1、考研数学二（向量）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 齐次线性方程组 AX=0 的系数矩阵 A45=(1,2,3,4,5)经初等行变换化为阶梯形矩阵则( )（A） 1 不能由 2， 3， 4 线性表示。（B） 2 不能由 3， 4， 5 线性表示。（C） 3 不能由 1， 2， 4 线性表示。（D） 4 不能由 1， 2， 3 线性表示。2 设向量组 I： 1,2 r，可由向量组： 12 s 线性表示，则( )（A）当 rs 时，向量组必线性相关。（B）当 rs 时，向量组必线性相关。（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关。（D）当
2、rs 时，向量组 I 必线性相关。3 设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是( )（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向组等价。（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价。（C）若 B=PAQ，则 A 的行 (列)向量组与 B 的行(列)向量组等价。（D）若 A 的行(列) 向量组与矩阵曰的行(列) 向量组等价，则矩阵 A 与 B 等价。4 设 1=(1，2 ，3，1) T， 2=(3，4，7，一 1)T， 3=(2，6，a，b) T， 4=(0，1，3，a)T，那么 a=8 是 1,2,3,4 线性相关的( )（A）充分必要
3、条件。（B）充分而非必要条件。（C）必要而非充分条件。（D）既不充分也非必要条件。5 现有四个向量组 (1， 2，3) T，(3，一 1，5) T， (0，4，一 2)T，(1 ，3，0) T； (a，1，b， 0，0) T，(c，0，d，2，0) T，(e，0，f ，0，3) T； (a，1，2，3)T， (b，1，2， 3)T，(c，3，4，5) T，(d，0，0，0) T； (1，0，3，1) T，(一1，3，0，一 2)T，(2 ，1，7，2) T，(4，2，14，5) T。 则下列结论正确的是( )（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为。（B）线性相关的向量组为 ；线性无关的向
4、量组为 。（C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。（D）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为 。6 向量组 1， 2， n 线性无关的充分条件是( )（A） 1， 2， n 均不为零向量。（B） 1， 2， n 中任意两个向量的分量不成比例。（C） 1， 2， n 中任意一个向量均不能由其余 n 一 1 个向量线性表示。（D） 1， 2， n 中有一部分向量线性无关。7 下列关于向量组线性相关性的说法正确的个数为( ) 若 1,2 n 线性相关，则存在全不为零的常数 k1，k 2，k n，使得 k11，+k n2+knn=0。 如果1,2 n 线性无关，则对任意不全为零的常数 k
5、1，k 2，k n，都有k11+k22+knn0。 如果 1， 2， n 线性无关，则由k11+k22+knn=0 可以推出 k1=k2=kn=0。 如果 1， 2， n 线性相关，则对任意不全为零的常数 k1，k 2，k n，都有 k11+k22+knn=0（A）1。（B） 2。（C） 3。（D）4。8 设 1， 2， ， s 均为 n 维向量，下列结论中不正确的是( )（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， kn，都有 k11+k22+knn=0，则 1， 2， ， n 线性无关。（B）若 1， 2， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k n，都有 k11+k
6、22+knn=0。（C） 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s。（D） 1， 2， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关。9 设向量组 1,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1。（B） 1 一 2， 2+3， 3+1。（C） 1+2，3 1 一 52，5 1+92。（D） 1+2， 21+32+43， 1 一 2 一 23。二、填空题10 如果 =(1，2，t) T 可以由 1=(2，1，1) T， 2=(一 1，2，7) T， 3=(1，一 1，一 4)T 线性表示，则 t 的值是_ 。11 设 1
7、=(1， 2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2 ，一 2)T，若 1=(1，3，4) T 可以由 1,2,3 线性表示，但是 2=(0，1，2) T 不可以由 1,2,3 线性表示，则a=_。12 任意一个三维向量都可以由 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表示，则 a 的取值范围为 _。13 已知 r(1,2 s)=r(1,2 s，)=m，r( 1,2 s，)=m+1，则r(1,2 s， ，)=_。14 已知向量组 1=(1，2，一 1，1) T， 2=(2，0，t，0) T， 3=(0，一 4，5，t) T 线性无关，
8、则 t 的取值范围为_。15 向量组 1=(1，一 2,0，3) T， 2=(2，一 5，一 3,6)T,3=(0，1，3，0) T， 4=(2，一1，4，7) T 的一个极大线性无关组是_。16 已知向量组 的秩为 2，则 t=_。17 与 1=(1， 2，3，一 1)T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，0) T 都正交的单位向量是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 设向量组 1=(a，0，10) T， 2=(一 2，1，5) T， 3=(一 1，1，4) T，=(1 ，b，c)T，试问：当 a，b，c 满足什么条件时,回答下列问题：18 可由 1,
9、2,3 线性表出，且表示唯一；19 不可由 1,2,3 线性表出；20 可由 1,2,3 线性表出，但表示不唯一，求出一般表达式。21 已知 1=(1，一 1，1) T， 2=(1，t，一 1)T， 3=(t，1，2) T，=(4，t 2，一 4)T，若 可由向量组 1,2,3 线性表示，且表示法不唯一，求 t 及 的表达式。21 设向量组 1=(1，0，1) T， 2=(0，1，1) T， 3=(1，3，5) T 不能由向量组1=(1，1，1) T， 2=(1，2，3) T， 3=(3，4，a) T 线性表示。22 求 a 的值；23 将 1， 2， 3 由 1,2,3 线性表示。考研数学二
10、（向量）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项 A，考虑非齐次线性方程组 x22+x33+x44=1。由已知条件可知 r(2,3,4)=r(2,3,4， 1)=3，所以 1 必可由 2,3,4 线性表示。类似可判断选项 B 和 C 也不正确，只有选项 D 正确。实际上，由 r(1,2,3)=2， r(1,2,3,4)=3 可知， 4 不能由 1,2,3 线性表示。【知识模块】 向量2 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 I 可由向量组线性表示，故 r(I)r()s 。又因为当rs 时，必有 r(I)
11、r，即向量组 I 的秩小于其所含向量的个数，此时向量组 I 必线性相关，所以应选 D。【知识模块】 向量3 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=(1,2， n)，B=(12， n)，则有 表明向量组 12， n 可由向量组 1,2， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有A=BQ 一 1，即 (1,2， n)=(12， n)Q 一 1，表明向量组 1,2， n 可由向量组 12， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B 的命题正确。下例
12、可表明选项 C 的命题不正确。设则 P、Q 均为可逆矩阵，且但 B 的行(列)向量组与 A 的行(列)向量组不等价。对于选项 D，若 A 的行(列) 向量组与 B 的行(列)向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵 A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价(两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等)。【知识模块】 向量4 【正确答案】 B【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关性一般用行列式 1,2， n是否为零去判断。因为 1,2,3,4=当 a=8 时，行列式 1,2,3,4=0，向量组 1,2,3,4 线性相关，但 a=2 时仍有行列式 1,2,3,4=0，所以 a=8 是向量组
13、 1,2,3,4 线性相关的充分而非必要条件。【知识模块】 向量5 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。由于(1，0， 0)T，(0 ，2，0) T，(0 ，0，3) T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组线性无关。所以应排除 C。向量组中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1,2,4 线性相关，那么添加 3 后，向量组 必线性相关。应排除 A。由排除法，所以应选 D。【知识模块】 向量6 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A，B，D 均是向量组 1,2， ， n 线性无关的必要条件，不是充分条件。由排除法可知选 C。例如取
14、1=(1， 0)， 2=(0，1)， 3=(1，1)，则向量组 1,2,3 满足选项 A，B，D 中的条件，但 1+2 一 3=0，即向量组 1,2,3 线性相关。【知识模块】 向量7 【正确答案】 B【试题解析】 对于，线性相关的定义是：存在不全为零的常数k1，k 2，k n，使得 k11+k22+knn=0。不全为零与全不为零不等价，故 错。和都是向量组线性无关的等价描述，正确。对于，线性相关性只是强调不全为零的常数 k1，k 2，k n 的存在性，并不一定要对任意不全为零的k1，k 2，k n 都满足 k11+k22+knn=0，故错误。事实上，当且仅当1,2， ， n 全为零向量时，才
15、能满足对任意不全为零的常数 k1，k 2，k n，都有 k11+k22+knn=0。综上所述，正确的只有两个，故选 B。【知识模块】 向量8 【正确答案】 B【试题解析】 对于选项 A，因为齐次线性方程组 x11+x22+xnn=0 只有零解，故 1,2， n 线性无关，选项 A 正确。对于选项 B，由 1,2， r 线性相关知，齐次线性方程组 x11+x22+xnn=0 存在非零解，但该方程组存在非零解，并不意味着任意一组不全为零的数均是它的解，因此选项 B 是错误的。选项 C 是教材中的定理。由“无关组减向量仍无关”(线性无关的向量组其任意部分组均线性无关)可知选项 D 也是正确的。综上可
16、知，应选 B。【知识模块】 向量9 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知( 1 一 2)+(2 一 3)+(3 一 1)=0，( 1 一 2)+(2+3)一( 3+1)=0，因此选项 A、B 中的向量组均线性相关。对于选项 C，可设1=1+2， 2=31 一 52， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由 1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 1 一 52，5 1+92 必线性相关。因而用排除法可知应选 D。【知识模块】 向量二、填空题10 【正确答案】 5【试题解析】 可以由向量组 1,2,3 线性表示的充分必要条件是非齐次线性方程
17、组 x11+x22+x33= 有解，对该方程组的增广矩阵作初等行变换得而方程组有解的充分必要条件是系数矩阵与增广矩阵有相同的秩，因此 t 一 5=0，即 t=5。【知识模块】 向量11 【正确答案】 一 1【试题解析】 根据题意， 1=(1，3，4)T 可以由 1,2,3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=1 有解， 2=(0，1，2)T 不可以由 1,2,3 线性表示，则方程组x11+x22+x33=2 无解，由于两个方程组的系数矩阵相同，因此可以合并一起作矩阵的初等变换，即因此可知，当 a=一 1 时，方程组 x11+x22+x33=1 有解，方程组 x11+x22+x33=2无解
18、，故 a=一 1。【知识模块】 向量12 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个三维向量都可以用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3)T， 3=(s，1，2) T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 x11+x22+x33= 有解，也就是对于任意的 ，r( 1,2,3)=r(1,2,3，)=3 ，因此即 a3。【知识模块】 向量13 【正确答案】 m+1【试题解析】 已知 r(1,2， s)=r(1,2， s，)=m，表明向量 可以由向量组 1,2， s 线性表示，但是 r(1,2， s，)=m+1，则表明向量 不能由向量组 1,2， s 线性表示，因此通过对向量组 1,2，
19、s， ， 作初等列变换，可得( 1,2， s，)=( 1,2， s，0，) ，因此可得r(1,2， s，)=m+1。【知识模块】 向量14 【正确答案】 (一，+)【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。令则对任意的t，r(A)=3 是恒成立的，即向量组线性无关。【知识模块】 向量15 【正确答案】 1,2,4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在 1，2，4 列，所以 1,2,4 是向量组 1,2,3,4
20、 的一个极大线性无关组。【知识模块】 向量16 【正确答案】 一 2【试题解析】 对向量组构成的矩阵作初等行交换【知识模块】 向量17 【正确答案】 【试题解析】 设 =(x1，x 2,x3，x 4)T 与 1,2,3 均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是(一 1，一 1，1，0) T，将这个向量单位化得 ，即为所求向量。【知识模块】 向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 向量18 【正确答案】 考虑线性方程组 k11+k22+k33=， (1)记其系数矩阵 A=(1,2,3)。对该线性方程组的增广矩阵作初等行变换，即当 a一
21、10 时，r(A)=r(A ，)=3 ，此时方程组(1)有唯一解， 可由 1,2,3 唯一地线性表出。【知识模块】 向量19 【正确答案】 当 a=一 10，且 c3b 一 1 时 可知r(A)r(A，)，此时方程组(1)无解， 不可由 1,2,3 线性表出。【知识模块】 向量20 【正确答案】 当 a=一 10，且 c=3b 一 1 时， 可知r(A)=r(A，)=2 ，此时方程组(1) 有无穷多解，其全部解为 可由 1,2,3 线性表出，但表示不唯一，其一般表达式为【知识模块】 向量21 【正确答案】 记 A=(1,2,3)，考虑线性方程组 Ax=。对其系数矩阵的增广矩阵进行初等行变换，即
22、由题意可知，线性方程组有无穷多解，所以 r(A)=r(A)线性方程组 Ax= 的通解为 k(一 3，一 1，1)T+(0，4，0) T，k R。所以 =一 3k1+(4 一 k)2+k3，kR。【知识模块】 向量【知识模块】 向量22 【正确答案】 由于 1,2,3 不能由 1， 2， 3 表示，且由 1,2,3=10，知1,2,3 线性无关，所以， 1， 2， 3 线性相关，即 1， 2， 3=，解得 a=5。【知识模块】 向量23 【正确答案】 本题等价于求三阶矩阵 C，使得( 1， 2， 3)=(1,2,3)C。所以C=(1,2,3)一 1(1， 2， 3)= 因此(1， 2， 3)=(1,2,3)【知识模块】 向量
