1、考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 服从正态分布 N(0，1)，对给定的 (0，1) ，数 u满足 PXu =，若 P|X|x= ，则 x 等于( )2 设 f1(x)为标准正态分布的概率密度，f 2(x)为-1， 3上均匀分布的概率密度，若为概率密度，则 a，b 应满足( )（A）2a+3b=4（B） 3a+2b=4（C） a+b=1（D）a+b=23 设随机变量 X，Y 不相关，且 EX=2，EY=1 ，DX=3，则 EX(X+Y-2)=( )（A）-3（B） 3（C） -5（D）5二、填
2、空题4 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则事件“ 两数之和小于 ”的概率为_5 设两两相互独立的三事件 A，B 和 C 满足条件：ABC= ，P(A)=P(B) ：P(C) ，且已知 P(ABC)= ，则 P(A)=_6 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率分布密度 fY(y)=_7 设二维随机变量(X，Y)服从正态分布 N(1，0；1，1；0)，则 PXY-Y0)=_8 设(X，Y) 在 D：|x|+|y|a(a0)上服从均匀分布，则 E(X)=_，E(Y)=_，E(XY)=_9 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得容量为 16 的简
3、单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设考生的报名表来自三个地区，各有 10 份、15 份、25 份报名表，其中女生表分别为 3 份、7 份、5 份。现随机抽一个地区的报名表，从中先后任取 2 份10 求先取的一份是女生表的概率；11 已知后取的一份是男生表，求先取的一份是女生表的概率12 袋中有 a 白 b 黑共 a+b 只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止，求袋中所剩之球全为白球的概率13 设随机变量 X 的概率密度为 ，-x+，求：(1)常数 C；(2)X的分布函数 F(x)和 P0X1；(3)Y=
4、e -|X|的概率密度 fY(y)14 设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 问 X与 Y 是否独立?|X|与|Y|是否独立 ?15 设 X 服从参数为 2 的指数分布，求 Y=1-e-2x 的概率密度 fY(y)。15 设 和 是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知 的分布律为P(=i)=13， i=1，2，3又设 X=max(，) ，Y=min(，)16 写出二维随机变量(X，Y)的分布律；17 求 EX18 当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 09？试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解18 设总体 X 的分布函数为：
5、其中未知参数1，X 1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，求：19 的矩估计量；20 的最大似然估计量21 设总体的密度为： 从 X 中抽得简单样本 X1，X n试求未知参数 的矩估计和最大似然估计22 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数，这样做了 n 次以后，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n。基于此，求 R 的最大似然估计考研数学一（概率与数理统计）模拟试卷 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 (x)=P(
6、Xx)为服从标准正态分布的 X 的分布函数，有结果：(x)+(-x)= x(-，+)(1)又由 =P(|X|x)=P(-xXx)=(x)-(-x)(显然 x0)(2) 由(1)、(2)式得 2(-x)=1-，得 =(-x)=1-(x)=1-P(Xx)=P(Xx)与题目中 =P(X )比较，注意 (x)为严格单调增函数选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意知： 故：1= -+f(x)dx=-0f1(x)dx+b0+f2(x)dx 所以 2a+3b=4，故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 D【试题解析】 E(X 2)=DX+(EX)2=
7、3+22=7，E(XY)=EXEY=21=2 EX(X+Y-2)=E(X2+XY-2X)=E(X2)+E(XY)-2E(X)=7+2-22=5【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题4 【正确答案】 【试题解析】 设这两个数为 x 和 y，则(x，y)的取值范围为图 41 中正方形 G，那么“两数之和 使(x，y)的取值范围为图41 中阴影部分 D，本题为等概型几何概率题，所求概率为 ，而 G 的面积为 1，D 的面积为 1- 08 2=068，故【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【试题解析】 由已知知：P(ABC)=0P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，
8、P(BC)=P(B)P(C)若记 P(A)=x，可得 =P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x2 解得 x= (由题意，舍去) 和【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 【试题解析】 Y 的分布函数 FY(y)=P(Yy)=P(X2y)当 y0 时，F Y(y)=0是 X 的概率密度【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 12【试题解析】 由题意可知 XN(1，1)，YN(0 ， 1)，且 X 与 Y 独立，可得 X-1N(0 ，1) ，于是 P(Y0)=P(y0)=12，P(X-10)=P(X-1 0)=1 2
9、，可得P(XY-Y0)=Py(X-1) 0=PY 0，X-10)+PY0，X-10【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 0；0；0【试题解析】 D 的面积为 2a2，故(X，Y)的概率密度为：【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 记 Ai=(取的是第 i 区的报名表，i=1，2，3，B i=从报名表中第 i次取的是女生表)，i=1， 2，则【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答
10、案】 我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则 P袋中全剩白球)=P(最后一只取白球 )= (抽签原理)【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 (1)(2) Y 的分布函数为 FY(y)=PYy)=Pe-|X|y)显然，y0 时，F Y(y)=0，y1 时，F Y(y)=1，这时 fY(y)=FY(y)=0，当 0y1 时， FY(y)=p-|X|lny=P|X|-lny=1-PlnyX-lny=1-lny-lnyf(x)dx，则 fY(y)=FY(y)=- f(-lny)+f(lny)，注意到 f(x)是一偶函数，故【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 关于
11、 X 的边缘密度为 fX(x)=-+f(x，y)dy若|x|1，则 fX(x)=0；若|x|1，则 fX(x)= 关于 Y 的边缘密度为 fY(y)=-xf(x，y)dx即 X 与 y 不独立而(|X| ，|Y|) 的分布函数为 F(x，y)=P(|X|x ，|y|y当 x0 或 y0 时，f(x，y)=0；当 x0， y0 时，F(x，y)=p-xXx ，-yYy= -xxdu-yyf(u，v)dv当 x1,y1时，F(x，y)= -11du-11 =1；当 0x1，y1 时，F(x，y)= -xxdu-11 dv=x；当 x1，0y1 时，F(x ， y)=-11du-yy dv=y；当
12、0x1，0y1 时，F(x，y)= -xxdu-yy dv=xy。于是，关于|X|的(边缘)分布函数为： 而关于|Y|的(边缘)分布函数为：可见 F|X|(x)F |Y|(x，y)=F(x ，y) (x，y) R2，即|X|与|y|相互独立【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 X 的概率密度为：f X(x)= Y 的分布函数 FY(y)=P(Yy)=P(1-e-2xxy)=P(e-2xx1-y)，1-y0 即 y1 时，F Y(y)=1，f Y(y)=0；1-y0 即 y1 时，FY(y)=P-2Xln(1-y)=PX ln(1-y)= fX(x)dxf Y(y)=FY(y)=，故
13、 fY(y)=【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (X，Y) 的分布律见下表【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 由(X，Y)的分布律可得关于 X 的边缘分布律为：故 EX=【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 设抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n，05)，现要求P(04 06)09，即 P(04nX06n)0 9，(1) 用切比雪夫不等式：P(04nX06n)=P(|X-05n|01n) 09，得 n250，(2) 用中心极限定理：P(04nX06n)=09，得 1645，n6765，即 n68【知识模块】 概率论与数理统计【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 总体 X 的概率密度为：【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 似然函数为当x1，x n1 时，lnL=nln-(+1)ln(x 1xn)【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 矩估计：EX=；最大似然估计：似然函数为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由题意，总体 X 的分布律为：PX=k= ，k=0，1，2，似然函数为 L=【知识模块】 概率论与数理统计
