1、工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 174 及答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 2 甲、乙两同学帮助学校图书馆清点一批图书，已知甲同学清点 200 本图书与乙同学清点 300 本图书所用的时间相同，且甲同学平均每分钟比乙同学少清点 10 本，则甲同学平均每分钟清点图书的数量是 本（A）10（B） 20（C） 30（D）403 一卡车从甲地驶向乙地，每小时行驶 60km另一卡车从乙地驶向甲地，每小时行驶 55kin两车同时出发，在离中点 10km 处相遇，甲乙两地之间的距离为 km（A）115（B） 230（C）
2、 345（D）4604 若实数 a， b，c 满足 a+b+c=0，且 abcO，则 = （A）-2（B） -1（C） 1（D）25 已知复数 z 满足(1+i)z= ，则z 4= （A）1（B） 2（C） 4（D）166 设某种证件的号码由 7 位数字组成，每个数字可以是数字 0，1，2，9 中的任一个数字，则证件号码由 7 个完全不同的数字组成的概率是 7 函数 y= +1(x1)的反函数是 （A）y=x 2-2x+2(x1)（B） y=x2 一 2x+2(x1)（C） y=x2 一 2x(x1)（D）y=x 2 一 2x(x1)8 设 和 是二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根，则
3、= 9 y=f(x)是定义在(一，+)上周期为 4 的函数，且 f(0)=3，f(1)=2 ，f(2)=4，f(3)=0，则 = （A）0（B） 4（C）一 4（D）610 在 之间插入 3 个数，使这 5 个数成等比数列，则插入的 3 个数的乘积为 （A）144（B） 216（C） 256（D）51211 一圆的圆心在直线 y=一 8 上该圆与坐标轴交于(3，0)和(9，0)点，则圆心到坐标原点的距离为 （A）8（B）（C） 10（D）12 设 ， +4=0 的两个不等的实根，则+ 等于 13 设 F 为抛物线 y2=2px(x0)的焦点，点 A，B 和 C 均在抛物线上若= （A）3p（B
4、） 4p（C）（D）2p14 已知椭圆的焦点为 F1 与 F2，两条准线与长轴所在直线交点分别为 M 与 N，若MN2F 1F2，则椭圆离心率的取值范围为 15 一个点到圆的最大距离是 12cm，最小距离是 8cm，则圆的半径是 cm （A）2（B） 10（C） 2 或 10（D）4 或 2016 设函数 y=f(x)由方程 xy+lny=1 确定，则 = 17 f(x)为可导函数，它在 x=0 的某邻域内满足 f(1+x)一 2f(1 一 x)=3x+o(x)，其中o(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程为 （A）y=x+2（B） y=x+1
5、（C） y=x 一 1（D）y=x 一 218 设 f(x)= (0x1)，则 19 f(x)在( 一，+)上连续，且 f(x)0，则 F(x)=0x(x2 一 t2)f(t)dt 的单调性为 （A）在(一 ，+)上单调增加（B）在 (一，+)上单调减少（C）在 (一，0)上单调增加，在(0，+) 上单调减少（D）在(一 ，0) 上单调减少，在(0，+) 上单调增加20 已知 xlnx 是 f(x)的一个原函数，且 =1，则 a= 21 曲线 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴所围成的面积可表示为 （A）一 03e-xsinxdx（B） 02e-xsinxdx（C） 0e-xsinxdx2
6、e-xsinxdx+23e-xsinxdx（D） 02e-xsinxdx23e-xsinxdx22 若行列式 的元素 a21 的代数余子式 A21=10，则 a 的值等于 （A）0（B）一 3（C）（D）无法确定23 已知 A=B2-B，其中 n 阶方阵 A 的秩为 （A）0（B） 1（C） n 一 1（D）n24 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 能由 1， 2， 3 线性表出，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，则必有 （A） 1， 2， 1 线性相关（B） 1， 2， 1 线性无关（C） 1， 2， 2 线性相关（D） 1， 2， 2 线性无关25 设 A 是 n 阶
7、方阵，且A0若 是 A 的一个特征值，则 A-1+A*有一个特征值为 （A）(1+A)（B） -1(1+A)（C） (1+A) -1（D） -1(1+A) -1工程硕士（GCT ）数学模拟试卷 174 答案与解析一、选择题（25 题，每小题 4 分，共 100 分）下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故选(D)2 【正确答案】 B【试题解析】 设甲同学平均每分钟清点图书 z 本，则乙同学平均每分钟清点图书x+10 本，依题意，得 ，解得 x=20 故选(B)3 【正确答案】 D【试题解析】 相遇时从甲地开往乙地的卡车比从乙地驶向甲地的卡车多走1
8、02=20km，两车速度相差 5kmh，因此相遇时两车各走了 205=4(h)两车相向而行，各走 4h 相遇，因此甲、乙两地之间距离为(60+55)4=460(km)故选(D)4 【正确答案】 A【试题解析】 因为 a+b+c=0，abc0，所以实数 a，b ，c 中有一个正数、两个负数不妨设 a0，则 =1-1-1-1=一 2故选(A)5 【正确答案】 A【试题解析】 故选(A)6 【正确答案】 D【试题解析】 所有不同号码的号码数目是 107，即基本事件的总数，其中 7 个数字完全不相同的排列数是 P107=10987654 故选(D)7 【正确答案】 B【试题解析】 函数 y= +1 的
9、定义域是1，+)，值域也是1，+)由 y 一1= 两边平方，解得 x=(y 一 1)2+1，即 x=y2 一 2y+2得原来函数的反函数是y=x2 一 2x+2，其定义域即原来函数的值域为1，+) 故选(B)8 【正确答案】 C【试题解析】 故选(C)9 【正确答案】 D【试题解析】 因一 12=(一 3)4+0，10=24+2 ，5=4+1，一 1 一( 一 1)4+3，而 f(x)是周期为 4 的周期函数，所以 f(一 12)=f(0)=3， f10)=f(2)=4 ， f(5)=f(1)=2 ， f(一 1)=f(3)=0从而得 故选(D)10 【正确答案】 B【试题解析】 这 5 个数
10、成等比数列，设其公比为 q不妨设插入的 3 个数为=36，故 a=6插入的 3个数的乘积为 a3=216 故选(B)11 【正确答案】 C【试题解析】 设 A(3，0)，B(9，0)AB 是圆的一条弦，圆心在此弦的垂直平分线x=6 上所以圆心坐标为(6，一 8)，它到原点距离为 =10 故选(C)12 【正确答案】 B【试题解析】 由二次方程根与系数的关系有由条件可推出 +(一 ，)，似乎(A)，(B)，(C)都有可能但由(*)式知，tan和 tan 同号，即 和 同属，+ (0，)，由(*)式知，应选 (B) 故选(B) 13 【正确答案】 A【试题解析】 抛物线 y2=2px 的焦点为 设
11、A(xA，y A)， B(xB，y B)，C(x C，y C)，由 =0 投影到 x 轴有故选(A)14 【正确答案】 D【试题解析】 设椭圆为 =1(ab0)，则长轴在 x 轴，焦点为 F1(一 c，0)，F2(c，0) ，准线为 故选(D)15 【正确答案】 C【试题解析】 点到圆的最小距离是 8cm，因此点不在圆周上，如图所示当点在圆外时，圆直径等于点到圆的最大距离减去最小距离，因此圆直径为 12cm 一8cm=4cm，半径为 2cm当点在圆内时，圆直径等于点到圆的最大距离加上最小距离，因此圆直径为 12cm+8cm=20cm，半径为 10cm，所以圆半径为 2cm 或10cm 故选 (
12、C)16 【正确答案】 D【试题解析】 观察方程 xy+lny=1 可得当 x=1 时 y=1 对方程 xy+lny=1 两边对 x求导，得 故选(D)17 【正确答案】 C【试题解析】 因此f(1)=1，所以，曲线的切线方程为 y0=x 一 1故选(C) 18 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)= 01t(t-x)dt，0x1，所以由取得极值的必要条件、充分条件及取得拐点的必要条件， 不是 f(x)的拐点 故选(B)19 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=x 20xf(t)dt0xt2f(t)dt， F(x)=2x 0xf(t)dt+x2f(x)一 x2f(x)=2x0xf(t)d
13、t 因 f(x) 0，当 x0 时， 0xf(t)dt=一 x0f(t)dt0，所以 x 0xf(t)dt0 当 x0时， 0xf(t)dt0，所以，x 0xf(t)dt0因此在(一，+) 上 F(x)0从而 F(x)在(一， +)上是单调增加的 故选(A)20 【正确答案】 A【试题解析】 由题设(xlnx)=f(x)所以故选(A)21 【正确答案】 C【试题解析】 当 0x 或 2x3 时 y0；当 x2 时，y0 所以 y=e-xsinx(0x3)与 x 轴围成的面积为 0e-xsinxdz 一 2e-xsinzdz+23e-xsinxdx 故选(C)22 【正确答案】 B【试题解析】
14、由 A21=(一 1)2+1 =一(6a+8)=10，可知 a=-3 故选(B)23 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A=B2 一 B=B(B-I)，而 r(B)=n， r(BI)=1， 所以 r(A)=r(BI)=1 故选 (B)24 【正确答案】 D【试题解析】 能由 1， 2， 3 线性表出，只能断定向量组 1， 2， 3， 1 线性相关，不能确定 1， 2， 1 是否线性相关和线性无关例如 1=(1，0，0)T， 2=(0，l， 0)T， 3=(0，0，1) T，当 1=(0，0，2)T 时， 1， 2， 1 线性无关，当1=(2，0，0) T 时， 1， 2， 1 线性相关，因此不选 (A)和(B) 又设1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0， 1，0) T， 2=(0，0，0，1) T，则1， 2， 2 线性无关，因此不选(C) ，由排除法选(D) 事实上，因 1， 2， 3 线性无关， 2 不能由 1， 2， 3 线性表出，所以 1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关 故选(D) 25 【正确答案】 B【试题解析】 因为 是 A 的一个特征值，所以 是 A-1 的一个特征值又因为A*=A A -1，所以 是 A*的一个特征值，从而矩阵 A-1+A*有一个特征值为 故选(B)
