1、考研数学二（向量）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 现有四个向量组 (1， 2，3) T，(3，一 1，5) T， (0，4，一 2)T，(1 ，3，0) T， (0，1，6，0，0) T，(c， 0，d，2，0) T，(e ，0，f，0，3) T， (0，1，2，3)T， (6，1，2， 3)T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T， (1，0，3，1) T，(一1，3，0，一 2)T，(2 ，1，7，2) T，(4，2，14，5) T， 则下列结论正确的是( )（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（B）线性相关的向
2、量组为 ；线性无关的向量组为 （C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 （D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 2 设向量组(I)： 1=(a11，a 12，a 13)， 2=(a21，a 22，a 23)， 3=(a31，a 32，a 33)； 向量组()： 1=(a11，a 12，a 13， a14)， 2=(a21，a 22，a 23，a 24)， 3=(a31，a 32，a 33，a 34，)， 则正确的命题是( )（A）(I)相关()无关（B） (I)无关 ()无关（C） ()无关(I)无关（D）() 相关 (I) 无关3 设向量组 1,2,3 线性无关，则下列向量组中
3、线性无关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1 一 2， 2+3， 3+1（C） 1+2，3 1 一 52，5 1+92（D） 1+2， 21+32+43， 1 一 2 一 234 设 A 是 mn 矩阵，曰是 nm 矩阵，且满足 AB=E，则( )（A）A 的列向量组线性无关，B 的行向量组线性无关（B） A 的列向量组线性无关，B 的列向量组线性无关（C） A 的行向量组线性无关，B 的列向量组线性无关（D）A 的行向量组线性无关，B 的行向量组线性无关5 设向量组 1,2,3 线性无关，向量 1，可由 1,2,3 线性表示，向量 2 不能由1,2,3 线性表示
4、，则必有( )（A） 1， 2， 1 线性无关（B） 1， 2， 2 线性无关（C） 2， 3， 1， 2 线性相关（D） 1， 2， 3， 1+2 线性相关6 设 A，B 为 n 阶方阵，设 P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价（C）若 B=PAQ，则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价（D）若 A 的行(列) 向量组与矩阵 B 的行(列)向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价7 向量组 1=(1，3，5，一 1)T， 2=(2，一 1，一 3
5、，4) T， 3=(6，4，4，6)T， 4=(7，7，9，1) T， 5=(3，2，2，3) T 的极大线性无关组是( )（A） 1,2,5（B） 1,3,5（C） 2,3,4（D） 3,4,58 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n1，则 a 必为( )（A）1（B） （C）一 1（D） 9 设 n 阶矩阵 A 与 B 等价，则必有( )（A）当A=a(a0)时，B=a（B）当 A=a(a0)时，B=一 a（C）当 A0 时，B=0（D）当A=0 时，B=0 10 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r(A)n，那么在 A 的 n 个行向量中( )（A）必有 r 个行向量线性无关（B）
6、任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示二、填空题11 已知向量组 的秩为 2，则 t=_12 已知向量组 1=(2，3，4，5) T， 2=(3，4，5，6) T， 3=(4，5，6，7)T， 4=(5，6，7，8) T，则向量组 r(1,2,3,4)=_13 任意一个 3 维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值为_ 14 已知向量组 1=(1，2，一 1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，一 4，5，t)
7、 T 线性无关，则 t 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求向量组 1=(1，1，4，2) T， 2=(1，一 1，一 2，4) T， 3=(一 3，2，3，一 11)T， 4=(1，3，10，0) T 的一个极大线性无关组16 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量 ，且 Ak-10证明：向量组 ，A 2，A k-1 是线性无关的17 设 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，已知 n 维单位坐标向量 e1，e 2，e n 能由它们线性表示，证明 1,2 n 线性无关18 设 1,2 n 是一组 n 维向量，证明它们线
8、性无关的充分必要条件是任一 n 维向量都可由它们线性表示19 设向量组 a1，a 2， am 线性相关，且 a10，证明存在某个向量 ak(2km)，使ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示20 设向量组 B：b 1， r，能由向量组 A：a 1，a r 线性表示为(b 1，b r)=(a1，a r)K，其中 K 为 sr 矩阵，且向量组 A 线性无关证明向量组 B 线性无关的充分必要条件是矩阵 K 的秩 r(K)=r21 设 证明：向量组 1,2 n 与向量组 12 n 等价22 设 A，B 均是 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量考研数学二（向量）
9、模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B由于(1，0， 0)，(0，2，0)，(0，0，3)线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关所以应排除 C向量组 中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1,2,4 线性相关，那么添加 3 后，向量组 必线性相关应排除 A由排除法，所以应选 D【知识模块】 向量2 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A、C 两个命题互为逆否命题，一个命题与它的逆否命题同真同假，而本题要求有且仅有一个命题是正确的，所以 A、
10、C 均错误如设有向量组：1=(1，0，0)， 2=(0，1，0)， 3=(0，0，0) 与 1=(1，0，0，0)， 2=(0，1，0，0)，3=(0，0，0，1)显然 r(1,2,3)=2，r( 1， 2， 3)=3即当 1,2,3 线性相关时，其延伸组 1， 2， 3 可以线性无关，因此，A、C 错误如果 1， 2， 3 线性相关，即有不全为 0 的 x1，x 2，x 3，使 x11+x22+x33=0，即方程组必有非零解，即1,2,3 线性相关所以 D 错误故选 B【知识模块】 向量3 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，(
11、 1 一 2)+(2+3)一( 3+1)=0，因此选项 A、B 中的向量组均线性相关对于选项 C，可设1=1+2， 2=31 一 52， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由 1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 1 一 52，5 1+92 必线性相关因而用排除法可知应选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB=E 是 m 阶方阵，所以 r(AB)=m且有 r(A)r(AB)=m，又因 r(A)m，故 r(A)=m于是根据矩阵的性质，A 的行秩=r(A)=m，所以 A 的行向量组线性无关同理，B 的列秩=r(B)=m
12、，所以 B 的列向量组线性无关所以应选C【知识模块】 向量5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 1,2,3，线性无关， 2 不能由 1,2,3 线性表示知，1,2,3， 2 线性无关，从而部分组 1,2,2 线性无关，故 B 为正确答案下面证明其他选项的不正确性取 1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3=(0，0，1，0)T， 2=(0，0， 0，1) T， 1=1，知选项 A 与 C 错误对于选项 D，由于 1,2,3 线性无关，若 1,2,3， 1+2 线性相关，则 1+2 可由 1,2,3 线性表示，而 1 可由1,2,3 线性表示，从而 2 可由 1,2,3
13、线性表示，与假设矛盾，从而 D 错误所以应选 B【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 AQ 按列分块，设 A=(1,2 n)，B=(12 n)，则有 表明向量组 12 n 可由向量组 1,2 n 线性表示，表示的系数依次为 Q 的第一列至第 n 列所对应的各元素由于 Q 可逆，从而有 A=BQ 一 1，即( 1,2 n)=(12 n)Q 一 1，表明向量组 1,2 n 可由向量组 12 n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确下例可
14、表明选项C 的命题不正确但B 的行 (列)向量组与 A 的行(列)向量组不等价对于选项 D 若 A 的行(列)向量组与B 的行 (列)向量组等价，则这两个向量组的秩相等，从而矩阵 A 与 B 的秩相等，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等 )所以应选 C【知识模块】 向量7 【正确答案】 C【试题解析】 对向量组的列向量作初等行变换，有所以 2,3,4 是极大线性无关组，所以应选 C【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵 A 的行列式作初等列变换，即把行列式 A的第2，3，n 列加到第 1 列上，提取公因式(n 一 1)a+1，得令A =0，得
15、a=1 或而当 a=1 时，r(A)=1，这与 r(A)=n 一 12 矛盾，所以应选 B【知识模块】 向量9 【正确答案】 D【试题解析】 因为当A=0 时，r(A) n，又由题设，矩阵 A 与 B 等价，故r(B)n，从而B=0，所以应选 D【知识模块】 向量10 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A【知识模块】 向量二、填空题11 【正确答案】 一 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换已知秩为 2，故得 t=一 2【知识模块】 向量12 【
16、正确答案】 2【试题解析】 根据初等变换的性质可知，初等变换不改变向量组或矩阵的秩，则可以通过初等变换将向量构成的矩阵化为阶梯形矩阵来求秩，即故 r(1,2,3,4)=2【知识模块】 向量13 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个 3 维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3)T， 3=(a，1， 2)T 线性表示，即对于任意的向量 ,方程组 x11+x22+x33= 有解，也就是对于任意的 ，r( 1,2,3)=r(1,2,3，)=3 ，因此而当 a3 时满足题意【知识模块】 向量14 【正确答案】 (一，+)【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列
17、式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析令而对任意的t，r(A)=3 是恒成立的，即向量组满足线性无关【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 将向量 i 写成列向量，组成矩阵 A，再作初等行变换化 A 为阶梯形，矩阵即 那么列向量 1,2 就是其中一个极大线性无关组【知识模块】 向量16 【正确答案】 设有常数 0， 1， k-1，使得 0+1+ k-1Ak-1=0，则有 A k-1(0+1A+ k-1Ak-1)=0，从而得到 0Ak-1=0由题设 Ak-10，所以 0=0类似地可以证明 1=2= k-1=0，因此向量组 ，
18、A，A k-1 是线性无关的【知识模块】 向量17 【正确答案】 n 维单位向量 e1，e 2，e n 线性无关，有 r(e1，e 2，e n)=n又因为 n 维单位坐标向量 e1，e 2，e n 能由 a1，a 2，a n 线性表示，则可得 n=r(e1，e 2，e n)r(a1，a 2，a n)又 a1，a 2，,a n 是一组 n 维向量，因此r(a1，a 2，a n)n 综上所述 r(a1，a 2，a n)=n故 a1，a 2，,a n 线性无关【知识模块】 向量18 【正确答案】 必要性：a 1，a 2，,a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此r(a1，a 2，a n)=n对任一
19、 n 维向量 b，因为 a1，a 2，,a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a1，a 2，a n，b 线性相关综上所述 r(a1，a 2，a n，b)=n又因为 a1，a 2，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示充分性：已知任一 n 维向量 b 都可由 a1，a 2， ，a n 线性表示，则单位向量组：1， 2， n 可由 a1，a 2，a n，线性表示，即 r(1， 2， n) =nr(a1，a 2，a n)，又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，有 r(a1，a 2，a n)n综上，r(a 1，a 2， an)=n所以 a1，
20、a 2，a n 线性无关【知识模块】 向量19 【正确答案】 因为向量组 a1，a 2，a n 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a1+2a2+ mam=0设 k0，当 k=1 时，代入上式有1a1=0又因为 a10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1当 k0 且 k2 时，有因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k-1 线性表示【知识模块】 向量20 【正确答案】 必要性：令 B=(b1，b r)，A=(a s，a s)，则有 B=AK，由定理r(B)=r(AK)minr(A)，r(K)，结合向量组 B：b 1， b2，b r 线性无关知 r(B)=r，故 r(K
21、)r又因为 K 为 rs 阶矩阵，则有 r(K)minr，s且由向量组B：b 1， b2，b r 能由向量组 A：a 1，a 2，a s 线性表示，有 rS，即 minr，s=r综上所述，rr(K)r，即 r(K)=r充分性：已知 r(K)=r，向量组 A 线性无关，r(A)=s，因此 A 的行最简矩阵为 ，存在可逆矩阵 P 使 于是有由矩阵秩的性质 即 r(B)=r(K)=r，因此向量组 B 线性无关【知识模块】 向量21 【正确答案】 设向量组 1,2 n 和 12 n 依次构成矩阵 A 和 B，由条件知 B=AK，则 r(B)r(A)且 r(A)=r(A，B)其中系数矩阵 K 为行列式K
22、=(n 一 1)(一 1)n-10(n2)，故 K 可逆，则A=BK-1，因此有 r(A)r(B)且 r(B)=r(B，A)，又 r(A，B)=r(B，A) ，综上所述 r(A)=r(B)=r(A，B) 因此 1,2 n 与 12 n 能相互线性表示从而 1,2 n与 12 n 等价【知识模块】 向量22 【正确答案】 设 r(A)=r，r(B)=s ，且 1,2 n-r 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，即矩阵 A 关于 A=0 的特征向量，同理， 12 n-s 是曰关于 A=0 的特征向量那么，向量组 1,2 n-r， 12 n-s 必然线性相关(由于 n 一 r+n 一s=n+(nrs)n)于是存在不全为零的实数 k1，k 2，k n-r，l 1，l 2，l n-s，使 k11+k22+kn-rn-r+l11+l22+ln-sn-s=0因为 12 n-r 线性无关，12 n-s 线性无关，所以 k1，k 2，k n-r，与 l1，l 2，l n-s 必分别不全为零，令 =k11+k22+kn-rn-r=一(l 11+l22+ln-sn-s)由 0，从特征向量性质知，既是 A 关于 =0 的特征向量，也是 B 关于 =0 的特征向量，因而 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 向量
