1、考研数学（数学三）模拟试卷 275 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 当 x1 时，函数 的极限( )（A）等于 2（B）等于 0（C）为 （D）不存在但不为2 设 f(x)=2x+3x-2，则当 x0 时( ) （A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(z)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)比 x 更高阶的无穷小（D）f(x)是比 z 较低阶的无穷小3 若 3a2-5b0，则方程 x5+2ax3+3bx+4c=0( )（A）无实根（B）有唯一实根（C）有三个不同的实根（D）有五个不同的实根4 设 f(x)=x(1-x)，则( ) （A）
2、x=0 是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线)y=f(x) 的拐点（B） x=0 不是 f(x)的极值点，但 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极值点，且 (0，0)是曲线 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，但(0，0)不是曲线 y=f(x)的拐点5 设 3 阶矩阵 ，若 A 的伴随矩阵的秩等于 1，则必有( )（A）a=b 或 a+2b=0（B） a=b 或 a+2b0（C） ab 且 a+2b=0（D）ab 且 a+2b06 设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)X=0 的基础解系为1， 2，则 A
3、的属于 0 的全部特征向量为( )（A） 1 和 2（B） 1 或 2（C） c11+c22(c1，c 2 全不为零 )（D）c 11+c22(c1，c 2 不全为零)7 设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为1 的指数分布，则概率 PX+Y1=( )（A）1-1 2e（B） 1-e（C） 1-e（D）2e8 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n( )（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散
4、型分布二、填空题9 设方程 exy+y2=cosx 确定 y 为 x 的函数，则 dy/dx=_10 =_11 函数 f(u， v)由关系式 fxg(y)，y=x+g(y)确定，其中函数 g(y)可微，且 g(y)0，则 =_12 交换积分次序 =_13 设矩阵 ，则 A3 的秩为_ 14 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且均服从区间0，3上的均匀分布，则PmaxX，Y1=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设16 设每天生产某种商品 g 单位时的固定成本为 20 元，边际成本函数 C(q)=04g+2 元 /件求成本函数 C(g)如果该商品的销售价为 18 元件，并且
5、所有产品都能够售出，求利润函数 L(q)，并问每天生产多少件产品时才能获得最大利润?17 设 f(x)为0，1上的单调增加的连续函数，证明18 设二阶常系数微分方程 y+ay+y=ye2x 有一个特解为 y=e2x+(1+x)ex，试确定a、 和此方程的通解19 证明方程 在区间(0，+)内有且仅有两个不同实根20 设四阶矩阵 B= ，且矩阵 A 满足关系式A(E-C-1B)TCT=E，其中 E 为四阶单位矩阵，C -1 表示 C 的逆矩阵，C T 表示 C 的转置矩阵，将上述关系式化简并求矩阵 A21 设 A，B 为同阶方阵，(1)如果 A，B 相似，试证 A，B 的特征多项式相等(2)举一
6、个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立(3)当 A，曰均实对称矩阵时，试证(1)的逆命题成立22 一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等，以X 表示汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布(信号灯的工作是相互独立的)23 设总体 X 服从(0，( 0)上的均匀分布，x 1，x 2，x n 是来自总体 X 的样本，求 的最大似然估计量与矩估计算考研数学（数学三）模拟试卷 275 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】
7、x1时函数没有极限，也不是，故应选(D)2 【正确答案】 B【试题解析】 且ln2+ln31，所以应选 (B)3 【正确答案】 B【试题解析】 设 f(x)=x5+2ax3+3bx+4c 则 f(x)=5x4+6ax2+3b=5(x2)2+6a(x2)+3b 由于(6a)2-4*5*3b=12(3a2-5b)0，所以 f(x)=0 无实根又于是 f(x)0 根据连续函数的介值定理及 f(x)的严格单调增加性质，知 f(x)有唯一零点，即方程 f(x)=0 有唯一实根4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)是(-，+) 上的连续函数，在(-1/2，1/2)内有表达式即 x=0 是f(x)的极小
8、值点，(0，0)是曲线 y=f(x)的拐点故应选(C)。5 【正确答案】 C【试题解析】 由秩(A *)=1 知秩(A)=3-1=2，则A=0但 a=b 时秩(A)=12故 ab且 a+2b=0故应选(C)6 【正确答案】 D【试题解析】 A 的属于 0 的全部特征向量为方程组(E-A)X=0 的通解，即c11+c22 (c1，c 2 不全为零 )应选(D)7 【正确答案】 A【试题解析】 由题设知 随机变量 X和 Y 相互独立二维随机变量(X，Y)的概率密度为 f(x，y)=PX+Y1=1-PX+Y1=8 【正确答案】 C【试题解析】 列维-林德伯格(Levy-Lindberg)中心极限定理
9、要求 X1，X 2，X n既有相同的数学期望，又有相同的方差，因此(A)、(B)、(D) 都不是答案，(C)为答案二、填空题9 【正确答案】 【试题解析】 等式两边同时对 x 求导得 exy(y+xy)+2yy=-sinx，解得10 【正确答案】 ln3【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 南已知关系式 fxg(y)，y=x+g(y)两边对 x 求二次偏导，有 f u*g(y)=1， (1) fuug(y)2=0 (2) 由已知 g(y)0，所以 fuu=0，在(1)式两边对 y 求一次偏导，有 f u*g(y)+fuu*x*g(y)+fuv*1g(y)=0. 将 fuu=0 代入上
10、式，得 fu*g(y)+fuv*g(y)=0，从而12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，设原积分中两部分的积分区域分别如图所示，则原式13 【正确答案】 【试题解析】 矩阵 所以故 A3 的秩为 r(A3)=114 【正确答案】 1/9【试题解析】 由题设有Pmax(x，Y)1=PX1，Y1=PX1PY1=1/3*1/3=1/9三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 已知，成本=固定成本+ 变动成本；成本函数是边际成本的反导数；变动成本是边际成本函数在区间上的定积分：C(q)=C(0)+ 0qC(q)dq 成本函数为c(q)=C(0)+0q
11、(q)dq=200q(04x+2)dx=02q 2+2q+20，收益函数为 R(q)=18g，所以，利润函数为 L(q)=R(q)-C(q)=18q-(02q 2+2g+20)=-02q 2+16q-20 这又回到了求极值问题L (q)=-04q+16=0，L (q)=-040，经判断，当 q=40 时，L(40)=-02(40) 2+16(40)-20=300(元)是最大利润也就是说，每天生产 40 件产品时获得最大利润17 【正确答案】 18 【正确答案】 由此方程的非齐次项含 e2x 及特解形式知，e 2x 是非齐次方程的特解，而由线性微分方程解的性质知(1+x)e x 应是其对应的齐次
12、方程的解， 故 r=1 为此方程的齐次方程的特征方程的二重根，故特征方程为 r22r+1=0，由此得 a=-2，=1，故原方程为 y-2y+y=ye2x，将 e2x 代入得 y=1，故得原方程为 y-2y+y=e2x，其通解为 y=(C1+C2x)ex+e2x19 【正确答案】 20 【正确答案】 知(AB) T=BTAT，知(E-C -1B)TCT=C(E-C-1B)T=(C-B)T那么由A(C-B)T=E 知 A=(C-B)T-1=(C-B)-1T21 【正确答案】 (I)若 A， B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=B，故 E-Bl = E-P-1AP-1=P -1EP-P-
13、1AP =P -1(AE-A)P=P -1E-AP=E-A ( )令 A= ，B= ，那么E-A= 2=E-B 但 A，B 不相似，否则，存在否逆矩阵 P，使 P-1AP=B=0从而 A=POP-1=0，矛盾，亦可从 r(A)=1，r(B)=0 而知 A 与 B 不相似 ()由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有 A 相似于 ，B 也相似于 即存在可逆矩阵 P，Q 使 P-1AP= =Q-1BQ于是(PQ -1)-1A(PQ-1)=B由 PQ-1 为可逆矩阵知，A 与 B 相似22 【正确答案】 X i= (i=1，2，3)，则 X 的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=P(X 1=1)=1/2，P(X=2)=P(X 1=0，X 2=0，X 3=1)=1/8，P(X=3)=P(X1=0，X 2=0，X 3=0)=1/8，所以 X 的分布律为 X23 【正确答案】 (1)总体 x 的概率密度函数是 f(x，)= 似然函数是L(；x 1，x 2， xn)= 记 x(n)=maxxi，当 x(n)时，L()是单调减小函数，所以当 时，L(；x 1，x 2， ，x n)最大所以 是 的最大似然估计量
