1、考研数学三（二重积分）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设平面区域 D 由曲线 y= ，y=1 围成，则 (xy31)d等于 ( )（A）2（B） 2（C） （D）2 已知 ，则 I= ( )3 交换二次积分 次序正确的是 ( )4 设平面区域 D 由 x=0， y=0，x+y= ，x+y=1 围成，若 I1= ln(x+y)3dxdy，I 2= (x+y)3dxdy，I 3= sin(x+y)3dxdy，则 I1，I 2，I 3 的大小顺序为 ( )（A）I 1I 2 I3（B） I3I 2I 1 （C） I1I 3I 2（D）I 3
2、I 1 I25 累次积分 f(x2+y2)dx(R0)化为极坐标形式的累次积分为 ( )二、填空题6 二重积分 ln(x2+y2)dxdy 的符号为_7 若 f(x，y)为关于 x 的奇函数，且积分区域 D 关于 y 轴对称，则当 f(x，y)在 D 上连续时，必有 f(x，y)dxdy=_8 设 D=(x， y)x 2+y2e2)，则二重积分 =_9 由曲线 y=lnx 及直线 x+y=e+1，y=0 所围成的平面图形的面积可用二重积分表示为_，其值等于_10 设 ，交换积分次序后 I=_11 设 f(x，y)为连续函数，则 =_，其中 D：x 2+y2t2三、解答题解答应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤。12 平面区域 D=(x，y)x+y1，计算如下二重积分：(1)I 1=，其中 f(t)为定义在( ，+) 上的连续正值函数，常数a0，b0； (2)I2= ，常数 013 设 p(x)在a，b 上非负连续，f(x)与 g(x)在a，b上连续且有相同的单调性，其中D=(x，y) axb，ayb，比较的大小，并说明理由14 设函数 f(x，y)在 D 上连续，且 其中 D 由y= ， x=1， y=2 围成，求 f(x，y)15 交换下列累次积分的积分次序16 (1)计算 ；(2)当 x1 时，求与 等价的无穷大量17 证明： 01dx01(xy)xy=01xxdx18 设 F(
4、x，y)= 在 D=a，bc，d上连续，求 并证明：I2(Mm)，其中 M 和 m 分别是 f(x，y)在 D 上的最大值和最小值19 (1)设 D=(x，y)axb，cyd)，若 fxy 与 fyx 在 D 上连续证明：(2)设 D 为 xOy 平面上的区域，若 fxy 与 fyx都在 D 上连续证明：f xy 与 fyx 在 D 上相等20 证明：21 设函数 f(x)在0，1上连续证明： 01ef(x)dx01ef(y) 122 求 V(t)= (t1)y+1dxdy 的最大值，其中 Dt=(x，y) x 2+y21， y1)，2t3考研数学三（二重积分）模拟试卷 1 答案与解析一、选择
5、题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 如图 15-1 所示，用曲线 y=sinx( x0)将区域 D 划分为 D1和 D2 两部分，则 D1 关于 x 轴对称，D 2 关于 y 轴对称，于是有由于区域 D 的面积与直线y=0，y=1，x= 所围成矩形的面积相等，故 SD=，故应选(D)【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 A【试题解析】 积分域由两部分组成(如图 15-2)设D1=(x，y)0y x2，0x2，D 2=(x，y)0y ，2x2 将D=D1D2 视为 Y 型区域，则 D=(x，y) x ，0y2)，从而 I=F(x，y)dx，故
6、应选(A)【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 交换积分次序的步骤是：由原累次积分的上、下限写出来表示为积分区域 D 的联立不等式，并作出 D 的草图，原积分变成二重积分 f(x，y)dxdy按新的累次积分次序的要求写出新的累次积分表达式由已知积分的上、下限，可知积分区域的不等式表示为：【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 C【试题解析】 在积分区域 D 内， x+y1，所以 ln(x+y)0sin(x+y)x+y，于是 1n(x+y)3dxdy sin(x+y)3dxdy (x+y)3dxdy【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 C【试题解析】 积分区域 D 为：0x
7、，0y2R，见图 15-4在极坐标系下 D 可表示为：0r2Rsin，0 故【知识模块】 二重积分二、填空题6 【正确答案】 负号【试题解析】 二重积分的积分值的符号由被积函数在积分区域内的正负号所确定积分区域 D：x+y1因 0x2+y2(x+ y) 21，故 ln(x2+y2)ln1=0，但又不恒等于零，故 ln(x2+y2)dxdy0【知识模块】 二重积分7 【正确答案】 0【试题解析】 设连续函数 z=f(x，y) 关于 x 为奇函数 (f(x，y)=f(x，y)或关于 x为偶函数(f(x，y)=f(x ，y)，积分域 D 关于 y 轴对称，D 1 表示 D 位于 y 轴右方的部分则有
8、 同理当z=f(x，y)关于 y 为奇函数或偶函数，积分区域 D 关于 x 轴对称也有类似的结论【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 (e2+1)【试题解析】 被积函数的特点含有 x2+y2 的形式，且积分域是以原点为中心的圆环域，选用极坐标计算较方便【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 【试题解析】 由 得交点 A(e，1) 所求平面图形的面积为【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 【试题解析】 积分域 D 为: e xye2x，0x1 曲线 y=e2x，y=e x 与直线 x=1 的交点分别为(1 ，e 2)与(1，e)故【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 f(0，0)【试题
9、解析】 因被积函数 f(x，y)在闭区域 D：x 2+y2t2 上是抽象函数，故无法用先求出重积分的方法去求极限，因此考虑：用中值定理先去掉积分号再求极限；用二次积分化分子为含变上限积分的函数因 f(x，y)在 D：x 2+y2t2 上连续，由积分中值定理可知，在 D 上至少存在一点(，)使 f(x，y)d=f( ，).SD=t2f(，)因(，)在 D：x 2+y2t2 上，所以当 t0 +时，(，)(0，0)于是【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 (1)易见，积分区域 D 是边长为 的正方形，故其面积 SD=2，因为积分区域 D 关于直
10、线 y=x 对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又分别关于 y 轴，x 轴对称；函数 exe x ，e ye y 分别关于x，y 为奇函数，则由二重积分的性质得【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 I 1I 2= p(x)p(y)g(y)f(x)f(y)dxdy，由于 D 关于直线 x=y 对称，所以 I1I 2 又可以写成 I1I 2= p(x)p(y)g(x)f(y)f(x)dxdy ，所以 2(I1I 2)= p(x)p(y)g(y)g(x)f(x)f(y)dxdy 因 g(x)与 f(x)的单调性相同，所以f(x)f(y)g(x)g(y)0，
11、从而知 I1I 20，有 I1I2【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 设 A= f(u，v)dudv，则 A= f(x， y)dxdy，故 f(x，y)=x+ yf(u，v)dudv=x+yA两边求二重积分，则 A=，故 f(x，y)=x+ y【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 (1)由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域=12，它们可表示为 1=(x ，y)0y x2，0x1， 2=(x，y)0y，1x3显然，平面区域 的边界曲线为抛物线 y= x2，上半圆弧 y=与直线 y=0，则 1， 2 也可以写为 1=(x，y) x1，0y ，2=(x，y) 1x ，
12、0y 于是，累次积分 I 交换积分次序后为(2)由累次积分 I 的积分限容易写出其对应的二重积分的积分区域为 =123，其中根据区域 的图形可知， 的边界曲线是由上半圆 y= ，直线 x=0 与抛物线 y=xx 2，组成，故可用不等式表示为 =(x，y)xx 2y ，0x1)于是，累次积分 I 化为另一种先对 y 后对 x 的累次积分 I=01dx f(x，y)dy【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 (1)记 I=0+ dx ，则(2)要解决第二个问题，首先需要弄清楚以下几个要点：xx 0 时，f(x)与 g(x)为等价无穷大 无穷大量的表达形式众多，有一种常用的形式：，此题 x1 ，故
13、考虑用 于是，根据第一问的提示，我们要凑出“ ”这种形式，故令 t21n =u2，即【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 本题看似是二重积分问题，事实上，用代换 t=xy 可将累次积分化为定积分在 01(xy)xydy 中，视 x 为常数，令 t=xy，dt=xdy，当 y 从 0 变到 1 时，t从 0 变到 x，则 01(xy)xydy=0xtt 0xttdt，从而 01dx01(xy)xydy=01 dx0xttdt=01ttdtt1 dx= 01ttlntdt于是也就是要证明 01ttlntdt=01ttdt，移项后就是要证明 01tt(1+lnt)dt=0事实上，t t(1+ln
14、t)dt=etlnt(1+lnt)dt=etlntd(tlnt)=d(etlnt)，故 01tt(1+lnt)dt=etlnt 01=0【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 =f(b，d)+f(a，c)f(a，d)+f(b，c) ，显见 I2(Mm)【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 (1) fxy(x，y)dxdy= abdxcdfxy(x，y)dy=abfx(x，y) cddx=abfx(x，d)f x(x，c)dx=f(x ，d) abf(x ，c) ab=f(b，d)f(a，d)+f(a，c)f(b，c)同理， fyx(x，y)dxdy= cddyabfyx(x，y)dx=f
15、(b，d)f(a，d)+f(a，c)f(b，c)结论成立(2)用反证法设 P0(x0，y 0)D，有fxy(x0，y 0)fyx(x0，y 0)，不妨设 fxy(x0，y 0)f yx(x0，y 0)0由于fxy(x， y)f yx(x， y)=fxy(x0，y 0)f yx(x0，y 0)0由极限的保号性，00，0，当 P(x，y)U(P 0，) 时有 fxy(x，y)f yx(x，y) 0取D0=(x，y) U(P0，)，于是，fxy(x，y)f yx(x，y)dxdy 0dxdy=020由(1)， fxy(x，y)f yx(x，y)dxdy=0，矛盾，故 fxy(x，y)与 fyx(x，y)在 D 上相等【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 一方面，有另一方面，由泰勒公式ex=1+x+ (x0)，有 所以，【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 I= 01ef(x)dx01ef(y) dy= dxdy由对称性，知 I=1【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 于是V(t)单调增加，故【知识模块】 二重积分
