1、考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 14 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 D 是有界闭区域，下列命题中错误的是（A）若 f(x， y)在 D 连续，对 D 的任何子区域 D0 均有D)（B）若 f(x，y) 在 D 可积， f(x，y)0，但不恒等于 0(x，y)D) ，则（C）若 f(x，y) 在 D 连续， ，则 f(x，y)0(x，y)D)（D）若 f(x， y)在 D 连续，f(x ，y)0 (x，y) D)，则2 设 ，其中 D：(x，y)(x-1)2+(y-1)22，则下述结论正确的是（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I
2、 1（C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I13 设 Ii= =1，2，3， 其中，D 1=(x，y)x 2+y2R2， D2=(x，y) x 2+y22R2， D3=(x，y)xR，yR，则下述结论正确的是（A）I 1I 2 I3（B） I2I 3I 1 （C） I1I 3I 2（D）I 3I 2 I14 设 I1= ，其中D=(x，y) x 2+y21，则（A）I 3I 2 I1（B） I1I 2I 3 （C） I2I 1I 3（D）I 3I 1 I25 设 D 是由曲线 y=x3 与直线 x=-1 与 y=1 围成的区域，D 1 是 D 在第一象限的部分，则 =6 设函数 f(x，
3、 y)连续，则二次积分 等于7 设区域 D=(x，y) x+y1 ，D 1 为 D 在第一象限部分， f(x，y)在 D 上连续且 f(x，y)0 ，则 成立的一个充分条件是（A）f(-x，-y)=f(x，y)（B） f(-x，-y)=-f(x ，y)（C） f(-x，y)=f(x，-y)=-f(x，y)（D）f(-x，y)=f(x，-y)=f(x，y)二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设二元函数 z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则 dz (1，0) =_9 求下列复合函数的偏导数：()设 u=f(x，xy)， v=g(x+xy)，且 f 和 g 具有一阶连续偏导
4、数，求 ()设 z= f(xy)+y(x+y)，且 f， 具有二阶连续偏导数，求10 设 f 具有二阶连续偏导数，求下列函数的偏导数与全微分：11 (u， y，z)具有连续偏导数，而 x=rsincos，y=rsinsin，z=rcos () 若，试证明 u 仅为 与 的函数；() 若，试证明 u 仅为 r 的函数12 设 z=z(x，y)是由方程 xy+x+y-z=ex 所确定的二元函数，求13 设函数 u=f(x，y，z)有连续偏导数，且 z=z(x，y)由方程 xex-yey=zez 所确定，求du14 设由方程 (bz-cy，cx-az，ay-bx)=0 (*)确定隐函数 z=z(x，
5、y)，其中 对所有变量有连续偏导数，a ，b， c 为非零常数，且 b1-a20，求15 设 u=f(x， y，z)有连续的偏导数，又函数 y=y(x)及 z=z(x)分别由 exy-xy=4 和16 设 且 f 和 g 具有连续偏导数，求17 设 f(u)有连续的二阶导数且 z=f(exsiny)满足方程 ，求 f(u).18 设函数 f(u，v)具有二阶连续偏导数，且满足 fuu(u，v)=f vv(u，v)，若已知f(x，4x)=x，f u(x，4x)=4x 2，求 fuu(x，4x) ，f uv(x，4x)与 fvv(x，4x) 19 设函数 z=(1+ey)cosx-yey，证明：函
6、数 z 有无穷多个极大值点，而无极小值点20 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售，售价分别为 P1 和 P2；销售量分别为 Q1 和 Q2；需求函数分别为 Q 1=24-02P 1， Q 2=10-005P 2； 总成本函数C=35+40(Q1+Q2)试问：厂家如何确定两个市场的售价，才能使其获得的总利润最大?最大总利润是多少 ?21 求函数 f(x，y)=x 2+8y2-4x2y2 在区域 D=(x，y) x2+4yv4，y0上的最大值与最小值22 设闭区域 D=(x，y) x 2+y2y，x0 ，又 f(x，y) 为 D 上的连续函数，且求 f(x，y)23 设 f(x)是0，1上单调
7、减少的正值连续函数，证明24 求 ，其中 D 是由曲线 x2+4y2=2x+8y-1 围成的平面区域25 交换下列积分的积分顺序：26 设 x=rcos，y=rsin，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，) 中的累次积分：27 设 x=rcos，y=rsin，把极坐标系中的累次积分 改写成直角坐标系中两种积分次序的累次积分28 设 f(x)=29 计算下列二重积分：考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷 14 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 直接指出其中某命题不正确 因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性
8、及相应的积分值，因此命题(B)不正确设(x 0，y 0)是 D 中某点，令f(x，y)= 则在区域 D 上 f(x，y)0 且不恒等于零，但因此选(B)或直接证明其中三个是正确的命题(A)是正确的用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证若 f(x，y)在 D不恒为零 (x0，y 0)D，f(x 0，y 0)0，不妨设 f(x0，y 0)0，由连续性 有界闭区域 D0 D，且当(x，y) D0 时 f(x，y)0，由此可得 ，与已知条件矛盾因此，f(x，y)0 ( (x，y)D)命题(D) 是正确的利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证这是因为 f(x，y) =
9、f(x0，y 0)0，其中(x 0，y 0)是 D 中某点，于是由二重积分的不等式性质得 f(x，y)df(x 0，y 0)0，其中 是 D 的面积命题(C)是正确的若 f(x，y)x 在(x，y)D 上 f2(x，y)0 且不恒等于零由假设 f2(x，y)在 D 连续与已知条件矛盾于是 f(x，y)0 在 D 上成立因此选(B) 【知识模块】 多元函数微积分学2 【正确答案】 A【试题解析】 利用求极值的方法可以得到 (上述不等式也可由图 418 看出)，因此(A)正确【知识模块】 多元函数微积分学3 【正确答案】 C【试题解析】 容易看出：D 1 D2，因此(C)正确【知识模块】 多元函数
10、微积分学4 【正确答案】 A【试题解析】 在积分区域 D=(x，y)x 2+y21上有且等号仅在区域 D 的边界(x，y)x 2+y2=1上与点(0 ，0) 处成立从而在积分区域 D 上有 cos(x2+y2)2cos(x2+y2) 且等号也仅仅在区域 D 的边界(x，y) x 2+y2=1上与点 (0，0)处成立此外三个被积函数又都在区域 D 上连续，按二重积分的性质即得 I3I 2I 1，故应选(A) 【知识模块】 多元函数微积分学5 【正确答案】 A【试题解析】 用曲线段 =(x，y) y=-x 3，-1x0与 x 轴，y 轴将区域 D 分成D1，D 2，D 3，D 4 四个部分(见图
11、419)，于是 D1 与 D2 关于 y 轴对称，D 3 与 D4 关于 x 轴对称由于 xy 对 x 或对 y 均为奇函数，因此 =0又由于 cosxsiny对 x 是偶函数，而对 y 是奇函数，所以综上所述，应选(A)【知识模块】 多元函数微积分学6 【正确答案】 B【试题解析】 设二次积分 ，则积分区域如图 421 D又可表示为 D=(x ，y)0y1，1-arcsinyx，故交换积分次序即得所以选(B)【知识模块】 多元函数微积分学7 【正确答案】 D【试题解析】 (D) 表明 f(x，y)关于 x 是偶函数，关于 y 也是偶函数，故当条件(D)成立时，结论成立(A) 不充分如 f(x
12、，y)=xy，有 f(-x，-y)=xy=f(x，y)，但同样，令 f(x，y)=xy，可知满足(C) 的条件，但，故条件(C)不充分对条件 (B)，令 f(x，y)=xy 2，有 f(-x，-y)=-f(x，y)，但【知识模块】 多元函数微积分学二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 2edx+(e+2)dy【试题解析】 利用全微分的四则运算法则与一阶全微分形式不变性直接计算即得dz=ex+ydx+xd(ex+y)+ln(1+y)d(x+1)+(x+1)dln(1+y)=ex+ydx+xex+yd(x+y)+ln(1+y)dx+(x+1) =ex+ydx+xex+
13、y(dx+dy)+ln(1+y)dx+ 于是 dz (1，0) =edx(dx+dy)+2dy=2edx+(e+2)dy【知识模块】 多元函数微积分学9 【正确答案】 () 由复合函数求导法可得 又 v=g(x+xy，)是一元函数 v=g(x)与 z=x+xy 的复合函数，z 是中间变量，同样由复合函数求导法得()先求 由于 f(xy)是一元函数 f(u)与二元函数 u=xy 的复合，u 是中间变量，(x+y)是一元函数 (v)与二元函数 v=x+y 的复合，v 是中间变量由题设知方便，由复合函数求导法则得【知识模块】 多元函数微积分学10 【正确答案】 () 利用一阶全微分形式不变性与全微分
14、的四则运算法则可得dz=f1d(x2+y2)+f2d(eycosx)=(2xdx+2ydy)f1+(-eysinxdx+eycosxdy)f2=(2xf1-eysinxf2)dx+(2yf1+eycosxf2)dy， zx=2xf1-eysinxf2，z y=2yf1+eycosxf2 从而=zxy=(zx)y=(2xf1-eysinxf2)y=2x(f1)y-eysinxf2-eysinx(f2)y=2x(2yf11+eycosxf12)-eysinxf2-eysinx(2yf21+eycosxf22)=4xyf11+2ey(xcosx-ysinx)f12-e2ysinxcosxf22-ey
15、sinxf2( ) 复合而成的 x，y，z 的三元函数.先求 du(从而也就求得由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得【知识模块】 多元函数微积分学11 【正确答案】 () 按函数的复合关系可得由已知条件即得，所以 u 仅为 和 的函数()设 ，则按函数的复合关系可得所以 u 不依赖于 注意到中间变量 z 不依赖于自变量 ，所以由已知条件知上式右端为 0，所以 u 也不依赖于 ，综上即得 u 仅为 r 的函数【试题解析】 这是三个中间变量、三个自变量的复合函数，变量间的依赖关系如下： 为证明结论()，只需证明【知识模块】 多元函数微积分学12 【正确答案】 将方程两边求全微分后求出出
16、，由出可求得 分别对x，y 求导求得 将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变牲及全微分的四则运算法则，得 ydz+xdy+dx+dy-dz=ezdz，解出 dz= (y+1)dx+(x+1)dy【知识模块】 多元函数微积分学13 【正确答案】 设 F(x，y，z)=xe x-yey-zez，则【知识模块】 多元函数微积分学14 【正确答案】 将方程(*)看成关于 x，y 的恒等式，两边分别对 x，y 求偏导数得由a+ b，可得【知识模块】 多元函数微积分学15 【正确答案】 首先 又由 两边对 x 求导，得【知识模块】 多元函数微积分学16 【正确答案】 利用一阶全微分形式不变性，分别对
17、两个方程求全微分，由第一个方程可得 du=f 1d(x-ut)+f2d(y-ut)+f3d(z-ut) =f1dx+f2dy+f3dz-t(f1+f2+f3)du-u(f1+f2+f3)dt，于是可解得 由第二个方程可得 把所得的 dz 代人 du 表达式的右端，经整理有【试题解析】 在题设的两个方程中共有五个变量 x，y，z，t 和 u接题意 x,y 是自变量，u 是因变量，从而由第二个方程知 z 应是因变量，即第二个方程确定 z 是x，y 的隐函数这样一来在五个变量中 x，y 和 t 是自变量，u 与 z 是因变量【知识模块】 多元函数微积分学17 【正确答案】 令 u=exsiny，则有
18、由已知条件，得 f(u)e2x=e2xf(u)，即 f(u)-f(u)=0 此二阶常系数方程的特征方程是2-1=0，特征根 =1，故 f(u)=C1eu+C2e-u，其中 C1 和 C2 是两个任意常数【试题解析】 z=f(e xsiny)是 z=f(u)与 u=exsiny 的复合函数，由复合函数求导法可导出 与 f(u)，f(u) 的关系式，从而由 导出 f(u)满足的微分方程式，然后解出 f(u)【知识模块】 多元函数微积分学18 【正确答案】 按复合函数求偏导数的法则将恒等式 f(x，4x)=x 两端对 x 求导数得 f u(x，4x)+4f v(x，4x)=1， 把 fu(x，4x)
19、=4x 2 代入上式可得再分别将恒等式 fu(x，4x)=4x 2 与(*)式两端对 x 求导数，并利用 fuu(x，y)=fv(x，y)就有【知识模块】 多元函数微积分学19 【正确答案】 () 先计算()求出所有的驻点由 解得(x，y)=(2n，0) 或 (x，y)=(2n+1)，-2) ， 其中 n=0，1，2， () 判断所有驻点是否是极值点，是极大值点还是极小值点在(2n，0)处，由于则(2n，0)是极大值点在(2n+1) ，-2)处，由于则(2n+1)，-2)不是极值点因此函数 z 有无穷多极大值点 (2n，0)(n=0 ，1，2，)，而无极小值点【知识模块】 多元函数微积分学20
20、 【正确答案】 总收益函数是 R=P1Q1+P2Q2=24P1+10P2- ， 总成本函数是 C=35+40(Q1+Q2)=1395-8P1-2P2，于是，该厂的总利润函数是 L(P 1，P 2)=R-C= +32P1+12P2-1395=-02(P 1-80)2-005(P 2-120)2+605由上式知，厂家应分别按 P1=80，P 2=120 的价格在两个市场上销售该产品，才能获最大利润，最大总利润是 605 【知识模块】 多元函数微积分学21 【正确答案】 首先求 f(x，y)在 D 内其驻点处的函数值令因在 D 内 y0，从而可解出 f(x，y)在D 内有且只有两个驻点 计算可得其次
21、求 f(x，y)在 D 的边界F1=(x，y)x2，y=0上的最大值与最小值把 y=0 代人 f(x，y)的表达式可得 f(x，0)=x 2，不难得出在 1 上 f(x，y)的最小值为 f(0，0)=0 ，最大值为 f(-2，0)=f(2， 0)=4最后求 f(x， y)在 D 的边界 2=(x，y) x 2+4y2=4，Y0上的最大值与最小值把 代入 f(x，y)的表达式可得一元函数=x2+(2-x2)(4-x2)=x4-5x2+8令 h(x)=4x3-10x= =0 可得 f(x，y) 在 2 内共有三个驻点(0 ，1)，函数 f(x，y)在这三个驻点处的函数值分别是又因 f(x，y)柱
22、2 的端点(-2，0)与(2， 0)处的函数值为 f(-2，0)=f(2，0)=4比较即知 f(x，y)在 2 上的最大值为f(01)=8，最小值为 比较以上各值可知f(x，y)在 D 上的最大值为 f(0，1)=8，最小值为 f(0，0)=0 【知识模块】 多元函数微积分学22 【正确答案】 设 =A，在已知等式两边计算区域 D 上的二重积分(图 4 17)，有【试题解析】 在函数 f(x，y)的表达式中含有函数 f(x，y)本身的二重积分，我们曾经遇到过有关定积分的同类问题，可用同样方法求解因二重积分也是一个常数，只要令 =A 即可【知识模块】 多元函数微积分学23 【正确答案】 记 I=
23、 ，则由定积分与积分变量所用字母无关，有其中 d=(X， Y)0X1，0y1 由于积分区域 D 关于直线 y=x 对称，又有由式与式相加，得 由于f(x)单调减少，所以 I0，即又 f(x)取正值，故除(*)式，不等式得证【试题解析】 由于 f(x)是正值函数，故欲证不等式可改写成可将两个定积分的乘积转换成二重积分，并利用积分区域的对称性来证明【知识模块】 多元函数微积分学24 【正确答案】 由于 x2+4y2=2x+8y-1 +(y-1)2=1，故积分区域 D 是xy 平面上以(1，1) 为中心，长短半轴分别为 2 与 1 的椭圆域引入坐标系的平移u=x-1，v=y-1则 D 在 uv 平面
24、上对应区域 D= 且在此利用了 u(v+2)是关于 u 的奇函数，v 是奇函数以及 u2 分别关于 u 与 v 是偶函数，而 D分别关于 u 轴与 v 轴对称，还利用了区域 D的面积是 2，其中 D1 是 D在 uv平面上第一象限的部分区域(如图 420)因为【知识模块】 多元函数微积分学25 【正确答案】 () 先对 x 积分，就是从区域 D 的左侧边界 x=y2 到右侧边界x=y+2两边界线的交点为(1，-1) 与(4，2)，所以区域 D 又可表示为(如图 422) D=(x，y) -1y2，y 2xy+2，故 ()由题中的累次积分的积分限知，积分区域 D 的图形如图 423，它的上侧边界
25、由抛物线 y=x2 与圆 x2+y2=2 构成，二者的分界点为(1，1)，而 D 的下侧边界是 x 轴，D中最左点的横坐标是 x=0，最右点的横坐标是 从而 D 的另一形式的不等式组表示是 D=(x， y)0x1 ，0yx 2(x，y)1x 所以改变积分顺序时需分块进行积分，即【试题解析】 在第() 小题中，累次积分的表示式表明：积分区域 D 由两部分构成，当 0x1 时，区域 D 的下侧边界为 ；当 1x4 时，D 的下侧边界为 y=x-2，上侧边界为其图形为图 422 所示，改变积分顺序，先对 x 求积分，就要把区域 D 的边界表成 y 的函数，即 D 的左侧边界为 x=y2，右侧边界为
26、x=y+2，最后再求出 x=y2 与x=y+2 的两个交点的纵坐标 y=-1 和 y=2，即可将区域 D 表为 D=(x，y)-1y2，y 2xy+2， 由此不难写出新的累次积分第()小题可作类似分析重要的是画出区域的图形，正确表示积分区域的边界，正确表示积分的上、下限【知识模块】 多元函数微积分学26 【正确答案】 () 积分区域 D 如图 424 所示，可见区域 D 位于 的扇形中，且极点在 D 的边界上，D 的边界方程为 r=cos，于是 D 可表示为()积分区域 D 如图 425 所示，可见区域 D 位于 0 的扇形中，且极点在 D 的边界上，D 的上边界方程的直角坐标方程是 x+y=
27、1，从而它的极坐标方程是 ，于是 D 可表示为D=【试题解析】 求解与本例同类问题的步骤是：第一步，画出题设累次积分对应的积分区域 D 的图形；第二步，用极坐标系(r，)中的不等式组表示 D；第三步，按照第二步中结果写出极坐标系中的累次积分【知识模块】 多元函数微积分学27 【正确答案】 积分区域 D 如图 426 所示，可见 D 由直线 x+y=0 与圆x2+y2=2y 围成，且 D 位于直线 x+y=0 的右上侧容易得出直线 x+y=0 与圆x2+y2=2y 的交点为 (0，0)及(-1，1)，从而区域 D 可表示为【试题解析】 求解与本例同一类型问题的步骤是：第一步，画出对应的积分区域D
28、 的图形；第二步，用直角坐标系中两种不同形式的不等式组表示区域 D；第三步，按照第二步中结果写出相应的两种积分次序的累次积分【知识模块】 多元函数微积分学28 【正确答案】 【知识模块】 多元函数微积分学29 【正确答案】 () 交换积分顺序由于 0x1 时，区域 D 的下侧边界为 y=x，上侧边界为 ，其图形为图 428这样，就有()由现有积分限画出积分区域的图形为图 429，这样就有()积分区域如图 430 所示，因此()积分区域D 是三角形，如图 431 所示，交换 x，y 的积分次序，得【试题解析】 本题吊然时二重积分的计算而且已经化成了累次积分，但是都不是初等函数，所以不能先对 y 积分，必须交换积分顺序【知识模块】 多元函数微积分学
