1、2014届河北省唐山一中高三 12月月考理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 不等式 解集为 Q， ，若 ，则 等于（ ） A B C 4 D 2 答案： D 试题分析： , 当 时， ， ， ， ， . 考点： 1.集合的交集、补集运算； 2.含参一元二次不等式 . 定义在（ 0， ）上的函数 是它的导函数，且恒有 成立，则（ ） A B C D 答案： D 试题分析：根据题意设 ， ， ，所以. 考点： 1.特殊值法； 2.函数的性质 . ABC内接于以 O为圆心， 1为半径的圆，且 ，则 的值为（ ） A B 1 C D 答案： D 试题分析： ,即 ， ， 为直径， . 考点： 1.向
2、量的加减法运算； 2.向量的数量积 . 已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，则方程 在区间 上的解的个数是（ ） A 8 B 9 C 10 D 11 答案： B 试题分析： 函数 是偶函数，且 ， 函数的周期为 4，对称轴为 ， 当 时， ， 图像如图所示，所以交点个数为 9个 . 考点： 1.函数图像； 2.函数的奇偶性、周期性、对称轴 . 函数 的图像为 ，如下结论中错误的是（ ） A图像 关于直线 对称 B图像 关于点 对称 C函数 在区间 内是增函数 D由 得图像向右平移 个单位长度可以得到图像 答案： C 试题分析： ， ，当 时， ，所以 正确； ， ， 当 时， 对称中心为 ，
3、所以 正确； ， ， 当 时，所以 错误；将 向右平移 个单位得，所以 正确 . 考点： 1.三角函数的对称中心； 2.三角函数的对称轴； 3.三角函数的单调区间； 4.三角函数图像的平移变换 . 已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为 2的正三角形，侧视图是有一直角边为 2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为 ( ) 答案： C 试题分析：由已知的图像可知：有一条侧棱垂直于底面 . 考点： 1.考查三视图恢复原图； 2.实虚线的意义 . 已 知双曲线 的左、右焦点分别为 ，以 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 ，则此双曲线的方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析
4、：设 ，则 ，即， 点在渐近线 上，即 ， ， 双曲线的方程为 . 考点：双曲线的基本性质 . 已知向量 ，若 ，则 等于 ( ) A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ， ， 而 . 考点： 1.向量的数量积； 2.两角和的正弦公式； 3.诱导公式 . 直线 与圆 C： 交于 两点，则 的面积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， 得出交点为 ， ，又 圆心到直线的距离为 ， . 考点： 1.直线与圆相交； 2.点到直 线的距离 . 已知命题 p： x （ 0， ）， 3x 2x，命题 q： x （ ， 0）， ，则下列命题为真命题的是（ ） A p q B（ p）
5、q C（ p） （ q） D p （ q） 答案： D 试题分析：根据指数函数图象可知命题 ： ， 为真命题，而很据和 的图像可知命题 ： ， 为假命题，所以 为真命题 . 考点： 1.函数图像； 2.简单的命题的运算 . 已知直线 平面 ，直线 m 平面 ，则 “ ”是 “ m”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充 分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 答案： A 试题分析： 直线 平面 ，直线 m 平面 ， ， 直线 平面 ， ， “ ”是 “ m”的充分不必要条件 . 考点： 1.充分必要条件； 2.线面垂 直的判定； 3.线线垂直的判定 . 设 Sn为等比数列 an的前 n
6、项和，若 ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， ， ， . 考点： 1.等比数列的通项公式； 2.等比数列的前 n项和公式 . 填空题 已知函数 对于一切实数 x,y均有 成立，且 恒成立时，实数 a的取值范围是 . 答案： 试题分析： ， ，又 ，所以 ， 当 时， ，说明 不合题意， 设 ， ，即 恒成立， ， 当 时， 恒成立， 是增函数，有 ， 只需 恒成立，解得 . 考点： 1.利用导数判断函数的单调性； 2.利用导数求函数的最值； 3.对数函数的图像 . 已知 A、 B、 C是球 O的球面上三点， BAC=90， AB=2， BC=4，球 O的表面积为 ，则异面
7、直线 与 所成角余弦值为 . 答案： 试题分析：过 作 的垂线，垂足为 ，以 所在线为 轴，以 所在线为轴，以 所在线为 轴，建立直角坐标系，所以 ， ， ， ， ，所以 . 考点： 1.空间向量法； 2.夹角公式 . 已知 满足约束条件 ,点 A(2， 1)， B(x， y)， 为坐标原点，则最大值时为 . 答案： 试题分析：满足约束条件的图像如图所示， ， ， ， 在点 处取得最大值，即最大值为 . 考点：线性规划 . 抛物线 过点 ，则点 到抛物线焦点的距离为 . 答案： 试题分析： 过点 ， ， ，焦点 为 ， . 考点： 1.抛物线的标准方程； 2.两点间的距离公式 . 解答题 已知
8、等差数列 中，公差 ，其前 项和为 ，且满足： ， （ 1）求数列 的通项公式； （ 2）令，求 的最小值 . 答案：（ 1） ；（ 2）最小值 36. 试题分析：本题主要考查等差数列的通项公式、前 n项和公式、等差数列的性质和基本不等式等基础知识，考查思维能力、分析问题解决问题的能力、运算能力等 .第一问，先利用等差数列的性质将 转化成 ，再结合 的值，联立解出 和，求出 和 ，写出通项公式；第二问，先利用等差数列的前 n项和公 式求 ，代入到 中，再将结果代入到 中，上下同除以 ，利用基本不等式求最值，要注意等号成立的条件 . 试题： 数列 是等差数列 , ，又 ， 或 ， 公差 ， ，
9、， . （ 2） ， ， ， 当且仅当 ，即 时， 取得最小值 36. 考点： 1.等差数列的通项公式； 2.等差数列的性质； 3.等差数列的前 n项和； 4.基本不等式 . 已知 a， b， c分别是的三个内角 A， B， C的对边， (1)求 A的大小； (2)当 时，求 的取值范围 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：本题主要考查解三角形中正弦定理的应用，以及利用两角和与差的正弦公式、倍角 公式等公式进行三角变换，考查基本运算能力，考查分析问题解决问题的能力 .第一问，先利用正弦定理将边换成角，去分母，再利用两角和的正弦公式化简，得到 ，再在中，考虑角 的范围求角；第二问，利用正弦
10、定理将边用角来表示，利用降幂公式化简，再将 用 角表示，用两角差的正弦公式化简，最后化简成 ，利用角 的取值范围求函数的值域 . 试题：（ I） ABC中， ，由正弦定理，得： ， 即 ，故 ， （ 4分） （ 2）由正弦定理得 ， . 考点： 1.正弦定理； 2.两角和与差的正弦公式； 3.倍角公式； 4.三角函数的值域 . 在四棱锥 PABCD中， PA 平面 ABCD， ABC是正三角形， AC与 BD的交点 M恰好是 AC中点，又 PA=AB=4， CDA=120. （ 1）求证： BD PC； （ 2）设 E为 PC的中点，点 F在线段 AB上，若直线 EF 平面 PAD，求 AF的
11、长； （ 3）求二面角 APCB的余弦值 答案：（ 1）证明过程详见；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线线垂直的判定和线面平行垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力 .第一问，先利用正三角形的性质得出 与 垂直，再利用线 面垂直的性质得出 与 垂直，利用线面垂直的判定得 垂直平面，从而得证；第二问，先利用中位线证出 ，再根据线面平行的判定定理证明 平面 ，再根据已知条件得面面平行，所以得到 ，再转化边和角的值求出 ；第三问，先根据题意，建立空间直角坐标系，得出各个点坐标，计算出平面 的法向量和平面
12、的法向量，再利用夹角公式求出余弦值 . 试题：（ 1） 是正三角形， 是 中点， ， 即 . 又 平面 ， . 又 ， 平面 . . （ 2）取 中点 连接 则 平面 . 又直线 平面 ， 所以平面平面 ， ， 为 中点， ， ， ， ， ， ， ， ，得 . （ 3）分别以 ， ， 为 轴， 轴， 轴建立如图的空间直角坐标系， ， ， ， 为平面 的法向量 ， 设平面的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ， ，则平面的一个法向量为 相关试题 2014届河北省唐山一中高三 12月月考理科数学试卷 （带） 某地区注重生态环境建设，每年用于改造生态环境总费用为 亿元，其中用于风景区改造为亿元
13、。该市决定制定生态环境改造投资方案，该方案要求同时具备下列三个条件： 每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加； 每年改造生态环境总费用至少 亿元，至多 亿元； 每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的 15%，但不得高于每年改造生态环境总费用的 25%. 若 ， ，请你分析能否采用函数模型 y 作为生态环境改造投资方案 . 答案：能采用函数模型作为生态环境改造投资方案 . 试题分析：本题主要考查利用导数研究简单实际问题，考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性和最值问题，考查函数思想，考查综合分析和解决问题的能力和计算能力 .对函数求导，判断导数恒大于 0，所以
14、得出函数是增函数满足条件 ，构造新函数 ，通过求导判断函数的单调性，由 可知 ，所以判断 上函数的单调性和最值，最值符合 的要求，所以综上可得可以采用此函数模型 . 试题： ， 函数是增函数，满足条件 ， 设 ， 则 ， 令 ，得 . 当 时， ， 在 上是减函数， 当 时， ， 在 上是增函数， 又 ，即 ， 在 上是减函数，在 上是增函数， 当 时， 有最小值为 ， 当时， ， 当 时， 能采用函数模型作为生态环境改造投资方案 . 考点： 1.利用导数判断函数的单调性； 2. 利用导数求函数的最值 . 如图 ,已知 椭圆 的长轴为 AB,过点 B的直线 与 轴垂直 ,椭圆的离心率 ,F为椭
15、圆的左焦点 ,且 （ 1）求此椭圆的标准方程 ; （ 2）设 P是此椭圆上异于 A,B的任意一点 , 轴 ,H为垂足 ,延长 HP到点 Q,使得HP=PQ,连接 AQ并延长交直线 于点 , 为 的中点，判定直线 与以 为直径的圆 O位置关系。 答案：（ 1）；（ 2）直线 与以 为直径的圆 O相切 . 试题分析：本体主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、点到直线的距离公式等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法，考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力 .第一问，先设出顶点和焦点坐标，代入到已知中列出表达式解出 和 的值，所以得到椭圆的标准方 程；第二
16、问，设出 两点坐标，得到 ，所以可以得到直线 的方程，同理得直线的方程，由直线 的方程得到 点坐标，从而得斜率 ，利用椭圆方程化简，从而得到直线 的方程，利用圆心到直线的距离与半径的关系判断直线与以 为直径的圆 的位置关系 . 试题：（ 1）可知， ， ， ， ， , 得 椭圆方程为 （ 2）设 则 由 得 ， 所以直线 AQ的方程为 ， 由 得直线 的方程为 由 ， 又因为 所以 所以直线 NQ的方程为 化简整理得到 ， 所以点 O直线 NQ的距离 =圆 O的半径， 直线 与以 为直径的圆 O相切 . 考点： 1.椭圆的标准方程； 2.直线的方程； 3.点到直线的距离； 4.直线与圆的位置关
17、系 . 已知 （ 1）曲线 y=f（ x）在 x=0处的切线恰与直线 垂直，求 的值； （ 2）若 x a， 2a求 f（ x）的最大值； （ 3）若 f（ x1） =f（ x2） =0（ x1 x2），求证： 答案：（ 1） ；（ 2）当 ，即 时， ，当，即 时， ，当 ，即时，；（ 3）证明过程详见 . 试题分析：本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值、切线方程以及不等式的证明等基础知识，考查分类讨论思想，综合分析和解决问题的能力 .第一问，对 求导，将 代入得到切线的斜率，由已知切线与直线垂直得出方程，解出 的值；第二问，先对 求导，利用导数的正负判断出函数的单调区间，
18、再讨论已知 和单调区间的关系来决定最值的位置；第三问，利用第二问的结论，得出 ，因为 ，所以数形结合，得 ，解得 ，数形结合得出两组点的横坐标的关系 ，又利用 ，得出 ， ，进行转换得到所求证的不等式 . 试 题：（ 1）由 ， 得： ，则 ， 所以 ，得 . （ 2）令 ，得 ，即 . 由 ，得 ，由 ，得 ， 在 上为增函数，在 为减函数 . 当 ，即 时， . 当 ，即 时， . 当 ，即时， . （ 3）由（ 2）知， ， ， ， ，得 ， ，且 . 得 ，又 ， ， . 考点： 1.利用导数求切线的斜率； 2.两条直线垂直的充要条件； 3.利用导数判断函数的单调性； 4.利用导数求函数的最值 .
