1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)，g(x)(af(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x)f(a)g(a)B2 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 ，则下列正确的是( ) （A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(0)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点3 设 f(x)在 x=0 的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0 处可导的充分
2、必要条件是( )4 设 f(x)在( 一，+)上有定义，x 00 为函数 f(x)的极大值点，则( )（A）x 0 为 f(x)的驻点（B）一 x0 为一 f(一 x)的极小值点（C）一 x0 为一 f(x)的极小值点（D）对一切的 x 有 f(x)f(x0)5 设 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列正确的是( )（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是 y=f(x)的拐点6 设 f(x)=x3+x2+bx 在 x=1 处有极小值一 2，则( )（A）a=1 ，b=2（B
3、 a=一 1，b=一 2（C） a=0，b=一 3（D）a=0 ，b=37 设曲线 y=x2+ax+b 与曲线 2y=xy3 一 1 在点(1，一 1)处切线相同，则( )（A）a=1 ，b=1（B） a=一 1，b=一 1（C） a=2，b=1（D）a= 一 2，b=一 1二、填空题8 设曲线 y=Inx 与 相切，则公共切线为_。9 10 11 求曲线 的斜渐近线。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 举例说明函数可导不一定连续可导13 设 f(x)在a，b上有定义，M0 且对任意的 x， ya，b，有f(x)一f(y)M xy k (1)证明：当 k0 时，f(x)在
4、a ，b上连续； (2)证明：当 k1 时，f(x)常数14 15 设对一切的 x，有 f(x+1)=2f(x)，且当 x0，1时 f(x)=x(x2 一 1)，讨论函数 f(x)在 x=0 处的可导性16 证明：当 x0 时，x 2(1+x)In 2(1+x)17 18 19 设 PQ 为抛物线 的弦，它在此抛物线过 P 点的法线上，求 PQ 长度的最小值20 证明：当 0x1 时，(1+x)In 2(1+x)x 221 22 23 24 25 26 设 k0，讨论常数 k 的取值，使 f(x)=xInx+k 在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点27 设 ，讨论 f(x)的单调性，凹凸
5、性，拐点，水平渐近线28 29 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根30 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得.31 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()g()=032 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且证明：(1) 1， 2(0，3)，使得 f(1)一 f(2)=0(2)存在 (0，3)，使得 f“()一 2f()=033 34 设 f(x)在a，b上二阶可导且 f“(x)0，证明
6、f(x)在(a，b)内为凹函数考研数学一（高等数学）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分2 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分3 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 y=f(一 x)的图像与 y=f(x)的图像关于 y 轴对称，所以一 x0 为f(一 x)的极大值点，从而一 x0 为一 f(一 x)的极小值点，选【知识模块】 高等数学部分5 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分6 【
7、正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 3+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值一 2，【知识模块】 高等数学部分7 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分二、填空题8 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分9 【正确答案】 y=-2x【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分10 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分11 【正确答案】 y=2x-11【试题解析】 【知识模块】 高等数学部分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分13 【正确答案】 (1)对任意的 x0a，
8、b，由已知条件得【知识模块】 高等数学部分14 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分15 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分16 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)In 2(1+x)，f(0)=0；f(x)=2x 一 In2(1+x)一 2In(1+x)，f(0)=0；【知识模块】 高等数学部分17 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分18 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分19 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分20 【正确答案】 令 f(x)=x2 一(1+x)In 2(1+x)，f(0)=0； f(x)=2xIn 2(1+x)一 2In(1+x)，f
9、0)=0；【知识模块】 高等数学部分21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分22 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分23 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分24 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分25 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分26 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分27 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分28 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分29 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分30 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分31 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(x)， 由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0， 因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 高等数学部分32 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分33 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分34 【正确答案】 【知识模块】 高等数学部分
