1、研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 11 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：6，分数：12.00)1.证明矢量场 F=(ycosxy)e x +(xcosxy)e y +sinze z 为有势场。（分数：2.00）_2.证明：如果 A.B=A.C 和 AB=AC，则 B=C。（分数：2.00）_3.证明：(1) .R=3，(2) R=0，(3) （分数：2.00）_4.证明 （分数：2.00）_5.利用直角坐标，证明 （分数：2.00）_6.证明(Cr)=2C，式中 C 为常矢量，r 为位置矢量。（分数：2.00）_二、计算题(总题数：24，分数：48
2、.00)7.给定两个矢量 A=2e x +3e y -4e z 和 B=4e x 一 5e y +6e z ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。（分数：2.00）_8.已知 A=3ye x +2z 2 e y +xye z ，B=x 2 e x -4e z ，求 （分数：2.00）_9.求标量函数 =x 2 yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量 （分数：2.00）_10.已知矢量 E=e x (x 2 +axz)+e y (xy 2 +by)+e z (zz 2 +czx-2xyz)，试确定常数 a、b、C，使 E 为无源场。（分数：2.00）_11.设 S 为上
3、半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，求矢量场 r=xe x +ye y +ze z 向上穿过 S 的通量 提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向。（分数：2.00）_12.设 a 为常矢量，r=xe x +ye y +ze z ，r=|r|，求： （分数：2.00）_13.求 F=x(zy)e x +y(xz)e y +z(yx)e x 在点 M(1，2，3)处沿 e n = （分数：2.00）_14.求曲线 r(t)=te x +t 2 e y +t 3 e z 上这样的点，使该点的切线平行于平面 x+2y+z=4。（分数：2.00）_15.如果给定一个未知矢量与一
4、个已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知量。设 A 为一已知矢量，p=A.X 而 P=AX，p 和 P 已知，试求 X。（分数：2.00）_16.给定三个矢量 A、B 和 C 如下： A=e x +2e y 一 3e z B=一 4e y +e z C=5e x 一 2e z 求：(1)e A ；(2)|AB|；(3)A.B；(4) AB ；(5)AC；(6)A.(BC)和(AB).C；(7)(AB)C 和 A(BC)。（分数：2.00）_17.求 P(一 3，1，4)点到 P(2，-2，3)点的距离矢量 R 及 R 的方向。（分数：2.00）_18.求标量函数 =x 2 yz 的梯度
5、及 在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量 （分数：2.00）_19.三个矢量 A、B、C，A=sincose r +coscose sine ，B=z 2 sine +z 2 cose +2zsine z ，C=(3y 2 -2x)e x +x 2 e y +2ze z 。(1)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?(2)求出这些矢量的源分布。（分数：2.00）_20.若在标量场 u=u(M)中恒有 （分数：2.00）_21.利用直角坐标，证明 （分数：2.00）_22.求矢量场 A=xyze x -2xy 2 e y +2yz 2 e z 在点 M
6、(1，1，-2)处沿矢量 n=2e x +3e y +6e z 方向的环流面密度。（分数：2.00）_23.一径向矢量场用 F=f(r)e r 表示，如果 （分数：2.00）_24.给定矢量函数 E x =ye x +xe y ，计算从点 P 1 (2，1，一 1)到 P 2 (8，2，一 1)的线积分E.dl。(1)沿抛物线 x=2y 2 ；(2)沿连接该两点的直线，这个 E 是保守场吗?（分数：2.00）_25.已知 R=(x-x)e x +(y-y)e y +(z-z)e z ，R=|R|。证明：(1) 表示对 x，y 和 z 的运算， （分数：2.00）_26.已知标量函数 u=x 2
7、 +2y 2 +3z 2 一 2y 一 6z。(1)求 (2)在哪些点上 （分数：2.00）_27.已知 R=(x-x)e x +(yy)e y +(z-z)e z ，R=|R|。求矢量 （分数：2.00）_28.已知圆柱坐标系中某点的位置为 （分数：2.00）_29.已知直角坐标系中的矢量 A=ae x +be y +ce z ，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求该矢量在圆柱坐标系及球坐标系中的表达式。（分数：2.00）_30.已知圆柱坐标系中的矢量 A=ae +be +ce z ，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求.A、A 以及 A 在相应的直角坐标系及球坐标系
8、中的表达式。（分数：2.00）_研究生入学考试（电磁场与电磁波）-试卷 11 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、证明题(总题数：6，分数：12.00)1.证明矢量场 F=(ycosxy)e x +(xcosxy)e y +sinze z 为有势场。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“有势场” “无旋场” “保守场”。 )解析：2.证明：如果 A.B=A.C 和 AB=AC，则 B=C。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 AB=AC，则有 A(AB)=A(AC)，即 A(A.B)一 B(A.A)=A(A.C)一 C(A.A) 由于 A.B=A.C，即 B=C
9、 证毕)解析：3.证明：(1) .R=3，(2) R=0，(3) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：4.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据算子的微分运算性质，有 由 A.(BC)=C.(AB)，可得： )解析：5.利用直角坐标，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系中 )解析：6.证明(Cr)=2C，式中 C 为常矢量，r 为位置矢量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 C 为常矢量，r 为位置矢量， 所以，设 C=Ce x ，r=xe x +ye y +ze z )解析：二、计算题(总题数：24，分数：48.00)7.给定
10、两个矢量 A=2e x +3e y -4e z 和 B=4e x 一 5e y +6e z ，求它们之间的夹角和 A 在 B 上的分量。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： |A.B|=(2e x +3e y -4e z ).(4e x -5e y +6e z )=-31 故 A 与 B 之间的夹角为 A 在 B 上的分量为 )解析：8.已知 A=3ye x +2z 2 e y +xye z ，B=x 2 e x -4e z ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =-8z 2 e x +(12y+x 3 y)e y -2x 2 z 2 e z )解析：9.求标量函数 =x 2
11、 yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 点(2，3，1)处沿 e l 的方向导数值为 )解析：10.已知矢量 E=e x (x 2 +axz)+e y (xy 2 +by)+e z (zz 2 +czx-2xyz)，试确定常数 a、b、C，使 E 为无源场。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 )解析：11.设 S 为上半球面 x 2 +y 2 +z 2 =a 2 (z0)，求矢量场 r=xe x +ye y +ze z 向上穿过 S 的通量 提示：注意 S 的法矢量 n 与 r 同指向。（分数：2.00）_正确答案：(
12、正确答案：= S r.dS= S r.ndS= S |r|dS = )解析：12.设 a 为常矢量，r=xe x +ye y +ze z ，r=|r|，求： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据公式 其中 C 为常矢量，f 为标量函数。 )解析：13.求 F=x(zy)e x +y(xz)e y +z(yx)e x 在点 M(1，2，3)处沿 e n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意，环量密度 F=x(zy)e x +y(xz)e y +z(yx)e z 则 =e x (zy)+e y (xz)+e z (yx) 故 M 点处环量密度 )解析：14.求曲线 r(t
13、)=te x +t 2 e y +t 3 e z 上这样的点，使该点的切线平行于平面 x+2y+z=4。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线某点处的切线方程是 平面的法线方向 e n =e x +2e y +e z 若过某点的切线平行于平面，则此点处切线与平面的法线垂直。于是 (e x +2te y +3t 2 e z ).(e x +2e y +e z )=1+4t+3t 2 =0 解得 t=一 1 或 从而得所求点为(一 1，1，一 1)和 )解析：15.如果给定一个未知矢量与一个已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知量。设 A 为一已知矢量，p=A.X 而 P=AX，p
14、 和 P 已知，试求 X。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 P=AX，有 AP=A(AX)=(A.X)A 一(A.A)X=pA 一(A.A)X 故得 )解析：16.给定三个矢量 A、B 和 C 如下： A=e x +2e y 一 3e z B=一 4e y +e z C=5e x 一 2e z 求：(1)e A ；(2)|AB|；(3)A.B；(4) AB ；(5)AC；(6)A.(BC)和(AB).C；(7)(AB)C 和 A(BC)。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)AB=e x +6e y -4e z ，|AB|= (3)A.B=一 83=一 11 (5
15、)AC= =-4e x -15e y -10e z +2e y =一 4e x 一 13e y -10e z (6)A.(BC) A.(BC)=8+10 一 60=一 42 AB= =2e x -4e z 一 12e x 一 e y =一 10e x 一 e y -4e z (AB).C=一 50+8=一 42 (7)(AB)C= =-2e x -20e y +5e z 一 20e y =2e x -40e y +5e z A(BC)= )解析：17.求 P(一 3，1，4)点到 P(2，-2，3)点的距离矢量 R 及 R 的方向。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矢量 P为 A=一
16、3e x +e y +4e z ；矢量 P 为 A=2e x 一 2e y +3e z 则距离矢量 R 为： R=A-A“=5e x -3e y -e z )解析：18.求标量函数 =x 2 yz 的梯度及 在一个指定方向的方向导数。此方向由单位矢量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： =2xyze x +x 2 ze y +x 2 ye z 在指定方向的方向导数 )解析：19.三个矢量 A、B、C，A=sincose r +coscose sine ，B=z 2 sine +z 2 cose +2zsine z ，C=(3y 2 -2x)e x +x 2 e y +2ze z 。(1
17、)哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示?哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示?(2)求出这些矢量的源分布。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明：A=sincose r +coscose -sine 故矢量既可用标量函数的梯度表示，又可用矢量函数的旋度来表示。 A=0 则 A 可由一个标量函数的梯度表示； .A=0 则 A 可由一个矢量函数的旋度表示。 圆柱坐标系中 B=z 2 sine p +z 2 cose +2zsine z 故矢量 B 可用一个标量函数的梯度表示。 直角坐标系中： C=(3y 2 一 2x)e x +x 2 e y +2ze z 故 C 可以由一个矢量函数
18、的旋度表示。 (2)这些矢量的源分布为 )解析：20.若在标量场 u=u(M)中恒有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：标量场的梯度为 如果在标量场 u=u(M)中恒有 =0，则 )解析：21.利用直角坐标，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系中 )解析：22.求矢量场 A=xyze x -2xy 2 e y +2yz 2 e z 在点 M(1，1，-2)处沿矢量 n=2e x +3e y +6e z 方向的环流面密度。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：矢量场 A 沿方向 e n 的环流面密度 rot n 等于 rotA 在该方向上的投影 rot n A
19、=e n .rotA rotA= =2z 2 e x +xye y 一(2y 2 +xz)e z 则沿矢量 n 的环流面密度为：n 方向的单位矢量 )解析：23.一径向矢量场用 F=f(r)e r 表示，如果 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在圆柱坐标系中 在球坐标系中，由 )解析：24.给定矢量函数 E x =ye x +xe y ，计算从点 P 1 (2，1，一 1)到 P 2 (8，2，一 1)的线积分E.dl。(1)沿抛物线 x=2y 2 ；(2)沿连接该两点的直线，这个 E 是保守场吗?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) c E.dl= c (ye x +xe
20、 y ).dl= c (ydx+xdy) = 1 2 yd(2y 2 )+2y 2 dy= 1 2 6y 2 dy=14 (2)连接点 P 1 (2，1，-1)到 P 2 (8，2，-1)的直线方程为 )解析：25.已知 R=(x-x)e x +(y-y)e y +(z-z)e z ，R=|R|。证明：(1) 表示对 x，y 和 z 的运算， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.已知标量函数 u=x 2 +2y 2 +3z 2 一 2y 一 6z。(1)求 (2)在哪些点上 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) =2xe x +(4y-2)e y +(6z 一
21、 6)e z (2) 时，三个分量分别为 0 得 x=0，y=05，z=1 )解析：27.已知 R=(x-x)e x +(yy)e y +(z-z)e z ，R=|R|。求矢量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 则 )解析：28.已知圆柱坐标系中某点的位置为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设该点在直角坐标系中的位置为(x，y，z)，则由直角坐标系和圆柱坐标系的关系得： 该点在直角坐标系中的位置为 (2)在球坐标系中 )解析：29.已知直角坐标系中的矢量 A=ae x +be y +ce z ，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求该矢量在圆柱坐标系及球坐
22、标系中的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在直角坐标系中， 即矢量 A=ae x +be y +ce z 的模为常数。 矢量 A=ae x +be y +ce z 中，a、b、c 均为常数，所以 A 是常矢量。 在圆柱坐标系中 在球坐标系中 )解析：30.已知圆柱坐标系中的矢量 A=ae +be +ce z ，式中 a、b、c 均为常数，A 是常矢量吗?试求.A、A 以及 A 在相应的直角坐标系及球坐标系中的表达式。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即矢量 A=ae +be +ce z 的模为常数。 将矢量 A=ae +be +ce z 用直角坐标表示，有 A=cose x +sine y +e z =a(cose x +sine y )+b(一 sine x +cose y )+ce z =(acos 一 bsin)e x +(asin+bcos)e y +ce z 由此可见，矢量 A 的方向随 变化，故矢量 A 不是常矢量。 由直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系，可求得： 又根据矢量在直角坐标与圆柱坐标系中的变换关系为 把上面结果代入，可求得 即在圆柱坐标系下的表达式为 由直角坐标系和球坐标系的变换关系，可求得： 又根据矢量在直角坐标与球坐标系中的变换关系为 把上面结果代入，可求得 即在球坐标系下的表达式为 )解析：
