1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= 则 fff(x)等于( )（A）0（B） 1（C）（D）2 若 f(-x)=-f(x)，且在(0，+) 内 f(x)0，f“(x)0 ，则在(-，0)内( )（A）f(x)0（C） f(x)0，f“(x)0，f“(x)03 下列广义积分发散的是( )二、填空题4 =_5 设函数 y=y(x)由方程 ex+y+cos(xy)=0 确定，则 dydx=_6 =_7 设 f(x)是以 T 为周期的连续函数，且 F(x)=0xf(t)dt+bx 也是以 T 为周期的连续函
2、数，则 b=_8 设 z= ，其中 f(u)可导，则 =_9 微分方程 y+ytan=cosx 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求11 12 13 设 f(x)= ，试补充定义使得 f(x)在 上连续14 设 y=y(x)由方程 ey+6xy+x2-1=0 确定，求 y“(0)15 设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又f“(x)M，证明：f(x)16 证明方程 x+p+qcosx=0 有且仅有一个实根，其中 p，q 为常数，且 00因为 f“(x)为奇函数，所以在(- ，0) 内 f“(x)0，所以 f(x)在(-，+)上单调增加，又因
3、为 ，所以 f(x)有且仅有一个零点，即原方程有且仅有一个实根【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以只研究 f(x)在0 ，+) 内的最大值与最小值即可令 f(x)=2x(2-x2) =0，得 f(x)的唯一驻点为 x= 当 x(0， )时，f(x)0，当 x( ，+)时，f(x) 及 x=- 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f( )=f(-)=1+ 因为 f(+)=f(-)=0+(2-t)etdt=1 及 f(0)
4、=0，所以最小值为 0【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 由题设 C：y=x 2，C 1：y= x2，令 C2：x=f(y) ，P 点坐标为(x，y)，两边对 x 求导，得2xf(x 2)= x2，即 f(x2)= 从而 C2 的方程为 x=f(y)=【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 令 F=xyz-x-y-z，【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 D 1=(x，y)a- xa+ ，-ay0，D 2=(x，y)x2a，0y2a，则【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 由 =1+x+y+xy 得 =(1+x)(1+y)，分离变量得 =(1+x)dx，两边积分得 ln1+y=x+ +C【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 特征方程为 2+4+4=0，特征值为 1=2=-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为 y=(C1+C2x)e-2x(1)当 a-2 时，因为 a 不是特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Aeax，代入原方程得 ，则原方程的通解为(2)当 a=-2 时，因为 a=-2 为二重特征值，所以设原方程的特解为 y0(x)=Ax2e-2x，代入原方程得 ，则原方程的通解为【知识模块】 高等数学部分
