1、考研数学（数学二）模拟试卷 324 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 Amn 的秩 r(A)mn，E m 为 m 阶单位矩阵，下述结论中正确的是（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零 （C）若矩阵 B 满足 BA 0，则 B0（D）A 通过初等行变换，必可以化为(E m，0)形式 2 3 4 设 0 是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)X=0 的基础解系为1， 2，则 A 的属于 0 的全部特征向量为( )（A） 1 和 2（B） 1 或 2（C） c11+c22(c1，c
2、2 全不为零 )（D）c 11+c22(c1，c 2 不全为零)5 6 7 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )（A） 1 2， 2 3， 3 1（B） 1 2， 2 3， 12 2 3（C） 12 2，2 23 3， 33 1（D） 1 2 3，2 13 22 3，3 15 23 38 下列变量在给定的变化过程中为无穷大量的是 二、填空题9 设矩阵 A 满足 A2+A-4 层=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.10 11 12 设 其中 abc=一 6，A *是 A 的伴随阵，则 A*有非零特征值13 函数 yx 2 在区间(0，1上的最小值为
3、_14 (2010 年试题，10) 曲线 渐近线方程为_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 i(a i1，a i2，a in)T(i1，2，r；r 1， 2， r 线性无关已知(b 1，b 2，b n)T 是线性方程组 的非零解向量试判断向量组 1， 2， r， 的线性相关性16 17 18 19 设 A 为 n 阶实对称矩阵，f(A)=n，A ij 是 A=(aij)nm 中元素 aij(i，j=1 ，2，n)的代数余子式，二次型 f(x1，x 2，x n)= () 记X=(x1，x 2，x n)T，把 f(x1，x 2，x n)写成矩阵形式，并证明二次型 f(x)
4、的矩阵为 A-1； ( )二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同? 说明理由20 求极限21 微分方程(y+x 3)dx-2xdy=0 满足 y x=1=6/5 的特解。22 设非负函数 y=y(x)(x0)满足微分方程 xy“-y+2=0当曲线 y=y(x)过原点时，其与直线 x=1 及 y=0 围成的平面区域 D 的面积为 2，求 D 绕 y 轴旋转所得旋转体的体积23 考研数学（数学二）模拟试卷 324 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 矩 阵2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 D【
5、试题解析】 4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的属于 0 的全部特征向量为方程组(E-A)X=0 的通解，即c11+c22 (c1，c 2 不全为零 )应选(D)5 【正确答案】 B【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 7 【正确答案】 C8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 1/2(A+2E)【知识模块】 向量10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 2e2【试题解析】 12 【正确答案】 =11【试题解析】 因 abc=一 6，故 又=60，故， r(A)=2，r(A *)=1故 A*有特征值13 【正确答案】 应填 【试题解析】 分析 幂指函数的导数可
6、转化为指数函数的导数或用对数求导法详解 因为 ye 2xlnx，所以 yx 2x(2lnx2)，令 y0，得驻点为 又y“ x2x(2lnx2) 2x 2x. ，故 为 yx 2x的极小值点，此时 。当 x 时，y(x) 0；x 时，y(x)0，故 y 在 上递减，在 上递增，而 y(1)1，y(00)所以，yx 2x 在区间(0，1上的最小值为 。【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 因为 所以该曲线的渐近线方程为 y=2x【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 用定义，然后等式两端左乘 T【知识模块】 向 量16 【正确答
7、案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 19 【正确答案】 () 由题设，已知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式两边可转置，即已知r(A)=n，从而A0 ，A 可逆，且 A-1= ，则由(1)式知 f(x1，x 2，x n)=xTA-1X 且(A -1)T=(AT)-1=A-1，故 f(x1，x 2，x n)=xTA-1X 是 f(X)的矩阵表示，且相应矩阵为 A-1，证毕()由于(A -1)TAA-1=(AT)-1E=A-1，则 A-1 与 A 合同，于是g(X)=XTAX 与 f(X)有相同规范形，得证20 【正确答案】 21 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】
