1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 20 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 =a，则( )（A）f(x)在 x=x 处必可导且 f(x0)=a。（B） f(x)在 x=x0 处连续，但未必可导。（C） f(x)在 x=x0 处有极限但未必连续。（D）以上结论都不对。二、填空题2 设函数 f(x)由方程 y 一 x=ex(1y)确定，则 =_。3 已知 f(x0)=一 1，则 =_4 已知 y= =_。5 设函数 f(x)= ，则 y=f(x)的反函数 x=f-1(y)在 y=0 处的导数=_。6 设 =_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程
2、或演算步骤。7 设 f(x)在 x=a 可导，且 f(a)=1，f(a)=3。求数列极限8 求下列函数在指定点处的导数：()y=f(x)=arcsin x ，求 f(0)；()设 f(x)=(a+bx)一 (a 一 bx)，其中 (x)在 x=a 处可导，求 f(0)；() 设函数 f(x)在x=0 处可导，且 f(0)= ，对任意的 x，有 f(3+x)=3f(x)，求 f(3)。9 设 f(x)= 且 g(x)具有二阶连续导数，且 g(0)=1，g(0)=一1。 ( )求 f(x)； ()讨论 f(x)在(一 ，+) 上的连续性。10 利用导数的定义求函数 f(x)=lnx 的导函数。11
3、 求函数 y= 的导数。12 设 y=x+lnx，求 13 求由方程 siny2=cos 确定的隐函数 y=y(x)的导函数 y(x)。14 设函数 y=y(x)由 y 一 xey=1 所确定，试求 。15 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题16 设 f(x)= ，求 f(n)(x)。17 设 f(x)=sin6x+cos6x，求 f(n)(x)。18 求函数 y=ln(2xx 一 x 一 1)的 n 阶导数。19 设 y= ，求 y(n)(n 为正整数)。20 求函数 f(x)=x22ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 f(n)(0)(n3)。21 设 f
4、(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 =e4，求 f(0)，f(0) ，f (n)(0)。22 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，其中 a0 且 f(a)=0证明：在(a，b)内存在一点 ，使 f()= f()。23 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)=0。证明：存在一点 (a，b)，使得f()+f()=0。24 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)= ，证明：存在(0， ，1)，使得 f()+f()= 2+2。25 设 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=
5、1，证明：存在点， (a，b)，使得 考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 20 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 本题需将 f(x)在 x=x0 处的左右导数 f-(x0)，f +(x0)与在 x=x0 处的左右极限 区分开。 =a，但不能保证 f(x)在 x0 处可导，以及在 x=x0 处连续和极限存在。 例如 f(x)= ，显然，x0 时，f(x)=1，因此 但是不存在，因此 f(x)在 x=0 处不连续，不可导。 故选 D。【知识模块】 一元函数微分学二、填空题2 【正确答案】 1【试题解析】 将 x=0 代入方程
6、 y 一 x=ex(1y)可得 y=1，可知 f(0)=1。 在方程两边同时求导可得 y一 1=ex(1y)(1 一 y 一 xy)，将 x=0，y=1 代入上式可得 f(0)=1。 从而由导数的定义可知【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 1【试题解析】 根据导数的定义式，有 f(x0)= 由于【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 【试题解析】 由题设，f(x)=，由反函数求导法则，【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正
7、确答案】 对所求极限的表达式进行恒等变形，即由等价无穷小代换及 f(a)=1，并结合导数的定义，得 因此 w=e6。【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 () 由导数的定义()由 f(x)=(a+bx)一 (a 一 bx)，可知 f(0)=(a)一 (a)=0。由于题中并未说明 (z)在 x=0 处是否可导，所以利用导数定义。()由于题中未说明 f(x)在 x=3 处是否可导，所以须用导数定义进行求解。已知 f(3+x)=3f(x)，所以【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 () 由于 g(x)有二阶连续导数，故当 x0 时，f(x)也具有二阶连续导数，此时一阶导数 f(x)连
8、续；当 x=0 时，需用导数的定义计算 f(0)。当 x0 时，f(x)= ；当 x=0 时，由导数定义及洛必达法则，有()由() 的结论知，x=0 是 f(x)的分段点，且有而 f(x)存 x0 处是连续函数，所以 f(x)在(一 ，+) 上为连续函数。【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 因为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 由复合函数求导的链式法则有【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 由复合函数的求导法则在等式 siny2=cos 两边对 x 求导，【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由 y
9、一 xey=1 知，x=0 时，y=1，且在方程两端同时对 x 求导，有 y一 eyxyey=0 将 x=0，y=1 代入上式得 y(0)=e。 在一阶导函数等式两端继续对x 求导得 y“一 yeyyeyx(yey)=0， 将 x=0，y=1，y(0)=e 代入上式得，y“(0)=2e2。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由 一 2te-x=0 得 exdx=2tdt，对等式两边求积分得 ex=t2+C，再由x t=C=0 得 C=1，因此 ex=t2+1，即 x=ln(1+t2)，从而=(1+t2)ln(1+t2)+1=ex(x+1)。【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答
10、案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因 f(x)=6sin5xcosx 一 6cos5xsinx=6sinxcosx(sin 2x 一 cos2x) =一 3sin2xcos2x=一 sin4x， f“(x)=一 。利用 sinx 的高阶导数公式即得【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由于 y=ln(2x+1)(x 一 1)=ln(2x+1)+ln(x 一 1)，【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 对函数进行整理得 y=(x+3)+ ，令所以 13x+12=a(x+1)+B(x 一 4)，令 x=4 得5A=64，即 A= ；令 x=一 1 得一 5B
11、=一 1，即 B= 。将 A，B 代入可得【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由莱布尼茨公式(uv) (n)=u(n)v(0)+Cn1u(n1)v+Cn2u(n2)v“+u(0)v(n)，及ln(1+x) (k)= (后为正整数)，有于是 f (n)(0)=(一 1)n3n(n 一 1)(n 一 3)!= 【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 由ln1+f(x)=0。 已知 f(x)在 x=0 处 n 阶可导，故 f(x)在 x=0 处连续，从而 =f(0)=0。 利用等价无穷小代换，当 x0 时，ln1+f(x)f(x)，可得 =4，即 f(x)=4xn+o(xn)。从
12、而由泰勒公式的唯一性知 f(0)=0，f(0)=0，f (n1)(n1)(0)=0，f (n)(0)=4n!。【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=(b 一 x)af(x)，由题设 F(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，已知 f(a)=0，则 F(a)=(ba)af(a)=0，F(b)=(bb) af(b)=0。 由上述可知 F(x)在a，b上满足罗尔定理。于是，存在一点 (a，b)，使 F()=0，即 一a(b)a1f()+(b)af()=0，故 f()= f()。【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 F(x)=exf(x)，则 F(x)
13、=exf(x)+f(x)ex，显然 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理知，必存在一点 (a，b)，使 F()=0， 即 e xf()+f()=0， 但 ex0，则 f()+f()=0故原题得证。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=f(x)一 x3，由题设可知 F(0)=0，F(1)=0 。F(x)满足拉格朗日中值定理，于是在0， ，l上分别应用拉格朗日中值定理。即有 f()+f()= 2+2。【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 作辅助函数 F(x)=xnf(x)，则 F(x)=nxn1f(x)+xnf(x)，且 F(x)在a， b上应用拉格朗日中值定理，则存在一点 (a，b)，使得 =nn1f()+nf()。 另作辅助函数 G(x)=xn，同理在a ，b上应用拉格朗日中值定理，则存在一点 (a，b)，使得 =nn1。由以上两式，可得 nn1=nn1f()+nf()，即【知识模块】 一元函数微分学
