1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 55 及答案与解析一、填空题1 cos(2x+y)dx dy=_，其中 D：x 2+y2r22 设 f(x，y)为连续函数，且 f(x，y)=y 2+ f(x，y)dx dy，则 f(x，y)=_3 设区域 D 为 x2+y2R2，则4 交换积分次序5 交换积分次序，则二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设二元函数 f(x，y)的二阶偏导数连续，且满足 fxx“(x，y)=f yy“(x，y)，f(x，2x)=x2，f x(x，2x)=x ，求 fxx”(x，2x)7 设8 设9 设10 设 z=f(exsiny，x 2+y2)，其中 f 具有
2、二阶连续偏导数，求11 已知 u(x，y)= 其中 f，g 具有二阶连续导数，求 zuxx“+yuxy“12 ,f 的二阶导数连续，g 的二阶偏导数连续，求13 设 z=f(u，x，y)，u=xe y，其中 f 具有二阶偏导数，求14 设 z=f(2xy，ysinx)，其中 f(u，v)具有连续的二阶偏导数，求15 设 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足16 设 z=yf(x2 一 y2)，求17 设 z=z(x，y)，由方程 确定(F 为可微函数)，求18 设 z=xf(x，u，v)，其中 其中 f 连续可偏导，求19 设 z=f(x，y)是由方程 zyx+xez-y-z=0 所确定的二
3、元函数，求 dz20 设 (u，v，)由一阶连续的偏导数，z=z(x，y)是由 (bz 一 cy，cxaz，ay 一bx)=0 确定的函数，求21 设 z=z(x，y)是由 f(y-x，yz)=0 确定的，其中 f 对各个变量有连续的二阶偏导数，求22 设函数 z=z(x，y)由方程 x2+y2+z2=xyf(z2)，其中 f 可微，求 的最简表达式23 设函数 z=z(x，y)由方程 x=f(y+z，y+x)所确定，其中 f(x，y)具有二阶连续偏导数，求 dz24 若 =x+y 且满足 z(x，0)=x，z(0 ，y)=y 2，求 z(x，y)25 设 z=f(x，y)二阶可偏导 且 f(
4、x，0)=1 ，f y(x，0)=x，求 f(x,y)26 设 f(x，y)二阶连续可偏导，g(x ，y)=f(e xy，x 2+y2)，且 f(x，y)=1 一 x 一 y+证明：g(x，y)在(0，0) 处取极值，并判断是极大值还是极小值，求极值27 试求 z=f(x，y)=x 3+y3-3xy 在矩形闭域 D=(x，y)|0x2，-1y2上的最大值、最小值28 求函数 f(x，y)=4x 一 4yx2 一 y2 在区域 D：x 2+y218 上最大值和最小值29 求函数 z=x2+2y2 一 x2y2 在 D=(x，y)|x 2+y24， y0)上的最小值与最大值30 求 u=x2+y2
5、+z2 在约束条件 下的最小值和最大值31 设 f(x)二阶可导，且 0xf(t)dt+0xtf(xt)dt=x，求 f(x)考研数学二（高等数学）模拟试卷 55 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 1【试题解析】 由积分中值定理，存在(，)D，使得【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 【试题解析】 则 f(x，y)=y 2+Ax，两边积分得【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 f(x，2x)
6、=x 2 两边关于 x 求导得 fx(x，2x)+2f y(x，2x)=2x，fx(x，2x)=x 两边关于 x 求导得 fxx“(x，2x)+2fxy“(x，2x)=1 ，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 =exsinyf1+2xf2， =excosyf1+exsiny(excosyf11“+2yf12“)+2x(excosyf21“+2yf22“) =excosyf1+e2xsinycosyf11“+2ex(ysiny+xcosy)f12“+4xyf22”【知识模
7、块】 高等数学11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 =2f1+ycosxf2， =2(一 f11”+sinxf12“)+cosxf2+ycosx(一 f21”+sinxf22“)=一 2f11“+(2sinxycosx)f12“+cosxf2+ysinxcosxf22”?【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 =yf1+xf2 =y(yf11”+xf12”)+f2+x(yf21“+xf22“)=y2f11“+2xyf12“+x2f22“+f2， =xf1yf2， =x(xf11“一 y
8、f12“)一 f2一 y(xf21“一yf22)=x2f11“一 2xyf12“+y2f22“一 f2， =(x2+y2)(f11“+f22”)=x2+y2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 z y-z+xez-y-x=0 两边关于 x，y 求偏导得【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 (bz 一 cy，cx az，aybx)=0 两边关于 x 求偏导得【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 f(yx，yz)=0 两边关于 x 求偏导得【知识模块】 高等数学
9、22 【正确答案】 x 2+y2+z2=xyf(z2)两边关于 x 求偏导得【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 x=f(y+z，y+x) 两边关于 x 求偏导得x=f(y+z，y+x) 两边关于 y 求偏导得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由 z(x，0)=x 得0x(x)dx+(0)=x，从而 (x)=1，(0)=0；再由 z(0，y)=y 2 得 (y)=y2，故 z(x，y)=【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 从而z=y2+xy+(x)，再由 f(x，0)=1 得 (x)=1，故 f(x， y)=y2+xy+1【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 由可微的定义
10、得f(1，0)=0，f x(1，0)=f y(1，0)= 一 1则A=gxx“(0，0)=一 2，B=g xy“(0，0)= 一 1，C=g yy”(0，0)=一 2， 因为 ACB2=30且 A0，所以 g(x，y) 在 (0，0) 处取到极大值，极大值为 g(0，0)=0【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 当(x，y)在区域 D 内时，在 L1：y=一 1(0x2)上，z=x 3+3x 一1，因为 z=3x2+30，所以最小值为 z(0)=一 1，最大值为 z(2)=13；在L2：y=2(0x2)上，z=x 3 一 6x+8，在 L3：x=0(-1y2)上，z=y 3，由 z=3y2
11、=0 得 y=0，z(一 1)=一 1，z(0)=0，z(2)=8；在 L4：x=2(-1y2)上，z=y 3 一 6y+8，故 z=x3+y3 一3xy 在 D 上的最小值为 m=一 1，最大值为 M=13【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 当 x2+y218 时， 得 x=2，y= 一 2，f(2，一2)=8；当 x2+y2=18 时，令 F=4x 一 4yx2 一 y2+(x2+y2 一 18)，而 f(3，一 3)=6，f( 一 3，3)=一42， 故 f(x， y)在区域 D 上的最小值为 m=一 42，最大值为 M=8【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 当(x，y)位于
12、区域 D 内时，在 L1：y=0(一 2x2)上，z=x 2，由 z=2x=0 得 x=0，z(2)=4 ，z(0)=0； z=4cos2t+8 sin2t一 16 sin2tcos2t=4+4 sin2t 一 16 sin2t(1 一 sin2t)=412 sin2t+16 sin4t=当 sin2t=1 时，z 的最大值为 8；当故 z 的最小值为 0，最大值为 8【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 令 F=x2+y2+z2+(x2+y2 一 z)+(x+y+z 一 4)，【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 0xtf(x 一 t)dt x0xf(u)du 一 0xuf(u)du=x0xf(t)dt-0xtf(t)dt 0xf(t)dt+0xtf(x 一 t)dt=x 化为 0xf(t)dt+x0xf(t)dt-0xtf(t)dt=x，两边求导得 f(x)+ 0xf(t)dt=1，两边再求导得 f(x)+f(x)=0，解得 f(x)=Ce-x， 因为 f(0)=1，所以 C=1，故 f(x)=e-x【知识模块】 高等数学
