1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 192 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)=0xdt0ttln(1+u2)du，g(x)= (1cost)dt，则当 x0 时，f(x)是 g(x)的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价的无穷小2 下列说法正确的是( ) 二、填空题3 4 设函数 y=f( )满足 f(x)=arctan ，则 dydx| x=2=_5 曲线 y= 的斜渐近线为_6 设 f(sin2x)=xsinx，则 dx=_7 设 a2ln2 =6，则 a=_8 设连续函数 f(x)，f(0)=0，F
2、(t)= z2+f(x2+y2)dxdydz， t：x 2+y2t2，0z1，则F(t)t 2=_。9 设 L 是从点(0 ，0)到点(2，0)的有向弧段 y=x(2x)，则 L(yexe y+y)dx+(xey +ex)dy=_10 微分方程 yy“2(y) 2=0 的通解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 12 设 f(x)在0，1上有定义，且 exf(x)与 ef(x) 在0，1上单调增加证明：f(x)在0，1上连续12 设 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，f(0)=0，f(12)=1，f(1)=0 证明：13 存在 (12，1)，使得 f()=；1
3、4 对任意的 k(，+) ，存在 (0，)，使得 f()kf()=115 设 f(x)Ca，b，在(a ，b)内可导，f(a)=f(b)=1证明：存在 ， (a，b)，使得2e2 =(ea+eb)f()+f()16 设 f(x)，g(3x) 在a，b上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f +(n)f (b)0，且 g(x)0(xa，b)，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得 f()g()=f“()g“()17 设函数 y=f(x)二阶可导，f(x)0，且与 x=(y)互为反函数，求 “(y)18 设 f(x)连续，且 f(x)=20xf(xt)dt+e x
4、，求 f(x)19 设 f(x)有界，且 f(x)连续，对任意的 x( ， +)有|f(x)+f(x)|1证明：|f(x)|120 21 证明：当 x0 时，f(x)= 0x(tt 2)sin2ntdt 的最大值不超过21 设直线 L：22 求直线绕 z 轴旋转所得的旋转曲面；23 求该旋转曲面界于 z=0 与 z=1 之间的几何体的体积24 设 f(x，y)= 讨论 f(x，y)在(0，0)处的连续性、可偏导性与可微性25 26 设半径为 R 的球面 S 的球心在定球面 x2+y2+z2=a2(a0)上，问 R 取何值时，球面 S 在定球面内的面积最大?27 计算 I=L ，其中 L 是绕原
5、点旋转一周的正向光滑闭曲线28 求函数 f(x)=ln(1x2x 2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域29 位于上半平面的上凹曲线 y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x， y)处的曲率与 及 1+y2 之积成反比，比例系数为 k= ，求 y=y(x)30 细菌的增长率与总数成正比如果培养的细菌总数在 24 小时内由 100 增长到400，求前 12 小时后的细菌总数考研数学一（高等数学）模拟试卷 192 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 得n=5，x0 时，f(x)115x 5；得m=6，x0
6、时，g(x) 1 6x6，故 x0 时，f(x) 是 g(x)的低阶无穷小，应选(A)【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 时，f(x)=0，其中 kZ，则 f(x)，(A)不对；设 f(x)=f(x)=0， (B)不对；设 f(x)=x，f(x)=1，(C)不对，选 (D)【知识模块】 高等数学二、填空题3 【正确答案】 13【试题解析】 0xsin(xt) 2dt x0sinu2(du)= 0xsinu2du，则【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 23【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 y=2x4【试题解析】 曲线 y=的斜渐近线为 y=2x4【知识
7、模块】 高等数学6 【正确答案】 arcsin 2 +C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 ln2【试题解析】 则arcsinea2 =4，故 a=ln2【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 3【试题解析】 F(t)= z2+f(x2+y2)dxdydz=01dz02d0tz2+f(r2)rdr=201dz0tz2+f(r2)rdr=20t +rf(r2)dr【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 23【试题解析】 P(x ，y)=ye xe y +y，Q(x，y)=xe y +ex，令 L0：y=0(起点 x=2，终点 x=0)，则 L(yexe y +y)dx+(xey
8、 +ex)dy=( )(yexe y +y)dx+(xey +ex)dy，而 (yexe y +y)dx+(xey +ex)dy= dxdy=02dx0x(2x)dy=02x(2x)dx=4 3， (yexe y +y)dx+(xey +ex)dy=20=dx=2，于是L(yexe y +y)dx+(xey +ex)dy= 2= 23【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 y=C 或者1y=C 1x+C2【试题解析】 令 y=p，得 y“=pdpdy，代入原方程得当 p=0 时，y=C；由 dydx=C 1y2，得dyy 2=C1dx，从而1 y=C1x+C2，所以原方程的通解为 y=C 或
9、者1y=C 1x+C2【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 对任意的 x00，1 ，因为 exf(x)与 ef(x) 在0 ，1上单调增加，所以当 xx 0 时，有 故 f(x0)f(x) f(x0)，令 xx 0 ，由夹逼定理得 f(x0 0)=f(x0)；当 xx 0 时，有 f(x0)f(x)f(x0)，令xx 0+，由夹逼定理得 f(x0+0)=f(x0)，故 f(x00)=f(x 0+0)=f(x0)，即 f(x)在 x=x0 处连续，由 x0 的任意性得 f(x)在0 ，1上连续【知识模
10、块】 高等数学【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 令 (x)=f(x)x，(x)在0，1上连续， (12)=1 20，(1)=1 0，由零点定理，存在 (12，1) ，使得 ()=0，即 f()=【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 设 F(x)=ekx (x)，显然 F(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且F(0)=F()=0，由罗尔定理，存在 (0，)，使得 F()=0，整理得 f()kf()=1【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，由微分中值定理，存在 (a，b)，使得=ef()+f()，再由 f(a)=f(b)=1，得 =ef()+f()，从而
11、=(ea+eb)ef()+f()，令 (x)=e2x，由微分中值定理，存在 (a，b) ，使得(e2be 2a)(ba)=2e 2，即 2e2=(ea+eb)ef()+f()，或 2e2 =(ea+eb)f()+f()【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 设 f+(a)0，f (b)0，由 f+(a)0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f (b)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b)=0 ，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0令 h(x)=f(x)g(x)，显然 h(x)在a，b上连续，由 h(a)=h(
12、c)=h(b)=0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，令 (x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得()=0，而 (x)=f“(x)g(x)f(x)g“(x)所以 f()g()=f“()g“()【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以 (y)=1f(x)，【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 0xf(xt)dt x0f(u)(du)= 0xf(u)du，f(x)=2 0xf(u)du+ex 两边求导数得 f(x)2f(x)=e x，则
13、f(x)=(exe 2dx x+C)e 2dx =Ce2xe x，因为 f(0)=1，所以C=2，故 f(x)=e2xe x【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 令 (x)=exf(x)，则 (x)=exf(x)+f(x)， 由|f(x)+f(x)|1 得|(x)|ex，又由 f(x)有界得 ()=0 ，则 (x)=(x)()= x(x)dx，两边取绝对值得 e x|f(x)| x|(x)|dx xexdx=ex，所以|f(x)|1 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 当 x0 时，令 f(x)=(xx 2)sin2nx=0 得 x=1，x=
14、k(k=1，2，)，当 0x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0( 除 x=k(k=1，2，)外 f(x)0)，于是 x=1 为 f(x)的最大值点，f(x)的最大值为 f(1)因为当 x0 时，sinxx，所以当X0，1 时， (xx 2)sin2nx(xx 2)x2n=x2n+1x 2n+2，于是 f(x)f(1)=01(xx 2)sin2nxdx01(x2n+1x 2n+2)dx【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 记直线 L 绕 z 轴旋转所得的旋转曲面为，设 M(x，y，z)为曲面上的一点，过点 M 作与 z 轴垂直的平面，交直线 L 及 z 轴于点
15、 M0(x0，y 0，z) 及T(0，0，z)，由 |M0T|=|MT|得 x2+y2=x02+y02，注意到 M0L，则代入上式得：x 2+y2=(1+2z)2+(2+z)2，即 ：x 2+y2=5z2+8z+5【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 方法一对任意的 z0，1，截口面积为 A(z)=(x2+y2)=(5z2+8z+5)，则 V=01A(z)dz=01(5z2+8z+5)dz=323当 z=0 时，t=0 ；当 z=1 时，t=1设 M(1+2t，2+t，t)为曲面上任意一点，则截口面积为 S(t)=r2=(1+2t)2+(2+t)2=(5t2+8t+5)，则体积为 V=01
16、S(t)dt=323【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 0|f(x ， y)|xy|，即 f(x，y)在(0，0)处连续 fx(0，0)=0，同理 fy(0，0)=0，即 f(x，y)在(0，0)处可偏导即f(x，y)在(0，0)处可微【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 设球面 S：x 2+y2+(za) 2=R2， 得球面 S 在定球内的部分在 xOy 面上的投影区域为 Dxy：x 2+y2R24a 2(4a2R 2)，球面S 在定球内的方程为 S：z=a令 S(R)=4R R2=0得 R=4a3，因为 S“(4a3)=40，所以当 R=
17、4a3时球面 S 在定球内的面积最大【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 令Lr：x 2+y2=r2，其中 r0，L r 在 L 内方向取逆时针，由格林公式得其中 D 为 L 与 Lr 所围成的平面区域，则【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 f(x)=ln(1x2x 2)=ln(x+1)(12x)=ln(1+x)+ln(12x)，因为ln(1+x)= xn(1x1)，ln(12x)= xn(12x12)，【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 因为p(2)=0，所以 C1=0，故 y=p= 因为 y(0)=2，所以 C2=0，故曲线方程为 y= +2【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 设 t 时刻细菌总数为 S，则有 dSdt=kS，S(0)=100，S(24)=400， dSdt=kS S=Cekt，C=100，k= ln4=ln212 所以 S=100eln212t ，S(12)=100eln2=200【知识模块】 高等数学
