1、考研数学二（常微分方程）-试卷 7 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.微分方程 y“-y=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +bC.ae x +bxD.axe x +bx3.在下列微分方程中以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是 ( )（分数：2.00）A.y“+y“-4y“-4y=0B.y“+
2、y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=0二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.设函数 (u)可导且 (0)=1，二原函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：29，分数：58.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_6.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意
3、时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_7.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_8.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_9.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=1
4、0s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_10.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_11.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f“(x)+ （分数：2.00）_12.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 z=h(t)- （分数：2.00）_13.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常
5、数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_14.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_15.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 k x (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(
6、kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_16.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）_17.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)成立，又f“(0)=1，求 f(x)（分数：2.00）_18.设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)=0，又二元函数 z=f(e x -e y )满足 （分数：2.00）_19.求微分方程 （分数：2.00）_20.微分方程 （分数：2.00）_21.求微分方程 （分数：2.00）_22.求微分方程 xy“+(1-x)y=e 2x (x0)的满足 （分
7、数：2.00）_23.求微分方程 y“+ycosx=(lnx)e -sinx 的通解（分数：2.00）_24.求微分方程 （分数：2.00）_25.求微分方程(1-x 2 )y“-xy“=0 的满足初始条件 y(0)-0，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_26.已知微分方程 y“+y=f(x)，其中 f(x)= （分数：2.00）_27.解方程(3x 2 +2)y“=6xy“，已知其解与 e x -1(x0)为等价无穷小（分数：2.00）_28.求微分方程 yy“+(y“) 2 =0 的满足初始条件 y(0)=1，y“(0)= （分数：2.00）_29.设函数 y=y(x)满足微分方程
8、 y“-3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x 2 -x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x)（分数：2.00）_30.求微分方程 y“-y=4cosx+e x 的通解（分数：2.00）_31.设连续函数 f(x)满足： （分数：2.00）_32.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_33.设 u= （分数：2.00）_考研数学二（常微分方程）-试卷 7 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.微分方程 y“
9、-y=e x +1 的一个特解应具有形式(式中 a，b 为常数)( )（分数：2.00）A.ae x +bB.axe x +b C.ae x +bxD.axe x +bx解析：解析：y“-y=0 的特征方程为 2 -1=0，特征值为 1 =-1， 2 =1，y“-y=e x 的特解形式为y 1 =axe x ，y“-y=1 的特解形式为 y 2 =b，故方程 y“-y=e x +1 的特解形式为 y=axe x +b，应选(B)3.在下列微分方程中以 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x(C 1 ，C 2 ，C 3 为任意常数)为通解的是 ( )（分数：2.00）A.y
10、“+y“-4y“-4y=0B.y“+y“+4y“+4y=0C.y“-y“-4y“+4y=0D.y“-y“+4y“-4y=0 解析：解析：因为通解为 y=C 1 e x +C 2 cos2x+C 3 sin2x， 所以特征值为 1 =1， 2,3 =2i， 特征方程为(-1)(-2i)(+2i)=0，整理得 3 - 2 +4-4=0， 对应为微分方程为 y“-y“+4y“-4y=0，应选(D)二、填空题(总题数：1，分数：2.00)4.设函数 (u)可导且 (0)=1，二原函数 z=(x+y)e xy 满足 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x+y=u，
11、则 再由 (0)=1 得 C=1，故 (u)=三、解答题(总题数：29，分数：58.00)5.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：6.在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin 的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 t0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m 1 (t)，m 2 (t)，在时
12、间t，t+dt内有 dm 1 = ，且满足初始条件 m 1 (0)=150，解得 m 1 (t)= ；在时间t，t+dt内有 )解析：7.某人的食量是 2500 卡天(1 卡=41868 焦)，其中 1200 卡天用于基本的新陈代谢在健身运动中，他所消耗的为 16 卡千克天乘以他的体重假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量 10000 卡，求该人体重怎样随时间变化（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：输入率为 2500 卡天，输出率为(200+16w)，其中 w 为体重，根据题意得 )解析：8.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8
13、m，另一边下垂 10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为(10+x)g-(8-x)g=2(x+1)g 链条的总重量为 188，由牛顿第二定理 F=ma 得 )解析：9.质量为 1g 的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在 t=10s 时，速度等于 50cms外力为 392cms 2 ，问运动开始 1min 后的速度是多少?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案
14、：由题意得 ，因为当 t=10 时，u=50，F=392，所以 k=196，从而 F= ，分离变量得 vdv=196tdt， 所以 =98t 2 +C，由 v t=10 =50，得 C=-8550， 于是 )解析：10.设非负函数 f(x)当 x0 时连续可微，且 f(0)=1由 y=f(x)，x 轴，y 轴及过点(x，0)且垂直于 x 轴的直线围成的图形的面积与 y=f(x)在0，x上弧的长度相等，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据题意得 )解析：11.设函数 f(x)二阶连续可导，f(0)=1 且有 f“(x)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 )解
15、析：12.高度为 h(t)(t 为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足 z=h(t)- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：t 时刻雪堆体积 V= 侧面积 S= ，根据题意得 因为 h(0)=130，所以C=130，则 h(t)= )解析：13.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 1km，问降雪是什么时候开始的?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(
16、t-T)，又 bH(t)s=ct，)解析：14.设 A 从原点出发，以固定速度 v 0 沿 y 轴正向行驶，B 从(x 0 ，0)出发(x 0 0)，以始终指向点 A 的固定速度 v 1 朝 A 追去，求 B 的轨迹方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 t 时刻 B 点的位置为 M(x，y)，则 两边积分，得 由 y(x 0 )=0，得 c 1 = ，则 B 的轨迹方程为 当 k=1 时，B 的轨迹方程为 )解析：15.飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v 0 (ms)，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的
17、比例系数为 k x (kg.s 2 m 2 )，在垂直方向的比例系数为 k y (kg.s 2 m 2 )设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：水平方向的空气阻力 R x =k x v 2 ，垂直方向的空气阻力 R y =k y v 2 ，摩擦力为 W=(mg-R y )，由牛顿第二定律，有 )解析：16.设函数 y=y(x)满足y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：17.设 f(x)在(-，+)上有定义，且对任意实数 a，b，都有等式 f(a+b)=e a f(b)+e b f(a)成立，又f“(0)=1，求
18、 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 a=0，b=0 得 f(0)=0 )解析：18.设当 u0 时 f(u)一阶连续可导，且 f(1)=0，又二元函数 z=f(e x -e y )满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 )解析：19.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：20.微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通解为 )解析：22.求微分方程 xy“+(1-x)y=e 2x (x0)的满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 )
19、解析：23.求微分方程 y“+ycosx=(lnx)e -sinx 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：通解为 y=(lnx)e -sinx .e cosxdx dx+Ce -cosxdx =(lnxdx+C)e -sinx =(xlnx-x+C)e -ssinx)解析：24.求微分方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原方程化为 =lnx 通解为 )解析：25.求微分方程(1-x 2 )y“-xy“=0 的满足初始条件 y(0)-0，y“(0)=1 的特解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(1-x 2 )y“-xy“=0 的 由 y“(0)=1 得 C 1 =
20、1，从而 y“= )解析：26.已知微分方程 y“+y=f(x)，其中 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0x1 时，y“+y=2 的通解为 y=C 1 e -x +2； 当 x1 时，y“+y=0 的通解为 y=C 2 e -x ， 即 y= 由 y(0)=0 得 C 1 =-2，再由 C 1 e -1 +2=C 2 e -1 得 C 2 =2e-2， 故所求的特解为 )解析：27.解方程(3x 2 +2)y“=6xy“，已知其解与 e x -1(x0)为等价无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(3x 2 +2)y“=6xy“得 从而 y“=C 1 (3
21、x 2 +2)，解得 y=C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 ， 因为 C 1 x 3 +2C 1 x+C 2 e x -1x，所以 C 1 = ，C 2 =0， 故所求的解为 y= )解析：28.求微分方程 yy“+(y“) 2 =0 的满足初始条件 y(0)=1，y“(0)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 yy“+(y“) 2 =0 得(yy“)“=0，从而 yy“=C 1 ， 进一步得 =C 1 x+C 2 ， 由 y(0)=1，y“(0)= )解析：29.设函数 y=y(x)满足微分方程 y“-3y“+2y=2e x ，且其图形在点(0，1)处的切线与曲线 y=x
22、2 -x+1 在该点的切线重合，求函数 y=y(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 -3+2=0，特征值为 1 =1， 2 =2，y“-3y“+2y=0 的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x 令特解 y 0 =axe x ，代入得 a=-2， 原方程的通解为 y=C 1 e x +C 2 e 2x -2xe x 曲线 y=x 2 -x+1 在(0，1)处的斜率为 y“ x=0 =-1， 由题意得 y(0)=1，y“(0)=-1，从而 )解析：30.求微分方程 y“-y=4cosx+e x 的通解（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：特征方程为 2 -1
23、=0，特征值为 1 =-1， 2 =1，y“-y=0 的通解为 y=C 1 e -x +C 2 e x ， 令 y“-y=4cosx 的特解为 y 1 =acosx+bsinx，代入得 a=-2，b=0； 令 y“-y=e x 的特解为 y 3 =cxe x ，代入得 c= 特解为 y 0 =-2cosx+ xe x ， 原方程通解为 y=C 1 e -x +C 2 e x -2cosx+ )解析：31.设连续函数 f(x)满足： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f(x)二阶可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 u= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由对称性得 f“(1nr)=r 5 ，从而 f“(t)=e 5t ， )解析：
