1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设级数 都发散，则( )2 下列命题正确的是( ) 3 设 a 为任意常数，则级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与常数 a 有关4 下列说法正确的是( ) 5 级数 ( )（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性不确定6 设 k0，且级数 ( )。（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 k 的取值有关7 设幂级数 (an+bn)x 的收敛半径为 R0，则有( )（A）R 0=R2（B） R0=R1（C） R0R 2（D）R 0R
2、 28 设 anx2n+1 的收敛半径为( )9 设 an(x1)n 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定10 设 f(x)= 则以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于( )（A）1+ 2（B）一 1（C）（D）二、填空题11 幂级数 的收敛半径为_12 幂级数 的收敛域为_13 =_14 设函数 f(x)=x+x2(一 x) 的傅里叶级数为 (ancosnx+bnsinnx)，则b3=_。15 f(x)为以 2 为周期的函数，当一 x 时，f(x)= 设其傅里叶级数的和函数为 S(x)，则 S(11)=_三、解答题
3、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16 求幂级数 的收敛域17 求幂级数 的收敛域18 求幂级数 的收敛域19 求幂级数 的收敛域20 求幂级数 的收敛域21 求幂级数 的收敛域22 求幂级数 的收敛域23 求幂级数 n(n+1)xn 的和函数24 求幂级数 的和函数25 求幂级数 (n+1)n 的和函数26 求幂级数 (2n+1)xn 的收敛域及和函数27 求幂级数 的收敛域，并求其和函数28 求级数 的收敛域与和函数29 求幂级数 (|x|1)的和函数 S(x)及其极值30 31 将 f(z)=arctanx 展开成 x 的幂级数32 将 f(x)= 展开成 x 一 2 的幂级数33
4、 将 f(x)=lnx 展开成 x 一 2 的幂级数34 将 f(x)= arctanxx 展开成 x 的幂级数35 设有幂级数 2+ (1) 求该幂级数的收敛域； (2)证明此幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1； (3)求此幂级数的和函数36 设函数 f(x)以 2 为周期，且其在一 ，) 上的表达式为 f(x)=|x|，求 f(x)的傅里叶级数，并求 的和37 将 f(x)= 展开成傅里叶级数考研数学一（高等数学）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 选(D) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D
5、【试题解析】 选(D) 【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 选(B)【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 B【试题解析】 因为的收敛半径 R2，故当 x=2 时，|2 1|R，所以级数 an(x1)n 在 x=2 处绝对收敛，选(B)【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 D【试题解析】 函数
6、f(x)的傅里叶级数在 x= 处收敛于 ，选(D)【知识模块】 高等数学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 (0，4)【试题解析】 令 x 一 2=t，对级数 ，所以收敛半径为 R=2，当 t=2 时， 的收敛域为(一2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 2【试题解析】 【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x)的间断点为 x=(2k+1)(kZ)，所以 S(11)=【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤。16 【正确答案】 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 得唯一驻点 x
8、=0，当 x0 时，S(x) 0，当 x0 时，S(x)0，则 x=0 为 S(x)的极大值点，极大值为 S(0)=1【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学31 【正确答案】 【知识模块】 高等数学32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学35 【正确答案】 故该幂级数满足微分方程 y“一 y=一 1(3)由 f“(x)一 f(x)=一 1 得 f(x)=C1ex+C2ex+1，再由 f(0)=2，f(0)=0 得 C1= ，所以 f(x)=chx+1【知识模块】 高等数学36 【正确答案】 【知识模块】 高等数学37 【正确答案】 函数 f(x)在 一 ， 上满足狄里克莱充分条件，将 f(x)进行周期延拓，【知识模块】 高等数学
