1、考研数学二（高等数学）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 为 f(x)=arctanx 在0，a 上使用微分中值定理的中值，则 为( )2 下列说法正确的是( ) （A）f(x)在(a，b)内可导，若（B） f(x)在(a，b) 内可导，若（C） f(x)在(-，+)内可导，若（D）f(x)在(- ，+)内可导，若3 sinx2dx 为( )（A）等于 0（B）大于 0（C）小于 0（D）不能确定4 设 f(x，y)在有界闭区域 D 上二阶连续可偏导，且在区域 D 内恒有条件，则( )（A）f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D
2、内（B） f(x，y)的最大值点和最小值点都在 D 的边界上（C） f(x，y)的最小值点在 D 内，最大值点在 D 的边界上（D）f(x，y)的最大值点在 D 内，最小值点在 D 的边界上二、填空题5 =_.6 设 在 x=0 处连续，则 a=_7 若 f(x)=2nx(1-x)n，记 Mu= Mn=_8 设 f(x)为连续函数，且满足 01(xt)dt=f(x)+xsinx，则 f(x)=_9 maxx+2，x 2dx=_10 计算 =_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 求12 设 f(x)在a，+)上连续， f(a)0，而 f(x)存在且大于零证明：f(x)在(a
3、， +)内至少有一个零点13 设 ，求 n，c 的值14 设 f(x)连续，(x)= 01f(xt)dt，且 =A求 (x)，并讨论 (x)在 x=0 处的连续性15 f(x)在-1， 1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (-1，1)，使得 f()=316 设 0a b，证明：17 设 f(x)是在a，b上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且 f(a)=b=f(b) 证明：存在 i(a，b)(i=1 ，2，n) ，使得18 0119 设 f(x)在0，1 上连续且f(x) M证明：20 计算定积分 0121 设二元函数 f(x，y)=x-y(x，
4、y)，其中 (x，y)在点(0，0) 处的某邻域内连续证明：函数 f(x，y)在点(0 ，0)处可微的充分必要条件是 (0，0)=0 22 计算二重积分 I=01dx23 交换积分次序并计算 0adx0x24 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)-30xf(t-x)dt=-3x+2，求 f(x)25 飞机以匀速 v 沿 y 轴正向飞行，当飞机行至。时被发现，随即从 x 轴上(x 0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x 00)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v (1)求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件； (2)导弹运行方程考研数学二（高等数学）模拟试卷 64 答案与解析
5、一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 令 f(a)-f(0)=f()a，即 arctana= ，或者 2= -1选(C)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 设时，f(x)=0，其中 kZ，则 f(x)，(A)不对；设，(B)不对；设 f(x)=x， ，(C) 不对，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 若 f(x，y)的最大点在 D 内，不妨设其为 M0，则有，因为 M0 为最大值点，所以 AC-B2 非负，而在 D 内有，即 AC-B
6、20，所以最大值点不可能在 D 内，同理最小值点也不可能在 D 内，正确答案为(B)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 -2【试题解析】 f(0)=f(0-0)=a，因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 a=-2【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0 得 x= ，当 x 时，f(x)0；当 x 时，f(x)0，则 x= 为最大点，【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 cosx-sinx+C【试题解析】 由 01f(xt)dt=f(x)+xsinx，
7、得 01(xt)=xf(x)+x2sinx，即 0xf(t)dt=xf(x)+x2sinx，两边求导得 f(x)=-2sinx-xcosx，积分得 f(x)=cosx-sinx+C【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【试题解析】 maxx+2，x 2= ，当 x-1 时，maxx+2，x 2dx= +C1；当-1x2 时，maxx+2，x 2dx= +2x+C2；当 x2时，maxx+2，x 2dx=+C3由 +C1= -2+C2，2+4+C 2= +C3，得 C1=C2-，C 3=C2+ ，取 C2=C，则maxx+2 ，x 2dx=【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 【试题解析】
8、 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 令 f(x)=k0，取 0= 0，因为 f(x)=k0，所以存在X00，当 xX0 时，有f(x)-k ，从而 f(x) 0，特别地，f(X 0)0，因为f(x)在a，X 0上连续，且 f(a)f(X0)0，所以存在 (a，X 0)，使得 f()=0【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 由得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 当 x0 时，(x)= 01f(xf)dt= 01f(xt)d(xt)= 01f(u)du，(x)= xf(x)-0x(u)d
9、u当 x=0 时，(0)= 01f(0)dt=0，因为，所以 (x)在x=0 处连续【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f(0)(-1-0)+ (-1-0)2+ (-1-0)2， 1(-1，0)，f(1)=f(0)+f(0)(1-0)+ (1-)2+ (1-0)2， 2(0，1)，即两式相减得 f(1)+f(2)=6因为 f(x)在-1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf(1)+f(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1， 2 (-1，
10、1)，使得 f()=3【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 首先证明 因为所以令 (x)=lnx-lna- (a)=0，(x)= (xa)，由(x)0(xa) ，而 ba，所以 (b)0，即再证 因为 (b2+a2)(lnb-lna)-2a(b-a)0，所以令 f(x)=(x2+a2)(lnx-lna)-2a(x-a)，f(a)=0，f(x)=2x(lnx-lna)+x+ -2a=2x(lnx-lna)+ 0(xa) 由 f(x)0(x a)，因为 ba，所以 f(b)f(a)=0，即【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 令 ，因为 f(x)在a ，b上连续且单调增加，且 f(a)=a
11、b=f(b)，所以 f(a)=aa+h a+(n-1)hb=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在 a c1c 2c n-1b，使得 f(c1)=a+h，f(c 2)=a+2h，f(c n-1)=a+(n-1)h再由微分中值定理，得 f(c1)-f(a)=f(1)(c1-a)， 1(a，c 1)，f(c 2)-f(c1)=f(2)(c2-c1)，2(c1， c2)，f(b)-f(c n-1)=f(n)(b-cn-1)， n(cn-1，b) ，从而有【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 x=tant，则【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 因为同理 于是【知识模块】 高等数学20
12、 【正确答案】 令 x=tant，则【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 (必要性)设 f(x，y)在点(0，0)处可微，则 fx(0，0)，f y(0，0)存在因为 fx(0，0)= 且=-(0，0)，所以(0，0)=0(充分性)若 (0，0)=0 ，则 fz(0，0)=0 ，f y(0，0)=0因为又2，所以 =0，即 f(x，y)在点(0，0)处可微【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 其中 D=(x，y)0x1，-xy -1，令 t0，0r-2sint ，于是【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 于是 0adx0x =0af(y)dy=f(a)-f(0)【知识模块】 高等数
13、学24 【正确答案】 0x(x-x)dt=-0x(t-x)d(x-t)=-x0f(-u)d=0xf(u)du， 则有 f(x)+2f(x)-30xf(u)du=-3x+2，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1 将 f(x)+2f(x)-30xf(u)du=-3x+2 两边对 x 求导数得 f(x)+2f(x)-3f(x)=-3， 其通解为 f(x)=C1ex+C2e-3x+1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 (1)设 t 时刻导弹的位置为 M(x，y)，根据题意得两边对 x 求导数得 又所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为 (2)令进一步解得 故轨迹方程为【知识模块】 高等数学
