1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 135 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=0 处存在二阶导数，且 则点 x=0( )（A）不是 f(x)的驻点（B）是 f(x)的驻点但不是极值点（C）是 f(x)的驻点且是极大值点（D）是 f(x)的驻点且是极小值点2 设函数 f(x)=x2，x 0，1，而 其中an=201f(x)cosnxdx(n=0,1,2, )，则 s(一 1)的值为( )（A）一 1（B）（C）（D）13 在下列微分方程中，以 y=c1ex+c2cos2x+C3sin2x(c1，c 2，c 3 为任意常数)为通解的是(
2、)（A）y+y一 4y4y=0（B） y一 y+4y4y=0（C） y一 y一 4y+4y=0（D）y+y+4y+4y=0二、填空题4 设 f(x)=6x 一 01f(x)dx，则 f(x)=_。5 设向量 a=1，2，3)，b=1，1，0)，若非负实数 k 使得向量 a+kb 与 akb 垂直，则实数 k 的值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 x1=10， xn+1= (n=1，2，)，证明：极限 存在，并求此极限值7 设 f(x)在 x=1 处连续，且 求 f(1)8 设 g(x)连续，令 又 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)0，求F(x)=f(x)在
3、x=0 处的导数9 设 f(x)在a ，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)f(b) 0 试证：对 存在点 (a，b)，使得 f()=kf()10 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，f+(a)=试证：存在点 (a，b)，使得 f()011 求12 设 f(x)为连续的偶函数，F(x)为 f(x)的原函数，且 1 1F(x)dx=0，求 F(x)13 已知14 求曲线 y=0xf(t)dt 与 y=2x1 交点的个数其中 f(x)在0，1上连续，f(x)15 设 求 f(x)的极值和曲线 y=f(x)拐点的横坐标16 设在 yOz 坐标平面
4、上有一已知曲线 C，其方程为 f(y，z)=0将此曲线绕 y 轴旋转一周，得到一个以 y 轴为轴的旋转曲面试求此旋转曲面的方程17 求 f(x，y)=(x 一 6)(y+8)在(x，y)处的最大方向导数 g(x，y)，并求 g(x，y)在区域D=(x，y) ：x 2+y225)上的最大值、最小值18 求二重积分 其中积分区域 D 是由直线 y=0，y=2，x=2 及曲线所围成的平面图形19 设函数 f(x)在区间a，b上连续，且区域 D=(x，y)axb ，ayb，证明： a b f(x)dx 2 (ba) a b f2 (x)dx20 利用曲面的面积公式 推导坐标 xOy 平面上光滑曲线 y
5、=f(x)0 在区间 a，b上绕 x 坐标轴旋转一周所得曲面的表面积的公式21 设函数 Q(x，y) 在 xOy 平面上具有一阶连续的偏导数，曲线积分L2xydx+Q(x， y)dy 与路径无关，并且对任意的 t 恒有 (0，0) (t，1) 2xydx+Q(x，y)dy=(0，0) (1，t) 2xydx+Q(x，y)dy 求函数 Q(x，y)的表达式22 计算曲面积分， 且 是坐标原点到曲面上任意一点(x，y，z)处的切平面的距离23 坐标 xOy 平面上有一力场 F，在点 P(x，y)处力 F(x，y)的大小为 P 点到原点 O的距离，方向为 P 点矢径逆时针旋转要，求质点沿下列曲线由点
6、 A(a，0)移到点B(0，a)时力 F 所做的功 W： (1)C 1：圆周 x2+y2=a2 在第一象限内的弧 (2)C 2：星形线 在第一象限内的弧 (3)C 3：抛物线 在第一象限内的弧24 设偶函数 f(x)的二阶导数 f(x)在点 x=0 的一个邻域内连续，且 f(0)=1试证：级数 绝对收敛25 设函数 收敛25 求解下列微分方程：26 ylnydx+(xlny)dy=027 考研数学一（高等数学）模拟试卷 135 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件可得 f(x)+ex=lnf(0)+1=0，即f(0
7、)=0又当 x0时，lnf(x)+e xf(x)+e x1， 所以于是，x=0 是 f(x)的驻点且是极大值点，故选 C2 【正确答案】 D【试题解析】 是对函数 f(x)=x2，x 0，1作偶延拓得到的三角级数展开式，且延拓后得到的函数是连续的根据狄利克雷收敛定理，有 S(一 1)=f(1)=1，故选 D3 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知 ex，cos2x，sin2x 为该方程的线性无关的解，故1=1， 2=2i， 3=一 2i 为其特征根，于是其对应的特征方程为( 一 1)(+2i)( 一 2i)=0，即 3+42 一 4=0故选 B二、填空题4 【正确答案】 应填【试题解析】 令
8、 A=01f(x)dx，则 01f(x)dx=6 01xdx 一 A，即 A=3 一 A，得定积分 abf(x)dx 为一常数，一般地，如果列出 A，B ，即得f(x) 5 【正确答案】 应填【试题解析】 本题主要考查向量模的概念以及两个向量相互垂直的充分必要条件因为向量 a+kb 与 a 一 kb 垂直，所以(a+kb) (a 一 kb)=0，故a 2 一k2b 2=0 由于a 2=14，b 2=2，于是 k2=7又因为 k 为非负，所以三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 因为 x1=103，设 xn3 则 xn+1= 由数学归纳法知数列x n)有下界又因而x
9、 n单调递减，由单调有界原理【试题解析】 若极限存在，设为 a，则 a= a=3，又 x2=41=10，可推测x n)单调递减，有下界 3用数学归纳法证明有界若 存在，则其值只能为 3，可用下列方法求解7 【正确答案】 其中由此可得 f(x)的表达式为 f(x)=3 一 xx+a(x)一 3(x 一 1)于是，因此【试题解析】 本题也可利用无穷小量的定义求出 f(1) 因为当 x1 时，f(x)+x x一 3 是 x 一 1 的同阶无穷小量，所以有 即 f(1)=2于是，由极限的四则运算、等价无穷小替换和洛必塔法则可得8 【正确答案】 【试题解析】 先求 F(x)的表达式，再求导在本题求 F(
10、0)的过程中，应用了已知导数求极限的方法这种方法的一般形式为：若9 【正确答案】 令 F(x)=ekx f(x)，则由题设可知，F(x)在a，b上连续不妨假定 f(a)0，于是有 f(b)0， 由 ekx 0 可知，F(a)0， F(b)0，由介值定理，存在点 使得 F(x1)=F(x2)=0所以F(x)在x 1，x 2上连续，在 (x1，x 2)内可导，且 F(x1)=F(x2)=0由洛尔定理，存在点(x1， x2) (a，b)，使得 F()=0，即 ek f()一 f()=0，故有 f()一 kf()=0【试题解析】 欲证存在点 (a，b)，使得 f()一 kf()=0，即 ek f()一
11、 kf()=0，即 e kx f(x) x=0 可作辅助函数：F(x)=e kx f(x)，用介值定理和洛尔定理证明 本题所构造的辅助函数 F(x)=ekx f(x)，不满足洛尔定理的第三个条件于是利用介值定理再次构造使用洛尔定理的辅助区间x 1，x 2，从而为用洛尔定理解决问题提供了条件10 【正确答案】 由题设 可知，在(a， b)内至少存在一点 x0使 f(x0)0 在a，x 0，x 0，b上分别用拉格朗日中值定理可知：存在 d(a，x 0)，c(x 0，b)使得于是由题设可知，f(x)在d，c上连续，在(d ，c)内可导 再由拉格朗日中值定理，存在点 (d，c) (a，b)，使得【试题
12、解析】 由拉格朗日中值定理可知，要证 只要证当dc 时，有 f(c)0，f(d)0 只要证存在点 x0(a，b)，有由题设可知，只要证 f(x0)0由已知条件 f+(a)0 可找到这样的点 x011 【正确答案】 原式【试题解析】 分部积分法用于求不同类型函数乘积的积分，分部积分公式为： udv=uvvdu； abudv=uv ab abvdu 正确选择 u 和 v 是使用分部积分法的关键，基本经验是，将常见函数分为三组：当你面对的积分中含有上述六种函数的两个，选同组的“上者”为 u，不同组的“左者”为 u对于含抽象函数导数的积分，应选导数符号之外的函数为 u，即将抽象函数选为 v12 【正确
13、答案】 由 f(x)为连续的偶函数可知， 0xf(t)dt=为奇函数，且 F(x)=0xf(t)dt+c0 又 1 1F(x)dx=1 10xf(t)dt+c0dx=2c0=0， 所以，F(x)= 0xf(t)dt【试题解析】 若 f(x)连续，则由 F( 一 x)=0x f(t)dt 0uf(一 u)du 可知，f(x)为连续的奇(偶)函数 F(x)为偶(奇)函数 对 f(x)的任一原函数有： (1)f(x) 为连续的奇函数 axf(t)dt 为偶函数 (2)f(x)为连续的偶函数时， axf(t)dt 是奇函数 a af(x)dx=013 【正确答案】 【试题解析】 将待求的广义积分转化为
14、已知的广义积分14 【正确答案】 令 (x)=2x0xf(t)dt 一 1，则 (x)在0，1上连续，且 (0)=001=一 101f(x)dx 一 1=1 一 01f(x)dx0，(因为 f(x)0，可知 (x)在0，1内单增故(x)在(0，1)内有且仅有一个零点，即曲线 y=0xf(t)dt 与 y=2xl 在(0，1)内仅有一个交点【试题解析】 作辅助函数 (x)=2x 0xf(t)dt1，将两曲线的交点转化为 (x)的零点或方程 (x)=0 的根的问题15 【正确答案】 f(0)=20， f(0)=0 为极小值16 【正确答案】 设 M0(0，y 0，z 0)为曲线 C 上的任意一点，
15、则 f(y0，z 0)=0当曲线C 绕 y 轴旋转时，点 M0 就绕 y 轴旋转到另一点 M(x，y，z)此时，y=y 0 保持不变，且点 M 到 y 轴的距离为【试题解析】 本题主要考查空间旋转曲面及其方程(1)曲线 C 绕 z 轴旋转时，所得旋转曲面的方程是 (2)空间曲面方程的表达式主要有： 1)一般方程：F(x ，y，z)=0 2)参数方程：x=x(u ，v)，y=y(u，v)，z=z(u，v)17 【正确答案】 一个函数在一点沿着梯度方向的方向导数是该点沿所有方向的方向导数最大的，因此最大方向导数就是这个函数在该点梯度的模，故g1(x，y)=(x 一 6)2+(y+8)2 在 D 上
16、的最大值为225，最小值为 25所以 g(x，y)在 D 上的最大值为18 【正确答案】 利用直角坐标系计算【试题解析】 因为被积函数 f(x，y)=y，所以应先定变量 x 的上、下限，然后再定变量 y 的上、下限19 【正确答案】 因为 f(x)在区间a ，b上连续，则f(x)一 f(y)2 在区域 D 上可积，且【试题解析】 在不等式的证明中，若含有一个函数 f(x)的平方 f2(x)，以及 f(x)的某种表达式的平方，一般采用构造一个新的函数形式，如f(x)一 f(y)2 等 在矩形区域 D 上，对特殊的被积函数 f(x，y)=g(x)h(y) ，二重积分不仅可以交换积分次序，而且还可以
17、化为两个定积分的乘积20 【正确答案】 因为光滑曲线 y=f(x)0 在区间a，b上绕 x 坐标轴旋转一周所得曲面的方程为 y2+z2=f2(x)，取它的上半部分曲面方程为由于上述曲面在坐标 xOy平面上的投影区域为 Dxy=(x，y)axb，一 f(x)yf(x)，根据对称性，所求曲面的表面积为【试题解析】 首先确定表面积的曲面方程，然后再利用表面积的面积公式，求出相应的表面积 S，其中曲面在坐标平面 xOy 上的投影区域为 D此式就是一元函数定积分中旋转曲面的表面积公式21 【正确答案】 由“ 曲线积分与路径无关的充分必要条件” 知 于是Q(x,y)=x2+c(y)，其中 c(y)为待定的
18、函数又由于等式中的左边 =(0,0)(t,1)2xydx+ Q(x,y)dy=01t2+c(y)dy=t2+01 c(y)dy ；右边= (0,0)(1,t)2xydx+ Q(x,y)dy=0t1+c(y)dy=t+0t c(y)dy由题设知 t2+0t c(y)dy两边同时对变量 t 求导，得 2t=1+c(t)，即c(t)=2t 一 1，从而 c(y)=2y 一 1于是，Q(x,y)=x 2+2y 一 1【试题解析】 这实际上是曲线积分的一个逆问题22 【正确答案】 因为空间曲面在任意点(x，y，z)处的切平面的方程为于是由空间曲面的对称性，有【试题解析】 本题主要考查曲面积分，空间两点间
19、的距离以及切平面方程本题在求曲面积分时，利用了空间曲面的对称性23 【正确答案】 因为F=r ， 且即 F=一yi+x j，故功 W=C 一 ydx+xdy(1) 圆弧 C1 的参数方程为(2)星际线 C2的参数方程为(3)因为抛物线 C3 为 故【试题解析】 为求变力 F 所做的功 W，先要把力 F 对坐标 x 轴、y 轴的坐标求出来，再针对不同的积分曲线计算出功 W 的大小24 【正确答案】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)=一 f(一 x)，且 f(0)=0 根据二阶台劳公式展开式，有由于 f(x)在点 x=0 的邻域内连续，知存在正数 M0，使得在点 x=0 的一个邻域内f(x)
20、M ，从而当n 充分大时，有25 【正确答案】 因为因为 ab=1，所以【试题解析】 通过将 1 一 xx2 因式分解，使函数 f(x)化成相应的幂级数展开式，再证明级数 是收敛的26 【正确答案】 将原微分方程化为 这是一个以变量 x 为未知函数的一阶线性微分方程利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为其中 c 为任意常数利用常数变易法，设非其次线性微分方程得通解为其中 c 为任意常数27 【正确答案】 将原微分方程化为 这是一个以变量 x 为未知函数的一阶线性微分方程利用分离变量的方法，得齐次线性微分方程的通解为其中 c 为任意常数利用常数变易法，设非其次线性微分方程得通解为代入到原微分方程中，得 c(y)=y2lny+c于是，原微分方程的通解为其中 c 为任意常数【试题解析】 形如 的微分方程，一般要考虑将变量 x、y 的位置对调，使其成为 这是一个关于变量 x 为未知函数的一阶线性微分方程，其中 s(y)0
