1、考研数学三（二重积分）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设平面区域 D：(x2) 2+(y1) 21，若比较 的大小，则有 ( )（A）I 1=I2（B） I1I 2（C） I1I 2（D）不能比较2 设 m 和 n 为正整数，a0，且为常数，则下列说法不正确的是 ( )（A）当 m 为偶数，n 为奇数时， xmyndxdy 一定为 0（B）当 m 为奇数，n 为偶数时， xmyndxdy 一定为 0（C）当 m 为奇数，n 为奇数时， xmyndxdy 一定为 0（D）当 m 为偶数，n 为偶数时， xmyndxdy 一定为 03 ，
2、其中D=(x，y) (x，y)x 2+y21)，（A）cb a（B） abc（C） bac（D）cab 4 设 D：x+y1，则 (x+y)dxdy= ( )（A）0（B）（C）（D）15 化为极坐标系中的累次积分为 ( )6 设 D 由直线 x=0,y=0,x+y=1 围成，已知 01f(x)dx=01xf(x)dx，则 f(x)dxdy=( )（A）2（B） 0（C）（D）1二、填空题7 (x2+y2)dxdy=_8 交换二次积分次序： =_9 交换二次积分次序： =_10 设 f(x)为连续函数，a 与 m 是常数且 a0，将二次积分 I=0ady0yem(a-x)f(x)dx 化为定积
3、分，则 I=_11 设 f(u)为连续函数，D 是由 y=1，x 2y 2=1 及 y=0 所围成的平面闭区域，则 I=_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 变换下列二次积分的积分次序：13 计算二重积分 ，其中 D 是第一象限中由直线 y=x 和曲线 y=x3 所围成的封闭区域14 计算二重积分 ，其中 D=(x，y)0yx，x 2+y22x15 求二重积分 ，其中 D 是由曲线 y= ，直线 y=2，y=x 所围成的平面区域16 求 ，其中 D=(x，y)0x3，0y1)17 计算 ，其中 a，b018 计算 ，其中 D：x 2+y2119 计算 ，其中 D 由 y=
4、x，x 2+y2=4，y= 所围成20 计算21 设 ，其中 D 为正方形域(x，y)0x1 ，0y1) 22 设函数 f(x)，g(x) 在a，b上连续且单调增，证明： abf(x)dxabg(x)dx(b-a)abf(x)g(x)dx23 计算 minx，y dxdy考研数学三（二重积分）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由二重积分的比较性质，只需比较 D 上(x+y) 2 与(x+y) 3 的大小，即x+y 与 1 的大小从几何的角度也就是考查圆域 D 与直线 x+y=1 的位置关系因积分域 D 的圆心
5、(2，1) 到直线 x+y=1 的距离 d= 1(1 为圆的半径)，故闭域 D 在直线 x+y=1 的上方，即当(x，y)D 时，有 x+y1，从而在 D 上(x+y) 2(x+y) 3，则 I1I 2【知识模块】 二重积分2 【正确答案】 D【试题解析】 令 则对于cosmsinnd，令 =+t，则 cosmsinnd=(1) m(1) n cosmtsinntdt当 m 和 n 中有且仅有一个为奇数时，(1) m(1) n=1，从而积分为零；当 m和 n 均为奇数时， (1) m(1) n=1，从而由于 cosmsinn 为 上的奇函数，故积分为零总之，当 m 和行中至少一个为奇数时， x
6、myn=0故答案选择(D)【知识模块】 二重积分3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 D=(x，y)x 2+y21)，所以(x 2+y2)2x2+y2 1由 cosx在 上单调减少可得 cos(x2+y2)cos(x2+y2)cos 0因此有 cba【知识模块】 二重积分4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 D 关于 x，y 轴都对称，故 ydxdy=0，且有，其中 D1=(x，y)x+y1，x0，y0于是【知识模块】 二重积分5 【正确答案】 A【试题解析】 由 y=1 ，有 x2+(y1) 2=1(y1)，所以，积分区域 D 是圆x2+(y1) 21 的右半圆在直线 y=x 上方的部分
7、，于是，其极坐标形式为f(rcos，rsin)rdr， 其中 D=(r，)0r2sin， 【知识模块】 二重积分6 【正确答案】 B【试题解析】 由 01f(x)dx=01xf(x)dx，有 01(1x)f(x)dx=0 ，于是 f(x)dxdy=01dx01x f(x)dy=01(1x)f(x)dx=0【知识模块】 二重积分二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 令 x=rsin，y=rcos ，则原式= 01dr02(r2sin2+r2cos2)rd=01r3dr02d=2【知识模块】 二重积分8 【正确答案】 04dx f(x，y)dy【试题解析】 由已知可知，所求积分区域为 y= ，
8、x=y 2 所围成的区域，所以【知识模块】 二重积分9 【正确答案】 01dy f(x，y)dx【试题解析】 由已知可知，所求积分区域为 y=1，y= x 2+1，y=lnx 所围成的区域，所以【知识模块】 二重积分10 【正确答案】 0aem(ax) f(x)(ax)dx【试题解析】 被积函数仅是 x 的函数，交换积分次序即可完成一次定积分由二次积分的积分限可知 D 为：0xy，0ya，故 I= 0adxxaem(ax) f(x)dy=0aem(ax) f(x)(ax)dx【知识模块】 二重积分11 【正确答案】 0【试题解析】 因积分域 D 关于 y 轴对称，被积函数 xy(y2)关于变量
9、 x 是奇函数，故 xf(y2)d=0【知识模块】 二重积分三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 (1)如图 15-5 所示，D： 则(2)如图 15-6 所示，D： 则(3)如图15-7 所示，D=D 1+D2，其中故(4)如图 15-8 所示，D： 故【知识模块】 二重积分13 【正确答案】 【知识模块】 二重积分14 【正确答案】 原式=【知识模块】 二重积分15 【正确答案】 【知识模块】 二重积分16 【正确答案】 被积函数：minx，y= 其中D1=(x，y) 0y1，yx3，D 2=(x，y)0y1，0xy所以=01dyy3ydx+01dy0yxd
10、x=【知识模块】 二重积分17 【正确答案】 【知识模块】 二重积分18 【正确答案】 【知识模块】 二重积分19 【正确答案】 y= =(x1) 2+y2=1，y0y=x 与 x2+y2=4 的交点为y=x 与 y= 的交点为(0，0)x 2+y2=4 与 y=的交点为(2，0) 如图 15-9 所示【知识模块】 二重积分20 【正确答案】 则 D=D1+D2：所以【知识模块】 二重积分21 【正确答案】 【知识模块】 二重积分22 【正确答案】 设 I=(b a)abf(x)g(x)dx abf(x)dxabg(x)dx=abdyabf(x)g(x)dx abf(x)dxabg(y)dy= f(x)g(x)dxdy f(x)g(y)dxdy= f(x)g(x)g(y)dxdy其中D：axb，ayb因为 D 关于 y=x 对称，所以 I= f(y)g(y)g(x)dxdy，故2I= f(x)f(y).g(x)g(y)dxdy由 f(x)，g(x) 在a，b上单调递增，得 2I0，即I0，故 abf(x)dxabg(x)dx(ba) abf(x)g(x)dx【知识模块】 二重积分23 【正确答案】 设 a0 ，D a=(x，y) axa ，aya ，则当 a+时，DaD，其中 D=(x，y) x+，y+)，从而【知识模块】 二重积分
