） 11.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，x 5 是取自总体 N（0，1）的简单随机样本，已知 （分数：2.00）A.5B.4C.3 D.2解析：解析： + a（X 1 X 2 +X 3 X 4 ） 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设事件 A：所取的两件产品中至少有一件是不合格品。事件 B:所取的两
13、件都是不合格品。 因为 P（A）=1 且 P（A）P（B），所以13.已知事件 A与 B相互独立，P（A）=a，P（B）=b。如果事件 C发生必然导致事件 A与 B同时发生，则事件 A、B、C 均不发生的概率为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：（1a）（1b）解析：解析：所求的概率为 已知“事件 C发生必导致 A、B 同时发生”，显然是用于化简 的。已知 又因为 A与 B独立，故所求的概率为14.设随机变量 X的密度函数 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 1= + f（x）dx= 1 2 Axdx+ 2 3 B
14、dx= +B，又 P1X2=P2X3， 即 1 2 Axdx= 2 3 Bdx， 15.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e ；1 ）解析：解析：已知 Xf（x）= 所求的概率为 PX+Y=0=PY=一 X =P|X|1=PX1+PX 1= 1 e x dx=e 。 根据全概率公式，可得 16.已知 X （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 1 ， 2 ， 3 线性无关，所以“ 1 + 2 ， 2 +2 3 ，X 3 +Y 1 线性相关” =X+2Y=0”，故所求的概率为 PX +2Y=0=
15、PX +2Y=0，Y= =PX=1，Y= 17.设随机量 X和 y相互独立，其概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：E（X）= + xf（x）dx= 0 1 x2xdx= 18.设随机变量 X的概率密度为 f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据题意，即求 E（X 2 ）。首先对所给概率密度作变换：对于 x（一x+），有 由此可知随机变量 X服从正态分布，从而 E（X）= 于是 E（X 2 ）=D（X） + E 2 X= 19.D（X）=2，则根据切比雪夫不等式有 P|XE（X）|2 1。（分数：2.
16、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据切比雪夫不等式，有20.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是取自正态总体 N（0，2 2 ）的简单随机样本，Y=a（X 1 2X 2 ） 2 +6（3X 3 4X 4 ） 2 ，则当 a= 1，b= 2 时，统计量服从 2 分布，自由度为 3。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：根据题意 X i N（0，2 2 ）且相互独立，所以 X 1 2X 2 N（0，20），3X 3 4X 4 N（0，100），故 且它们相互独立，根据 2 分布典型模式及性质知 （3X 3 4X 4 ） 2 2
17、（2）， 所以 21.设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自区间a，a上均匀分布的总体 X的简单随机样本，则参数 a的矩估计量为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为 E（X）=0，不能用一阶矩来估计。 E（X 2 ）=D（X）+E 2 （X）= 样本二阶矩为 三、解答题(总题数：10，分数：20.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.袋中有 a只白球，6 只红球，k（ka+b）个人依次在袋中取一只球，（1）作放回抽样；（2）做不放回抽样。求第 i（i=1，2，k）人取到白球（记为事件 B）的概率。
18、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（1）放回抽样的情况，显然有 P（B）= （2）不放回抽样的情况，每人取一只球，每种取法是一个基本事件，共有 （a+b）（a +b1）（a+bk+1）=A a+b k 个基本事件，且由对称性知每个基本事件发生的可能性相同。当事件 B发生时，第 i人取的应该是白球，它可以是 a只白球中的任一只，有 a种取法。其余被取的 k1只球可以是其余 a+b1只球中的任意 k1只，共有 （a+b1）（a+b2）a+b1（k1）+1=A a+b1 k1 种取法，于是事件 B包含 aA a+b1 k1 个基本事件，故 )解析：24.已知连续型随机变量 X的概率密度为 （
19、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1= + = 0 ae x dx+ 0 2 0=E（X）= + xf（x）dx=axe x dx+ 0 2 解方程组 )解析：25.设随机变量 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据分布函数的定义，有 F Y （y）=PYy=Pe X y= 于是当 y1 的时候，满足 F Y （y）=PXlny= 0 lny e x dx。 因此所求概率密度函数为 )解析：26.已知随机变量 X与 Y相互独立且都服从参数为 的。1 分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1= ，定义随机变量 Z= （分数：2.00）_正确答案：(正确答
20、案：由于（X，Y）是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z及（X，Z）的分布，进而判断 X、Z 是否独立。 由题设知 的 01分布；所以（X，Z）的联合概率分布为 因 PX=i，Z=j= )解析：27.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）=Ae 2x +2xy一 y 2 ，x+，y+，求常数 A及条件概率密度 f Y|X （y|x）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据概率密度的性质 + + f（x，y）dxdy=1，可知 （ + + Ae 2x2+2xyy2 dxdy=A + e x2 dx + e （xy） 2 dy=
21、1， )解析：28.设二维随机变量（X，Y）在区域 G=（x，y）|1x+y2，0y1上服从均匀分布。试求： （）（X，Y）的边缘概率密度 f X （x）和 f Y （y）； （）Z=X+Y 的概率密度 f Z （z）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：区域 G如图 336所示：可知区域 G是菱形，其面积为 1。故 )解析：29.将 3个球随机地放入四个盒子中，以随机变量 X表示有球的盒子数，求 E（X），D（X）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 可能的取值是 1，2，3，其中 )解析：30.某流水线上每个产品不合格的概率为 p（0p1），各产品合格与否相对独立，当出现 1个不合格产品时即停机检修。设开机后第 1次停机时已生产了的产品个数为 X，求 X的数学期望 E（X）和方差D（X）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 q=1p，所以 X的概率分布为 PX=k=q k1 p（k=1，2，），故 X的数学期望为 )解析：31.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E（X）= 所以 p的矩估计量 )解析：
