1、注册环保工程师基础考试上午（高等数学）历年真题试卷汇编 6 及答案与解析一、单项选择题1 设有直线 L1： ，则 L1 与 L2 的夹角 等于：（A）2（B） 3（C） 4（D）62 设平面方程 x+y+z+1=0，直线的方程是 1-x=y+1=z，则直线与平面：（A）平行（B）垂直（C）重合（D）相交但不垂直3 设平面 的方程为 3x-4y-5z-2=0，以下选项中错误的是：（A）平面 过点(-1 ，0， -1)（B）平面 的法向量为-（C）平面 在 z 轴的截距是-（D）平面 与平面-2x-y-2z+2=0 垂直4 点 x=0 是 y=arctan 的：（A）可去间断点（B）跳跃间断点（C
2、）连续点（D）第二类间断点5 若 f(-x)=-f(x)(-x+)，且在(-，o)内 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(0，+)内是：（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)06 当 x0 时，下列不等式中正确的是：（A）e x1+x（B） ln(1+x)x（C） exex（D）xsinx7 设 y=f(x)是(a ，b) 内的可导函数，x 和 x+x 是(a，b)内的任意两点，则：（A）y=f(x) x（B）在 x，x+ x 之间恰好有一点 ，使y=f() x（C）在 x，x+ x 之间至少有一点 ，使
3、y=f(S)x（D）在 x，x+x 之间任意一点 ，使 y=f(e)x8 函数 y=f(x)在点 x=x0 处取得极小值，则必有：（A）f(x 0)=0（B） f“(x0)0（C） f(x0)=0 且 f“(x0)0（D）f(x 0)=0 或导数不存在9 当 x0 时，x 2+sinx 是 x 的：（A）高阶无穷小（B）同阶无穷小，但不是等价无穷小（C）低阶无穷小（D）等价无穷小10 11 dx 等于：（A）cotx-tanx+C（B） cotx+tanx+C（C） -cotx-tanx+C（D）-cotx+tanx+C12 -33x dx 等于：（A）0（B） 9（C） 3（D）13 下列函
4、数中，哪一个不是 f(x)=sin2x 的原函数?（A）3sin 2x+cos2x-3（B） sin2x+1（C） cos2x-3cos2x+3（D）14 已知 xy=kz(k 为正常数)，则 等于：（A）1（B） -1（C） k（D）1k15 设 L 是连接点 A(1，0) 及点 B(0，-1) 的直线段，则对弧长的曲线积分 L(y-x)ds 等于：（A）-1（B） 1（C） -（D）-16 设 D 是曲线 y=x2 与 y=1 所围闭区域， 2xd 等于：（A）1（B） 12（C） 0（D）217 正项级数 an 的部分和数列 SnSn= ai)有上界是该级数收敛的：（A）充分必要条件（B
5、）充分条件而非必要条件（C）必要条件而非充分条件（D）既非充分又非必要条件18 已知级数 (u2n-u2n+1)是收敛的，则下列结论成立的是：19 级数 的收敛性是：（A）绝对收敛（B）发散（C）条件收敛（D）无法判定20 微分方程 xy-ylny=0 满足 y(1)=e 的特解是：（A）y=ex（B） y=ex（C） y=e2x（D）y=lnx21 微分方程(3+2y)xdx+(1+x 2)dy=0 的通解为：(C 为任意常数)（A）1+x 2=Cy（B） (1+x2)(3+2y)=C（C） (3+2y)2=（D）(1+x 2)2(3+2y)=C22 微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=
6、0 的通解是：(C 为任意常数)（A） =C（B） 1+y=C(1-x)2（C） (1-x)(1+y)=C（D） =C23 若非齐次线性方程组 Ax=b 中，方程的个数少于未知量的个数，则下列结论中正确的是：（A）AX=0 仅有零解（B） AX=0 必有非零解（C） AX=0 一定无解（D）AX=b 必有无穷多解24 齐次线性方程组 的基础解系为：（A） 1=(1， 1，1，0) T， 2=(-1，-1，1，0) T（B） 1=(2，1，0，1) T， 2=(-1，-1，1，0) T（C） 1=(1，1，1，0) T， 2=(-1，0，0，1) T（D） 1=(2， 1，0，1) T， 2=(
7、-2，-1，0，1) T25 设 A= ，与 A 合同的矩阵是：26 设 B 是三阶非零矩阵，已知 B 的每一列都是方程组 的解，则 t等于：（A）0（B） 2（C） -1（D）127 设(X，Y)的联合概率密度为 f(x，y)= 则数学期望 E(XY)等于：（A）14（B） 13（C） 16（D）1228 三个人独立地破译一份密码，每人能独立译出这份密码的概率分别为 ，则这份密码被译出的概率为：（A）13（B） 12（C） 25（D）3529 设随机变量 XN(0， 2)，则对于任何实数 ，都有：（A）P(X)=P(X)（B） P(X)=P(X-)（C） X-N( ， 2-2)（D）XN(0
8、 ， 2)30 当下列哪项成立时，事件 A 与 B 为对立事件?注册环保工程师基础考试上午（高等数学）历年真题试卷汇编 6 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 直线的点向式方程为 =-1，1，1 。平面x+y+z+1=0，法向量所以选项 A、C不成立，又 选项 B 也不成立。【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 已知平面 法向量 =3，-4，-5 平面-2x-y-2z+2=0 的法向量 =-2，-1， -2若两平面垂直，则两平面的法向量 但 =-6+4+10=80 因此， 不垂直。【知识模块】 高等
9、数学4 【正确答案】 B【试题解析】 y=arctan ，x=0，分母为零，该点为间断点，所以 x=0 为跳跃间断点。【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 C【试题解析】 已知 f(-x)=-f(x)，函数在(-，+) 为奇函数，可配合图形说明在 (-，0)， f(x)0，f“(x) 0，凸增。 故在(0，+) 为凹增，即在(0，+) ，f(x)0，f“(x)0。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 D【试题解析】 利用逐项排除法判定。当 x0，幂函数比对数函数趋向无穷大的速度快，指数函数又比幂函数趋向无穷大的速度快，故选项 A、B 、C 均不成立，从而可知选项 D 成立。还可利用函数的单
10、调性证明。设 f(x)=x-sinx，x (0，+)，得f(x)=1-cosx0，所以 f(x)单增，当 x=0 时，f(0)=0 ，从而当 x0 时，f(x) 0，即x-sinx0。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 C【试题解析】 利用拉格朗日中值定理计算，f(x)在x，x+ x连续，在(x ，x+x)可导，则有 f(x+x)-f(x)=f()x，即 y=f()x，(至少存在一点 ，xx+x)。【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 已知 y=f(x)在 x=x0 处取得极小值，但在题中 f(x)是否具有一阶、二阶导数，均未说明，从而答案 A、B、C 就不一定成立。答案
11、 D 包含了在 x=x0 可导或不可导两种情况，如 y=|x|在 x=0 处导数不存在，但函数 y=|x|在 x=0 取得极小值。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 D【试题解析】 通过求极限的结果来确定。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 C【试题解析】 利用公式 cos2x=cos2x-sin2x 将被积函数变形，原式=dx=-cotx-tanx+C。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=x 为奇函数，f(-x)=-f(x)，积分区间 x：-3，3，由定积分的性质可知，奇函数在对称区间积分为零
12、。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 B【试题解析】 xy=kz，xy-kz=0 由 F(x，y，z)=0，分别求出 Fx、F y、F z计算 Fx=y，F y=x，F z=-k【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 D【试题解析】 L：y=x-1 故 L 的参数方程 0x1【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 C【试题解析】 画出积分区域图形。求 得交点(-1，1)，(1，1)，原式= -11dx dx=-112x(1-x2)dx=-11(2x-2x3)dx=(x2-x4)|-11=0 或利用二重积分的对称性质计算。积分区域 D 关于
13、y 轴对称，函数满足f(-x，y)=-f(x，y)，即函数 f(x，y)是关于 x 的奇函数，则二重积分 f(x，y)dxdy=0。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 A【试题解析】 由定理可判断，即正项级数 un 收敛的充分必要条件是，它的部分和数列S n有界。【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 B【试题解析】 通过举例说明。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 A【试题解析】 将级数各项取绝对值得 级数 中，P=321，故收敛。由正项级数比较法，级数 收敛。所以原级数绝对收敛。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 B【试题解析】 x dx，lnlny=lnx+lnCln
14、y=Cx，y=e Cx，代入x=1，y=e，有 e=e1C C=1 故 y=ex。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 B【试题解析】 判断方程的类型为可分离变量方程，将方程分离变量得-dx，两边积分， -ln(3+2y)=-C1，ln(1+x 2)(3+2y)=ln2C1，(1+x 2)(3+2y)=C2(其中 C2=2C1)。【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 C【试题解析】 此题为一阶可分离变量方程，分离变量后，两边积分。微分方程(1+y)dx-(1-x)dy=0， dy=0。两边积分：-ln(1-x)-ln(1+y)=-lnC，(1-x)(1+y)=C。【知识模块】 高等数学
15、23 【正确答案】 B【试题解析】 Ax=0 必有非零解。解方程 Ax=0 时，对系数矩阵进行行的初等变换，必有一非零的 r 阶子式，而未知数的个数 n， nr ，基础解系的向量个数为 n-r，所以必有非零解。【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 C【试题解析】 对方程组的系数矩阵进行初等行变换，得到方程组的同解方程组 当 x2=1，x 4=0 时，得 x1=1，x 3=1；当 x2=0，x 4=1 时，得 x1=-1，x 3=0，写成基础解系 1， 2，即 1=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 A【试题解析】 由合同矩阵定义知，若存在一个可逆矩阵 C，使 CTAC=B，则称 A合
16、同于 B。取 C= ，|C|=-10，C 可逆，可验证 CTAC=【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 D【试题解析】 已知条件 B 是三阶非零矩阵，而 B 的每一列都是方程组的解，可知齐次方程 Ax=0 有非零解。所以齐次方程组的系数行列式为 0，即=0，计算此行列式，t=1。【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 A【试题解析】 -+-+f(x，y)dxdy= 0101kdydx=k2=1 ，得 k=2E(XY)=-+-+f(x，y)= 010x2xydydx=01xy2|01dx=01x3dx=14【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 D【试题解析】 设甲、乙、丙单人译出密码分
17、别记为 A、B 、C，则这份密码被破译出可记为 ABC，因为 A、B、C 相互独立，所以 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A)P(B)-P(A)P(C)-P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=35 或由 也相互独立，P(AB C)=(-P()=1-1-P(A)1-P(B)1-P(C)=1-【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 B【试题解析】 (1)判断选项 A、B 对错。 利用定积分、广义积分的几何意义 P(axb)= abf(x)dx=S S 为a，b上曲边梯形的面积。 N(0， 2)的概率密度为偶函数，图形关于直线 x=0 对称。 因此选项 B 对，选项 A 错。 (2)判断选项 C、D 对错。 验算数学期望与方差 E(X-)=-(0 时)，选项 C 错； D(X)=222(0，1)时，选项 D 错。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学
