1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 9 及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)是定义在(一 1，1)内的奇函数，且 （分数：2.00）A.aB.一 aC.0D.不存在3.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导4.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )
2、（分数：2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小5.已知函数 f(x)=lnx 一 1，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.函数 y= （分数：2.00）A.(一 1，0)B.(一C.(1，0)D.(7.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)= ( )（分数：2.00）A.nf(x) n+1B.n!f(x) n+1C.(n+1)f(x) n+1D.(n+1)!f(x) n+19.函数 y=
3、f(x)满足条件 f(0)=1，f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0， 则它的图形是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_14.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则 a，b，
4、c，d 分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设 f(x)=x 3 +4x 2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况（分数：2.00）_17.求 y= （分数：2.00）_18.设 y= （分数：2.00）_19.设函数 f(y)的反函数 f 一 1 (x)及 f“f 一 1 (x)与 f“f 一 1 (x)都存在，且 f 一 1 f 一 1 (x)0证明： （分数：2.00）_20.求函数 y= （分数：2.00）_21.y= （分数：
5、2.00）_22.设 y=y(x)是由 sin xy=ln （分数：2.00）_23.设 y=f(ln x)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_24.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ， f(2)=1， 计算 f (n) (2)（分数：2.00）_25.设曲线 f(x)=e n 在点(1，1)处的切线与 z 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：2.00）_26.曲线 y= （分数：2.00）_27.设 (x)= （分数：2.00）_28.证明：不等式 1+xln(x+ （分数：2.00）_29.讨论方程 2x 3 一 9x 2
6、 +12x 一 a=0 实根的情况（分数：2.00）_30.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_31.设 f n (x)=x+x 2 +一 x n ，n=2，3， (1)证明方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ； (2)求 （分数：2.00）_32.设 f n (x)=1 一(1 一 cos x) n ，求证： (1)对于任意正整数 n，f n (x)= 中仅有一根； (2)设有 x n （分数：2.00）_33.在数 1， （分数：2.00）_34.证明：方程 x a =ln x(a0)在(0，+)上有且仅有一个实根（分数：2.00）_35
7、.设 0k1，f(x)=kx 一 arctan x证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 9 答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)是定义在(一 1，1)内的奇函数，且 （分数：2.00）A.a B.一 aC.0D.不存在解析：解析：由于 f(x)为(一 1，1)内的奇函数，则 f(x)=0于是 3.设 f(x)= （分数
8、：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导 解析：解析： 4.设函数 f(x)可导，且曲线 y=f(x)在点(x 0 ，f(x 0 )处的切线与直线 y=2 一 x 垂直，则当x0 时，该函数在 x=x 0 处的微分 dy 是 ( )（分数：2.00）A.与x 同阶但非等价的无穷小B.与x 等价的无穷小 C.比x 高阶的无穷小D.比x 低阶的无穷小解析：解析：由题设可知 f“(x 0 )=1，而 5.已知函数 f(x)=lnx 一 1，则 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：应当把绝对值函数写成分段函数，f(x)=6.函数 y= （分数：2.
9、00）A.(一 1，0)B.(一 C.(1，0)D.(解析：解析：因为 f“(x)=x 2 +x+6，所以 f“(0)=6故过(0，1)的切线方程为 y 一 1=6x，因此与 x 轴的交点为(一 7.函数 f(x)= 在 x= 处的 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f(x)在 x= 处的左、右导数为：8.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)= ( )（分数：2.00）A.nf(x) n+1B.n!f(x) n+1 C.(n+1)f(x) n+1D.(n+1)!f(x) n+1解析：解析：由 f“(x)=f(x) 2 得
10、f“(x)=f“(x)“=(f(x) 2 “=2f(x)f“(x)=2f(x) 3 ， 这样n=1，2 时 f (n) (x)=n!f(x) n+1 成立假设 n=k 时，f (k) (x)=k!f(x) k+1 则当 n=k+1 时，有 f k+1 (x)=k!(f(x) k+1 “=(k+1)!f(x) k f“(x)=(k+1)!f(x) k+2 ，由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)9.函数 y=f(x)满足条件 f(0)=1，f“(0)=0，当 x0 时，f“(x)0， 则它的图形是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因函数单调增加，且在 x=0 处有水平切线
11、，选(B)二、填空题(总题数：5，分数：10.00)10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：11.如果 f(x)在a，b上连续，无零点，但有使 f(x)取正值的点，则 f(x)在a，b上的符号为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：正）解析：解析：利用反证法，假设存在点 x 1 a，b，使得 f(x 1 )0又由题意知存在点 x 2 a，b，x 2 x 1 ，使得 f(x 2 )0由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点 介于 x 1 和 x 2 之间，使得 f()=0，显然 a，b，这与已知条件矛盾12.设函数 f(x)=
12、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一*）解析：解析：利用洛必达法则， =b，由于 f(x)在 x=0 处可导，则在该点处连续，就有 b=f(0)=一1，再由导数的定义及洛必达法则，有13.曲线 y=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(0，+)）解析：解析：y“=1+14.设曲线 y=ax 3 +bx 2 +cx+d 经过(一 2，44)，x=一 2 为驻点，(1，一 10)为拐点，则 a，b，c，d 分别为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，一 3，一 24，16）解析：解析：由条件有三、解答题(总题数：21，分数：
13、42.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设 f(x)=x 3 +4x 2 一 3x 一 1，试讨论方程 f(x)=0 在(一，0)内的实根情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(一 5)=一 110，f(一 1)=50，f(0)=一 10，所以 f(x)在一 5，一 1及一 1，0上满足零点定理的条件，故存在 1 (一 5，一 1)及 2 (一 1，0)，使得 f( 1 )=f( 2 )=0，所以方程 f(x)=0 在(一，0)内存在两个不等的实根又因为 f(1)=10，同样 f(x)在0，1上满足零点定理的条件，在(0，
14、1)内存在一点 3 ，使得 f( 3 )=0，而 f(x)=0 为三次多项式方程，它最多只有三个实根，因此方程 f(x)=0 在(一，0)内只有两个不等的实根)解析：17.求 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设函数 f(y)的反函数 f 一 1 (x)及 f“f 一 1 (x)与 f“f 一 1 (x)都存在，且 f 一 1 f 一 1 (x)0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x=f(y)则其反函数为 y=f 一 1 (x)，对 x=f(y)两边关于 x 求导，得 )解析：
15、20.求函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.设 y=y(x)是由 sin xy=ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 y=f(ln x)e f(x) ，其中 f 可微，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设函数 f(x)在 x=2 的某邻域内可导，且 f“(x)=e f(x) ， f(2)=1， 计算 f (n) (2)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f“(x)=e f(x) 两边求导数得 f“(x)=e f(x) f“(x)
16、=e 2f(x) ， 两边再求导数得 f“(x)=e 2f(x) 2f“(x)=2e 3f(x) ， 两边再求导数得 f (4) (x)=2e 3f(x) 3f“(x)=3!e 4f(x) ， 由以上规律可得 n 阶导数 f (n) (x)=(n 一 1)!e nf(x) ， 所以 f (n) (2)=(n1)!e n )解析：25.设曲线 f(x)=e n 在点(1，1)处的切线与 z 轴的交点为(x n ，0)，计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由导数几何意义，曲线 f(x)=x n 在点(1，1)处的切线斜率 k=f“(1)=nx n 一 1 x=1 =n， 所以切线方程为
17、 y=1+n(x 一 1)，令 y=1+n(x 一 1)一 0 )解析：26.曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 又 f(x)在 x=0 处可导，于是根据复合函数的求导法则，有 F“(0)=f“(0)“(0)=0 所以 )解析：28.证明：不等式 1+xln(x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 知 x=0 为极小值点，即最小值点 f(x)的最小值为 f(0)=0，于是，对一切x(一，+)，有 f(x)0，即有 )解析：29.讨论方程 2x 3 一 9x 2 +12x 一 a=0 实根的情况
18、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=2x 3 一 9x 2 +12x 一 a，讨论方程 2x 3 一 9x 2 +12x 一 a=0 实根的情况，即讨论函数 f(x)零点的情况 显然， )解析：30.讨论方程 axe x +b=0(a0)实根的情况（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=axe x +b，因为 =+，求函数 f(x)=axe x +b 的极值，并讨论极值的符号及参数 b 的值 f“(x)=ae x +axe x =ae x (1+x)，驻点为 x=一 1， f“(x)=2ae x +axe x ae x (2+x)，f“(一 1)0，所以，x
19、=一 1 是函数的极小值点，极小值为 f(一 1)=b 一 当 b (0)时，函数 f(x)无零点，即方程无实根； 当 b= (0)时，函数 f(x)有一个零点，即方程有一个实根； 当 0b )解析：31.设 f n (x)=x+x 2 +一 x n ，n=2，3， (1)证明方程 f n (x)=1 在0，+)有唯一实根 x n ； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f n (x)连续，且 f n (0)=0，f n (1)=n1，由介值定理， x n (0，1)，使 f n (x n )=1，n=2，3，又 x0 时，f“ n (x)=1+2x+nx n 一 1 0，故
20、f n (x)严格单增，因此x n 是 f n (x)=1 在0，+)内的唯一实根 (2)由(1)可得，x n (0，1)，n=2，3，所以x n 有界 又因为 f n (x n )=1=f n+1 (x n+1 )，n=2，3，所以 x n +x n 2 +x n n =x n+1 +x n+1 2 +x n+1 n +x n+1 n+1 ， 即(x n +x n 2 +x n )一(x n+1 +x n+1 2 +x n+1 n )=x n+1 n+1 0，因此 x n x n+1 ，n=2，3，即x n 严格单调减少 )解析：32.设 f n (x)=1 一(1 一 cos x) n ，
21、求证： (1)对于任意正整数 n，f n (x)= 中仅有一根； (2)设有 x n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 f n (x)连续，又有 f n (0)=1， 又因为 f“ n (x)=一 n(1 一 cos x) n 一 1 sin x0，x 内严格单调减少因此，满足方程 f n (x)= 中仅有一根 )解析：33.在数 1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先考查连续函数 f(x)= (x0) 令 f“(x)= =0 得 x=e，且有当 xe 时，f“(x)0，f(x)单调增加； 当 xe 时，f“(x)0，f(x)单调减少 所以，f(e)为 f(x)在 x0 时的最大值，而 2e3，于是所求的最大值必在 )解析：34.证明：方程 x a =ln x(a0)在(0，+)上有且仅有一个实根（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=ln xx ，则 f(x)在(0，+)上连续，且 f(1)=一 10， X1，当 xX 时，有 f(x)M0，任取 x 0 X，则 f(1)f(x 0 )0，根据零点定理， )解析：35.设 0k1，f(x)=kx 一 arctan x证明：f(x)在(0，+)中有唯一的零点，即存在唯一的 x 0 (0，+)，使 f(x 0 )=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
