1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 30 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X n 为相互独立的随机变量，S nX 1X n，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X n 【 】（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布2 设总体 XN(， 2)，从中抽得简单样本 X1，X 2，X n，记 则Y1_，Y 2_(写出分布，若有参数请注出)且 【 】（A）Y 1、Y 2 均与 独立（B） Y1、Y 2 均与 不独立（C） Y1 与 独立，而 Y2
2、 未必（D）Y 2 与 独立，而 Y1 未必二、填空题3 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，Y N(2，9)，Z N(2，2)，则 P0XY Z3_( )07734)4 设作一次实验的费用为 1000 元，如果实验失败，则要另外再花 300 元对设备调整才能进行下一次的实验设各次实验相互独立，成功的概率均为 02，并假定实验一定要进行到出现成功为止求整个实验程序的平均费用为_5 对随机变量 X，Y，Z，已知EXEY1， EZ1， DXDY1，DZ4， (X，Y) 0， (X，Z) ， (Y，Z) ( 为相关系数)则 E(XY Z)_，D(XYZ)_，cov(2XY， 3ZX
3、)_6 n 个小球和 n 个盒子均编号 1，2，n，将 n 个小球随机地投入 n 个盒中去，每盒投 1 个球记 X 为小球编号与所投之盒子编号相符的个数，求 E(X)_7 在长为 a 的线段 AB 上独立、随机地取两点 C，D ，试求 CD 的平均长度为_8 设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下) 其中 ， 未知，但已知 EY ，则 _， _，EX_，E(XY)_9 设(X，Y) 在 D： ya(a 0)上服从均匀分布，则 E(X)_，E(Y)_，E(XY)_10 对随机变量 X，Y，已知 3X5Y11，则 X 和 Y 的相关系数为_11 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得容量为 16
4、 的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)_12 设 XF(n，n)且 P(XA)03，则 P(X )_(其中 A 为一常数)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 k 个总体 N(i， 2)(i1，K)相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本：Xi1，X i2，X in，记 Xi ，(i1，k)又记 n 试求 T 的分布14 设从一总体中抽得样本观测值为：5，3，4，5，6，2，5，3试写出其样本经验分布函数 F*()15 从总体 XN(0， 2)中抽得简单样本 X1，X n+m，求 Y 的分布16 设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，p 未知，从 X 中抽得简单
5、样本X1，X n，试求 p 的矩估计和最大似然估计17 设总体的密度为：f() 从 X 中抽得简单样本 X1，X n试求未知参数 的矩估计和最大似然估计18 设总体的密度为：f() 其中 0，而 和 为未知参数从 X 中抽得简单样本 X1，X 2，X n试求 和 的矩估计和最大似然估计19 设总体 X 在区间(，)上服从均匀分布，从 X 中抽得简单样本X1，X n，求 和 (均为未知参数)的矩估计，并问它们是否有一致性20 设总体 X 在区间0，上服从均匀分布，其中 0 为未知参数，而X1，X n 为从 X 中抽得的简单样本，试求 的矩估计和最大似然估计，并问它们是否是 的无偏估计?21 设
6、YlnXN(， 2)，而 X1，X n 为取自总体 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计22 从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1 和 n2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 试证对任意满足 ab1 的常数 a、b，T 都是 的无偏估计并确定 a、b，使 D(T)达到最小23 总体 XN(2， 2)，从 X 中抽得简单样本 X1，X 2试推导 2 的置信度为1 的置信区间若样本值为 18，21，20，19，22，18求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0.9752(6)14449， 0.0252(6)1237，下分位数)24 为了研究施肥和不施肥对某种农作物
7、产量的影响，独立地选了十三个小区在其他条件相同的情况下进行对比试验，得收获量如下表： 设小区的农作物产量均服从正态分布且方差相等，求施肥与未施肥平均产量之差的置信度为 095 的置信区间(t 0.975(11)2201 ，下侧分位数) 25 某种清漆的 9 个样品的干燥时间(小时)为：65，58，7，65，7，63，56，61，5设干燥时间 XN(， 2)，求 的置信度为 095 的置信区间在 (1)06(小时)；(2) 未知两种情况下作(u 0.975196，t 0.975(8)23060，下侧分位数 )26 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S11设炮口速度服从正态分
8、布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间 0.0252(8)2180， 0.9752(8)17535，下侧分位数27 一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数这样做了 n 次以后，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n基于此，求 R 的最大似然估计28 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16 kgmm 2为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平0 05，问改变方法后零件强度的方差是
9、否发生了变化?( 0.9752(8)17535， 0.0252(8)2180，下侧分位数)29 一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0.995(3)58409 ，下侧分位数)30 用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136，135，140 设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在 005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0.975(10)2228，F
10、0.975975(5，5)715，下侧分位数)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 30 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 0.2734【试题解析】 E(XYZ)EXEYEZ4220， D(XYZ)DXDYDZ59216， XYZN(0，16)，故 P0XY Z3 (0) 077340 502734【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 2200(元)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 1； ；3【知识模块】
11、 概率论与数理统计6 【正确答案】 1【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 0；0；0【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 1【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 07【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 由 2(ni1)，i1，2，k 且 相互独立 即T 2(nk) 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 重排为 2，3，3，4，5，5，5，6
12、n8，则【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 N(0，1)，i1，nm ，且诸 Xi 相互独立， 故 又 相互独立， 故 即 YF(n，m)【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 矩估计：EXmp， ，故 ；最大似然估计：似然函数为：故 p 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 矩估计： 最大似然估计：似然函数为 当 1 n0 时，lnL2nlnln( 1 n) ， ， 令 0，解得 故 的最大似然估计为：【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 矩估计： 联立解得 即为 和 的矩估计；最大似然估计：似然函数为 当 时， lnL 关于
13、 单调增，故 时 L 达最大，故 的最大似然估计为 ，而令 0，代 为 ，得 的最大似然估计为 【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 解得矩估计为 即五和 分别是 和 的一致估计【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 为 的矩估计 而 ，即 为 的无偏估计 又，似然函数 当 0 时，随着 的增加 L 在减小，欲使 L 达最大，须 ， 即 的最大似然估计为 而 的分布函数为 的概率密度为： 故 ，可见 不是 的无偏估计【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 令 YilnX i，i1，2， nY 1，Y n 相当于取自总体Y 中的样本似然函数 故 和 2 的最大似然
14、估计分别为 故 EX 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 E(T) (ab) 的无偏估计而 令(DT) a0，解得a ，而 (DT) aa( )20， 可见 D(T)在 a 处取得唯一极值且为极小值，故 时，D(T)最小【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 故 2 的置信区间为： 对 1 095n6，可算得(i2) 2014，故 2 的置信区间为 0 009689，01132【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 设施肥与不施肥的农作物产量分别为总体 X 与 Y，XN( 1， 2)，YN( 2， 2)，题中 n6 ， 33，S 2 32，m7
15、， 30，S y24，1095， 故 1 2 的 置信下限为 置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 可算得 62，n9，005(1)06 时， 的置信下限为 的置信上限为 ； (2) 未知时， 的置信下限为 的置信上限为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设炮曰速度为总体 X，XN( ， 2)， 而 n9，005， 的置信下限为 的置信上限为 210722【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 由题意，总体 X 的分布律为： ， 似然函数为 令0，解得 R ， 故 R 的最大似然估计为 R 【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 设零件强
16、度为总体 X，则 XN(， 2)，检验 H0： 216 2 拒绝域为 这里 0216 2，n9，算得 53， 2 390625， 故(n1) 2180 217535 (n1)，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2)，检验H0： 0 这儿 0326，n4，拒绝域为： 可算得325，S 001，故 可见 ，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设 A、B 方案下的销售量分别为总体 X 和 Y，则 XN( 1， 12)，YN( 2， 22) 先检验 H0： 12 22，拒绝域为 F (n1，m 1)，并 F(n1，m1) 这里算得 S256，S y292，F 06087， 故(n1，m1) F (n1，m1)，接受 H0； 又检验 H0： 1 2， 拒绝域为： ， 这儿 S 而 nm6， 141， 138， 故3，而 接受 H0，即认为用两种方案得到的销售量没有显著差异【知识模块】 概率论与数理统计
