1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)= ，则 f(x)( )（A）无间断点（B）有间断点 x=1（C）有间断点 x=-1（D）有间断点 x=02 设 f(x)连续，且 =-2，则( )（A）f(x)在 x=0 处不可导（B） f(x)在 x=0 处可导且 f(0)0（C） f(x)在 x=0 处取极小值（D）f(x)在 x=0 处取极大值3 设 f(x)连续，且 f(0)0，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(-，0)内单调减少（C）对任意的 x(-，0)，有 f
2、(x)f(0)（D）对任意的 x(0，)，有 f(x)f(0)4 设 f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足 ，则函数 f(x，y)在点(0，0)处( )（A）取极大值（B）取极小值（C）不取极值（D）无法确定是否有极值二、填空题5 =_6 设 f(x)= ，且 f(0)存在，则a=_，b=_，c=_7 =_8 =_9 =_10 计算 =_11 设二阶常系数非齐次线性微分方程 y“+y+qy=Q(x)有特解 y=3e-4+x2+3x+2，则Q(x)=_，该微分方程的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 求13 求14 设 a1=1，a n+1+ =0，证明：
3、数列a n收敛，并求15 举例说明函数可导不一定连续可导16 设 ba0，证明：17 求曲线 y= 的斜渐近线18 求19 arcsincarccosxdx20 设 (x)=abln(x2+t)dt，求 (x)，其中 a0，b0 21 设 f(x)= 求 02f(x-)dx22 设 f(x)在区间0，1上可导， f(1)= x2f(x)dx证明：存在 (0，1)，使得 2f()+f()=023 设 z=f(x-y+g(x-y-z)，其中 f，g 可微，求24 计算 (x+y)2dxdy，其中 D：ayx 2+y22ay(a0)25 求微分方程 xy“+3y=0 的通解考研数学二（高等数学）模拟
4、试卷 24 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 当x1 时，f(x)=0；当 x=-1 时，f(x)=0；当 x=1 时，f(x)=1于是f(x)= 显然 x=1 为函数 f(x)的间断点，选 (B)【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 由 =-2 得 f(0)=1，由极限的保号性，存在 0，当 0【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(0)= 0，所以由极限的保号性，存在 0，当0 0，当 x(-，0)时，f(x)f(0)，应选(D)【知识模块】 高等数学部分4 【正确答
5、案】 A【试题解析】 因为 ，根据极限保号性，存在 0，当0 时，有 0，而 x2+1-xsinyx2-x+1=0，所以当 0 时，有 f(x，y)-f(0 ，0)0，即 f(x，y)f(0，0)，所以 f(x，y) 在点(0，0)处取极大值，选 (A)【知识模块】 高等数学部分二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【正确答案】 2，-2，2【试题解析】 f(0+0)= =a，f(0)=2，f(0-0)=c，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0+0)=f(0)=f(0-0)，从而 a=2，c=2，即 f(x)=因为f(x)在 x=0 处可导，即 f+
6、(0)=f-(0)，故 b=-2【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分8 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 改变积分次序得【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 -12x 2-34x-19，C 1e-2x+C2ex+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数)【试题解析】 显然 =-4是特征方程 2+q=0的解，故 q=-12， 即特征方程为2+-12=0，特征值为 1=-4， 2=3 因为 x2+3x+2 为特征方程 y“+
7、y-12y=Q(x)的一个特解， 所以 Q(x)=2+2x+3-12(x2+3x+2)=-12x2-34x-19， 且通解为 y=C1e-2x+C2ex+x2+3x+2(其中 C1，C 2 为任意常数)【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 先证明a n单调减少a 2=0，a 2a 1；设 ak+1a k，a k+2=，由 ak+1a k 得 1-ak+11-a k，从而 ，即ak+2a k+1，由归纳法得数列a n单调减少现证明 an a1=1
8、，设ak ，则 1-ak1+ ，从而，即 ak+1 ，由归纳法，对一切 n，有 an 由极限存在准则，数列a n收敛，设 =A，对 an+1+ =0 两边求极限得 A+=0，解得【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 因为 不存在，而 f(0)=0，所以 f(x)在 x=0 处可导，但 f(x)在 x=0 处不连续【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 f(t)=lnt，由微分中值定理得 f(b)-f(a)=f()(b-a)= 其中S(a，b)因为 0 ，从而【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 由 得曲线 y=的斜渐近线 y=2x-11【知识模块】 高等数学部分18
9、【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 (x)= abln(x2+t)d(x2+t)= (x)=2xln(x2+b)-2xln(x2+a)=【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 02f(x-)dx=02f(x-)=-f(x)dx【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 令 (x)=x2f(x)，由积分中值定理得 f(1)= x2f(x)dx=c2f(c)，其中c0， ，即 (c)=(1)，显然 (x)在区间0，1 上可导，由罗尔中值定理，存在(c， 1) (0，1)，使得 ()=0而 (x)=2xf(x)+x2f(x)，所以 2f()+2f()=0，注意到 0，故 2f()+f()=0【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 x 求偏导得等式 z=f(x-y+g(x-y-z)两边对 y 求偏导得【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
