1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 168 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=y(x)由 x1xy et2 dt=0 确定，则 y(0)等于( )（A）2e 2（B） 2e2（C） e2 一 1（D）e 2 一 12 设 n 收敛，则下列级数必收敛的是 ( )3 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0 一 ，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(
2、x)为偶函数，f (0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值4 设 =05x dt，= 0sinx(1+t) dt，则当 x0 时，两个无穷小的关系是( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）同阶非等价无穷小（D）等价无穷小二、填空题5 =_6 设 f(x)连续，f(0)=0，f (0)=1，则 =_7 设 L 为从点 A(0，一 1，1)到点 B(1，0，2) 的直线段，则 L(xyz)ds=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 求下列极限：9 确定常数 a，c ，使得 =c，其中 c 为非零常数10 设 f(x)连续，f(0)=0，f (0)=1，求 11 设 f
3、(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()g()=012 求 13 求 14 设 f(x)在区间0，1上可积，当 0xy1 时， f(x)一 f(y)arctanx-arctany，又 f(1)=0，证明： 01f(x)dx ln215 求过直线 的平面方程16 已知 (x，y)= ，其中 f，g 具有二阶连续导数，求 xxx+yxy17 求 I= dxdy，其中 D=(x，y) x 2+y21，x0，y018 求 I= zdS，其中为 x2+y2+z2=1 被 所截的顶部19 求幂级数 xn1 的和函数2
4、0 求微分方程(y+ )dx 一 xdy=0 的满足初始条件 y(1)=0 的解21 求极限 22 设 f(x)=3x2+Ax3 (x0) ，A 为正常数，问：A 至少为多少时，f(x)20？23 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx23 设直线 L： 及 ：xy+2z 一 1=024 求直线 L 在平面 上的投影直线 L；25 求 L 绕 y 轴旋转一周所成曲面的方程26 设 =(x，y)由方程组 =f(x，y，z ，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0 确定，其中f，g， h 连续可偏导且 27 对常数 P，讨论幂级数 的收敛域
5、28 在 t=0 时，两只桶内各装 10L 的盐水，盐的浓度为 15gL，用管子以 2Lmin的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以 2Lmin 的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用 1Lmin 的速度输出求在任意时刻 T0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程考研数学一（高等数学）模拟试卷 168 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 D【试题解析】 极大值，但 f(x)在 x=1 处不连
6、续，(C) 不对；由 f(0)存在，得f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选(D)【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)【知识模块】 高等数学二、填空题5 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 0【试题解析】 ， 0xlncos(xt)dt=一 0xlncos(xt)d(x 一 t)=一x0lncosd=0xlncosd，【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
7、8 【正确答案】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 a af(x+a)dxa af(xa)dx=a af(x+a)d(x+a)一 a af(xa)d(x 一 a)【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(x)， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】
8、【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 s 1=1，一 1，2，s 2=一 1，2，1，n=s 1s2=一 5，一3，1，所求平面方程为 ：一 5(x 一 2)3(y+2)+(z 一 3)=0，即 ：一 5x 一3y+z+1=0【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3 一 3x5， 令 (x)=20x3 一 3
9、x5，由 (x)=60x2一 15x4=0，得 x=2， (x)=120x-60x3，因为 (2)=一 2400，所以 x=2 为 (x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 令 g(t)=lnt(t0)，g (t)= 0，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x0)+g(x0)(t 一 x0) gf(x)g(x0)+g(x0)f(x)一 x0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01f(x)dx【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 令 ，即 x=一 1+t，y=t，z=1
10、一 t，将 x=1+t，y=t，z=1 一 t 代入平面 xy+2z 一 1=0，解得 t=1，从而直线 L 与平面 的交点为M1(2，1，0)过直线 L 且垂直于平面 的平面法向量为 s1=1，1，1 1，一 1，2= 1，一 3，一 2，平面方程为 1：1(x 一 2)一 3(y 一 1)2z=0 ，即 1：x 一 3y 一 2z+1=0 从而直线 L 在平面 上的投影直线一般式方程为【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 设 M(x，y，z)为所求旋转曲面上任意一点，过该点作垂直于 y轴的平面，该平面与相交于一个圆，且该平面与直线 L 及 y 轴的交点分别为M0(x0，y，z 0)及 T(0，y，0)，由M 0T=MT，得 x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z 0)L，即 ，将其代入上式得：x 2+z2=(y+1)2+(1 一 y)2，即 ：x 2一 2y2+z2=2【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y 为自变量，由 =f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 设在任意时刻 t0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为 m1(t)，m2(t)，在时间t ，t+dt【知识模块】 高等数学
