1、考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 f(x，y)在点(0，0)某邻域内连续，且 则（A）点(0 ，0) 不是f(x ，y)的极值点（B）点 (0，0)是 f(x，y)的极大值点（C）点 (0，0)是 f(x，y)的极小值点（D）根据所给条件无法判断点(0，0)是否为 f(x，y)的极值点2 如图，正方形(x，y)丨丨 x 丨 1，丨 y 丨1 被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)，I k= Ik =（A）I 1（B） I2（C） I3（D）I 43 设 ，其中 D=丨(x，y)丨 x2+
2、y21，则（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3（C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I24 设 S：x 2+y2+z2=a2(z0)，S 1 是 S 在第一卦限中的部分，则有5 设有空间区域 1：x 2+y2+z2R2，z0 及 2：x 2+y2+z2R2，x0，y0，z0，则正确的是6 设 f(x，y)为连续函数，则 等于7 设曲线 L：f(x，y)=l(f(x ，y)具有一阶连续偏导数)，过第象限内的点 M 和第 N象限内的点 N，F 为己上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是二、填空题8 交换二次积分的积分次序： =_.9 设函数 f(x)在0，1上连续且
3、 ，则 =_.10 计算二重积分 =_.11 设区域 D=(x，y) 丨 x2+y21，x0 二重积分=_.12 设 L 为椭圆 x2/4+y2/3=1，其周长为 a，则 (2xy+3x2+4y2)ds=_.13 其中 a，b 为正的常数，L 为从点 A(2a，0)沿曲线 到点 O(0，0)的弧 I=_14 计算曲线积分 +2(x2-1)ydy，L 是曲线 y=sinx 上从点(0，0)到点(，0)的一段 I=_.15 已知曲线 L 的方程为 y=1-丨 x 丨(x-1，1) ，起点是(-1，0)，终点为(1，0)，则曲线积分 +x2dy=_.16 已知 L 是第一象限中从点(0，0)沿圆周
4、x2+y2=2x 到点(2，0)，再沿圆周 x2+y2=4到点(0 ，2) 的曲线段计算曲线积分 3x2ydx+(x3+x-2y)dy=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 设有一小山，取它的底面所在的平面为 xOy 坐标面，其底部所占区域为D=(x，y) 丨 x2+y2-xy75，小山的高度函数为 h(x，y)=75-x 2-y2+xy17 设 M(x0，y 0)为区域 D 上的一个点，问 h(x，y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大?若记此方向导数的最大值为 g(x0，y 0)，试写出 g(x0，y 0)的表达式；18 现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找
5、一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在 D 的边界曲线 x2+y2-xy=75 上找出使(1)中的 g(x，y)达到最大值的点试确定攀登起点的位置19 设 D=(x， y)丨 x2+y2 x0，y0 ，1+x 2+y2表示不超过 1+x2+y2 的最大整数，计算二重积分 xy1+x2+y2dxdy20 已知函数 f(x，y)具有二阶连续偏导数，且 f(1， y)=0，f(x，1)=0, =a，其中 D=(x，y)丨 0x1，0yY1，计算二重积分21 设 Q=(x， y，z)丨 x 2+y2+z21，求 .22 已知曲线，L：y=x 2 ，求 .23 计算曲线积分 其中 L 是以点(
6、1，0)为中心，R 为半径的圆周(R1)，取逆时针方向24 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，求曲线积分 的值.考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数积分学2 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数积分学3 【正确答案】 A【知识模块】 多元函数积分学4 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数积分学5 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数积分学6 【正确答案】 C【知识模块】 多元函数积分学7 【正确答案】 B【知识模块】 多元函数积分学二、填空题8 【
7、正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学9 【正确答案】 1/2A 2【知识模块】 多元函数积分学10 【正确答案】 e-1.【知识模块】 多元函数积分学11 【正确答案】 (/2)ln2【知识模块】 多元函数积分学12 【正确答案】 12a【试题解析】 原式= （3x 2+4y2）ds=12a.【知识模块】 多元函数积分学13 【正确答案】 (a 2/2)(b-a)+4b.【知识模块】 多元函数积分学14 【正确答案】 - 2/2【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学15 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 多元函数积分学16 【正确答案】 (/2)-4【知识模块】 多元函数积分
8、学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 多元函数积分学17 【正确答案】 由梯度向量的重要性质：函数 h(x，y)在点 M 处沿该点的梯度方向 =-2x0+y0，-2y 0+x0方向导数取最大值即 gradh(x，y)丨 (x0,y0)的模 g(x 0,y0)=【知识模块】 多元函数积分学18 【正确答案】 按题意，即求 g(z，y) 在条件 x2+y2-xy-75=0 下的最大值点 g2(x，y)=(y-2x) 2+(x-2y)2=5x2+5y2-8xy 在条件 x2+y2-xy-75=0 下的最大值点 这是求解条件最值问题，用拉格朗日乘子法令拉格朗口函数 L(x，y，) =5x2+5y【知识模块】 多元函数积分学19 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学20 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学21 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学22 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学23 【正确答案】 【知识模块】 多元函数积分学24 【正确答案】 原积分【知识模块】 多元函数积分学
