1、考研数学二（线性代数）模拟试卷 49 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶行列式 其中 aij=1 或一1，i=1 ，2， 3；j=1 ，2， 3则|A| 的最大值是 ( )（A）3（B） 4（C） 5（D）62 中 x3 的系数为 ( )（A）2（B）一 2（C） 3（D）一 33 设 c0，则 等于 ( )（A）c -2m（B） m（C） cm（D）c 3m4 一个值不为零的 n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换后，该行列式的值 ( )（A）保持不变（B）保持不为零（C）保持相同的正、负号（D）可以变为任何值5 设 1， 2， 3， 1，
2、2 都是 4 维列向量，且 4 阶行列式|1， 2， 3， 1|=m，| 1， 2， 2， 3|=n，则 4 阶行列式 I 3， 2， 1， 1+2 等于 ( )（A）m+n（B）一 (m+n)（C） n 一 m（D）m 一 n6 线性方程组 则 ( )（A）若方程组无解，则必有系数行列式|A|=0（B）若方程组有解，则必有系数行列式|A|0（C）系数行列式|A|=0，则方程组必无解（D）系数行列式|A|0 是方程组有唯一解的充分非必要条件7 线性方程组 则 ( )（A）当 a， b，c 为任意实数时，方程组均有解（B）当 a=0 时，方程组无解（C）当 b=0 时，方程组无解（D）当 c=0
3、 时，方程组无解8 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是 ( ) 9 设 n 维行向量 矩阵 A=E 一 T，B=E+2 T，则 AB= ( )（A）0（B）一 E（C） E（D）E+ T10 设 A，B 是 n 阶方阵，满足 AB=O，则必有 ( )（A）A=O 或 B=O（B） A+B=O（C） |A|=0 或 |B|=0（D）|A|+|B|=011 设 A 是 n 阶矩阵，X 是任意的 n 维列向量，B 是任意的 n 阶方阵，则下列说法错误的是 ( )（A）AB=0 A=O（B） BTAB=O A=O（C） AX=0 A=O（D）X TAX=0 A=O二、填空题12 设 n 阶
4、矩阵 则|A|=_13 14 其中 a，b，c ，d，x，y ，z， 是任意常数，则|A|=_15 设 a，b， a+b 均非零，则行列式16 设 A=1， 2， 3是 3 阶矩阵，|A|=4 ，若 B= 132+23， 223，2 2+3， 则|B|=_17 设 A，B 均为 n 阶矩阵，且|A|=2，|B|= 一 3，则|2A *B-1|=_18 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且|A|=a，|B|=b ， 则|C|=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 计算20 计算21 计算22 已知 n 阶方阵 A 满足矩阵方程 A2 一 3A 一 2E=O证明 A
5、可逆，并求出其逆矩阵 A-123 设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB=A+2B，其中 求矩阵 B24 设 可逆，其中 A，D 皆为方阵，证明 A，D 可逆，并求 M-125 设矩阵 矩阵 X 满足 AX+E=A2+X，其中 E 为 3 阶单位矩阵，试求出矩阵 X25 设 A 为 n 阶非奇异矩阵，a 为 n 维列向量，b 为常数记分块矩阵 其中 A*是矩阵 A 的伴随矩阵，E 为 n阶单位矩阵26 计算并化简 PQ；27 证明：矩阵 Q 可逆的充分必要条件是 TA-1b28 设 求 An，n328 设有两个非零矩阵 A=a1，a 2，a nT，B=b 1，b 2，b nT29 计算 ABT
6、与 ATB；30 求矩阵 ABT 的秩 r(ABT)；31 设 C=E 一 ABT，其中 E 为 n 阶单位矩阵证明：C TC=E 一 BATABT+BBT 的充要条件是 ATA=132 A，B 均是 n 阶矩阵，且 AB=A+B证明 AE 可逆，并求(A E)-133 已知 1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组 的两个解向量，试求方程组的通解，并确定参数a，b，c33 已知线性方程组 的通解为2，1， 0，1 T+k1，一 1，2，0 T记 j=a1j，a 2j，a 3j，a 4jT，j=1，2，5 问 ：34 4 能否由 1， 2， 3， 5 线性表出，说明理由
7、；35 4 能否由 1， 2， 3 线性表出，说明理由考研数学二（线性代数）模拟试卷 49 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 3 阶行列式的定义： 共 6 项每项均是三个不同行、不同列的三个元素乘积，且有三项取正号，三项取负号，由题设 aij=1 或一 1，故|A|6 但|A|6若|A|=6，则正的三项中三个元素全取 1 或取 1 个 1，两个一 1，总的一 1 的个数为偶数个负的三项中三个元素取1 个或 3 个一 1，三项中总的一 1 的个数为奇数，又正三项，负三项各自遍历了 9个元素，和三个正项中一 1 的个数矛盾
8、，故|A|5 同样有|A|5 若|A|=5，|A|的六项中总有一项的值为一 1，此时|A|4 而 故 max|A33|，a ij=1 或一 1=4，应选(B) 【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 由行列式展开定理，只有 a12A12 这一项可得到 x3 项，又 所以行列式中 x3项的系数就是一 2故应选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由 故选(B) 【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 一个值不为零的 n 阶行列式经三类初等变换，都保持行列式不为零【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 因 | 3， 2， 1，
9、 1+2|=|3， 2， 1， 1|+|3， 2， 1， 2| =一|1， 2， 3， 1|1， 2， 3， 2| =一| 1， 2， 3， 1|+|1， 2， 2， 3| =n 一 m， 故选(C)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 方程组无解，则有|A|=0(反证，若|A|0，用克拉默法则，方程组必有解)； (B)方程组有解， |A|可能为零，也可能不为零；(C)|A|=0 ，方程组也可能有解；(D)|A|0，则方程组有唯一解，反过来，若方程组有唯一解，则|A|一定不为零【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A【试题解析】 当 a=0 或 b=0 或 c=0 时，方程
10、组均有解，当 abc0时，系数行列式 由克拉默法则知，方程组有解，故 a，b，c为任意实数时，方程组均有解【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 因|AB|=|A|B|=0 |A|=0 或|B|=0，(C)正确； (A)不正确，例：但 AB=O； (B)不正确，例：(D)不正确，例： 但|A|=1【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 AB 一(E 一 T)(E+2T)=E+T一 2TT=E+T一2T(T)，其中 故 AB=E+ T一 2 T=E【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB=O |AB|=|A|B|=0，故|A|=0
11、或|B|=0 【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 D【试题解析】 对任意的 X，有 XTAX=0，可推出 AT=一 A，不能推出 A=O例取A= 对任意的 X=x1，x 2T，均有 但 【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 (一 1)n-1(n 一 1)【试题解析】 【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (x 2 一 y2)(b2 一 c2)【试题解析】 【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 2(a 3+3)【试题解析】 将第 2，3 行加到第 1 行上去，提出公因子 2(a+b)后，再将第 1 列的一 1
12、倍加到第 2，3 列，得到 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 20【试题解析】 方法一 利用行列式的性质 |b|=| 132+23， 223，5 3| =5|1一 32+23， 223， 3| =5|132， 2， 3| =5|1， 2， 3| =20 方法二【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (一 1)nm=ab【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 按第一行展开 得到递推公式 D 5 一 D4=一 x(D4 一 D3)=一 x3(D2 一 D1) 由于D1
13、=1 一 x，于是得 容易推出 D5=一 x5+x4 一 x3+D2=一 x5+x4 一 x3+x2 一 x+1【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 按第一列展开，得 【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设 M 的逆矩阵为由于 得 所以【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 AX+E=A 2+X (AE)X=(AE)(A+E)又|AE|=一 10，则 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由
14、上题得故Q 可逆【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 又 EB=BE，B n=O(n3)，所以 【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 ATB=a1b1+a2b2+anbn【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因 ABT 各行( 列)是第 1 行(列)的倍数，又 A，B 皆为非零矩阵，故r(ABT)=1【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 由于 CTC=(E 一 ABT)T(EABT)=(E 一 BAT)(EABT)=E 一 BAT-ABT+BATABT，故若要求 CTC=E-BAT-ABT+BBT，则 BATABT-BBT=O，B(A TA 一1)BT
15、=O，即 (A TA 一 1)BBT=O 因为 BO，所以 BBT0故 CTC=E 一 BAT-ABT+BBT 的充要条件是 ATA=1【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 因 AB=A+B，即 ABAB=O，ABAB+E=E，A(B E)一(BE)=E，即 (AE)(BE)=E， 故 AE 可逆，且(AE) -1=BE【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 对应齐次方程有解 = 1 一 2=-2，2，2 T 或化简为一 1，1，1T， 故对应齐次方程至少有一个非零向量组成基础解系，故系数矩阵 A 的秩与增广矩阵A|b的秩应满足 又显然应有 r(A)=r(A|b)2，从而 r(A)=r(
16、A|b)=2，故方程组有通解 k一 1，1，1 T+一3，2，0 T 其中 k 为任意常数 将 1， 2 代入线性方程组第一个方程，得 一3a+2b=2，一 a 一 2c=2， 解得 a=一 22c，b= 一 23c，c 为任意常数，可以验证：当 a=一 22c，b= 一 23c，c 任意时 r(A)=r(A|b)=2【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 4 能由 1， 2， 3， 5 线性表出 由线性非齐次方程的通解2，1， 0，1 T+k1，一 1，2，0 T 知 5=(k+2)1+(一 k+1)2+2k3+4， 故 4=一(k+2)1+(k 一 1)22k3+5【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 4 不能由 1， 2， 3 线性表出因对应齐次方程的基础解系只有一个非零向量，故 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 5)=41=3，且由对应齐次方程的通解知 1 一 2+23=0，即 1， 2， 3 线性相关，r( 1， 2， 3)3，若 4能由 1， 2， 3 线性表出，则 r(4， 1， 2， 3)=r(1， 2， 3)3，这和r(1， 2， 3， 4)=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表出【知识模块】 线性代数
