1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 f(1+x)=af(x)总成立，且 f(0)=b(a，b 为非零常数)则 f(x)在 x=1 处（A）不可导（B）可导且 f(1)=a（C）可导且 f(1)=b（D）可导且 f(1)=ab2 设 f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，当 x0 时， 0f(x)f(t) dt 与 x2 为等价无穷小，则f(0)等于（A）0（B） 2（C）（D）3 已知函数 f(x，y)在点(0，0)的某个邻域内连续，且 =1，则（A）点(0 ，0) 不是 f(x，y)的极值点（B）点 (0，0
2、)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点4 累次积分 ，(rcosrsin) rdr 可写成二、填空题5 =_6 设 其中 f(x)可导且 f(0)0，则 |t=0=_7 =_8 设 f(x，y)=e xysiny+(x 一 1)arctan 则 df(1， 1)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 f(x)= 试求 fg(x)和 gf(x)10 求极限11 设 f(x)在0，1上连续， f(0)=f(1)证明：对自然数 n2，必有 (0，1)，使得f()=f(+ )12
3、 设 y=y(x)由 y=tan(x+y)所确定，试求 y，y“13 求极限14 试证 ln(1+x)x(x一 1)15 设 f(x)在a，b上可导，且 f(a)f(b)o试证：存在 (a，b)，使 f()=016 17 18 19 20 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A，(A 为常数)，求 (x)，并讨论(x)在 x=0 处的连续性21 设函数 f(x)在a，b上连续，f(x)在a，b上存在且可积，f(a)=f(b)=0，试证：|f(x)| abf(x)|dx (axb)22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，f(a)=f(b)=0，试证在(a，b)内
4、存在点，使 f1()+f2()=023 设 u=f(x， y，z)有连续的一阶偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由下列两式确定 exy 一 xy=2，e x=0x 一 z24 当 x0，y0，z 0 时，求 u(x，y，z)=lnx+lny+3lnz 在球面 x2+ y2+z2= 5R2 上的最大值，并证明 abc3 (其中 a0，b0，c0)25 计算 (x+y)dxdy，其中 D 由不等式 x2+y2x+y 所确定26 设 f(x)在0，+)上连续，且满足求 f(t)27 求微分方程 的通解28 已知 y“+(x+e2y)y3=0，若把 x 看成因变量，y 看成自变量，则方程
5、化为什么形式？并求此方程通解29 设 f(u，)具有二阶连续偏导数，且满足 fu(u，)+f (u，)= u，求 y=e 一2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解30 要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面半径为 a，要求桥墩在任一水面上所受上部桥墩的平均压强为一常数 P，设水泥比重为 ，试求桥墩形状考研数学二（高等数学）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 D【知识模块】 高等
6、数学二、填空题5 【正确答案】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 3【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 1【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 F(x)=f(x)一 f(x+ )将0，1 区间 n 等分，若在以下 n 一 1 个区间 的某个端点使 F(x)= 0，本题结论已成立；若在以上 n 一 1 个区间端点上均有 F(x)0，则由 f(0)=f(1)可知，在以上 n 一 1个区间中至少有一个区间，F(x
7、)在该区间两端点异号，由连续函数介值定理知，存在 ，使 F()=0，即 f()=f(+ )【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 利用单调性或拉格朗日中值定理【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由 f(a) f(b)0 先证明 f(x)在a，b上的最大值或最小值必在(a， b)内取得【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 4 一 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识
8、模块】 高等数学21 【正确答案】 abf(x)dx=axf(t)dt+f(t)dt【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 构造辅助函数 (x)=f(x) 对 (x)在a，b上用罗尔定理【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 先利用拉格朗日乘数法求得 u(x，y，z)在球面 x2+ y2+z2=5R2 上的最大值为 5lnR+ 即我们已证明了在 x2+y2+z2=5R2 条件下，ln(xyz 3)整理后便可得 abc3【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 f(t) = (1+4rct 2)【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 y2 一 2y=C【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 原方程化为 xy“一 x=e2y，通解为：x=C 1ey+C2e 一 y+ e2y【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 y+2y=x 2e 一 2x，y=( +C)e 一 2x【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 桥墩应为曲线段 y= (0xh)绕 x 轴旋转所成曲面与平面x=0 和 x=h 所围成的旋转体【知识模块】 高等数学
