1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 21 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 y=x+sinx，dy 是 y 在 x=0 点的微分，则当 x0 时，( )（A）dy 与x 相比是等价无穷小量（B） dy 与x 相比是同阶无穷小量（C） dy 是比 x 高阶的无穷小量（D）dy 是比x 低阶的无穷小量2 已知 y=y(x)在任意点 x 处的增量 ，其中 是比x( x0)高阶的无穷小，且 y(0)=，则 y(1)=( )（A）（B） 2（C） （D）3 设 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f”(x)0，x 为自变量 x 在点 x0 处的增量，y 与
2、dy 分别为 f(x)在点 x0 处对应的增量与微分，若 x0，则( )（A）0dyy（B） 0 ydy（C） ydy0（D）dyy04 设 f(x)处处可导，则( )二、填空题5 (1)设 y=(1+sinx)x,则 dy|x=_； (2) 设 y=y(x)由方程 2xy=x+y 确定，则dy|x=0=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设曲线 f(x)=xn(n 为正整数)在点(1，1)处的切线与 x 轴相交于点( n，0)，求7 曲线的极坐标方程为 r=a(1+cos )，求该曲线上对应于 处的切线的直角坐标方程8 对数螺线 r=e在(r ，)= 处的切线的直角坐标方
3、程9 求曲线 点处的法线方程10 曲线 点处的法线方程11 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)一 3f(1-sinx)=8x+(x)，其中 (x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小量，且 f(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6 ，f(6) 处的切线方程12 设函数 f(x)在0，2上连续，在 (0，2)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，f(2)=3 ，证明至少存在一点 ，使得 f()=013 设函数 f(x)在区间0， 1上连续，在(0，1)内可导，试证在(0，1)内至少存在一点，使14 设 f(x)在区间0，
4、1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(1)=0证明：至少存在一点 (0，1)，使(1+ 2)(aretan )f()=一 115 设函数 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0)=0，f(1)=1，证明：(1)至少存在一点 (0，1)，使得 f()=1；(2)存在两个不同的点 ，(0，1)，使得 f()f()=116 设 f(x)在a，b(a0)上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明存在， (a，b)使17 设函数 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(x)0，如果存在，证明：(1)f(x)0，x(a，b) ；(2)存在 (a，b)
5、，使得(3)存在与(2) 中 不同的 (a，b)，使得 f()(b2a2)=18 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 g(a)=g(b)=1，f(x)0证明存在 ，(a， b)，使19 设函数 f(x)在区间-1 ， 1上有三阶连续导数，且 f(一 1)=0，f(1)=1，f(0)=0，证明：在(一 1，1) 内至少存在一点 ，使得 f“()=320 设 y=f(x)在(-1 ，1)内具有二阶连续导数，且 f“(x)0，试证：(1)对(-1 ，1)内的任一 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)成立；(2)21 设 f(x)在
6、a，+)上连续，在 (a，+)内可导，且 f(x)k0(k 为常数)，又 f(a)0，证明方程 f(x)=0 在 内有唯一的实根22 已知 f(x)在(一，+)内可导，且求 c 的值23 设 a1， n 为正整数，证明：24 设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a，b)内有界时，函数 f(x)在(a ，b)内也有界25 设 f(x)在区间a，b上连续，在(a，b) 内可导，且 f(a)=f(b)，f(x)不恒为常数，证明：在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f()026 设在区间0，2 上，|f(x)|1，|f”(x)|1证明：对于任意的 x0,2，有|f(x
7、)|227 设 f(x)在( 一，+)内二阶可导，且 f”(x)0， f(0)=0，证明：(x)= 在(一，0)和 (0，+)都是单调增加的28 设函数 f(x)在区间0， +)上连续且单调增加，证明 g(x)= 在0，+) 上也单调增加29 判断函数 的单调性30 求函数 的极值31 设 f(x)= 求 f(x)的极值考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 21 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 dy=(1+cosx)x，所以 dy|x=0=2x，于是故 dy 与x 相比是同阶无穷小量，应选(B)【知识模块】 一元函
8、数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件和微分的定义，知 两端积分 ，得 ln |y|=arctan x+C1，故 y=Cearctanx，令 x=0，得 C=，从而 y=earctanx，即 y(1)=earctan1= ，应选(A)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 由于 f(x) 0，故 f(x0)0，而 dy=f(x0)x，又x0，从而dy0 又 f”(x)0，从而 f(x)单调递增，而 y=f(x 0+x)-f(x0)=f()x，x 0x 0+x，于是y=f()xf(x 0)x=dy，所以应选 (A)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】
9、D【试题解析】 如果令 f(x)=x，则选项(A) 、(C)显然不正确如果令 f(x)=x2，则选项(B)不正确事实上，如果 则对任意正数 M，存在 x0，当 xx 0时，f(x)M f(x)在区间x 0，x 上满足拉格朗日中值定理，从而存在 (x0，x)，使 f(x)=f(x 0)+f()(x 一 x0)f(x 0)+M(x 一 x0)，当 x+ 时，f(x)+ ，故应选(D)【知识模块】 一元函数微分学二、填空题5 【正确答案】 (1)一 dx(2)(ln 2 一 1)dx【试题解析】 (1)应填一 dx因为 dy=de xln(1+sinx)=(1+sinx)xdxln(1+sinx)=
10、所以 dy| x=一 dx (2)应填(ln 2 一 1)dx方程两边求微分得 2 xyln 2(ydx+xdy)=dx+dy 以 x=0 代入原方程得 y=1；以x=0，y=1 代入上式得 ln 2dx=dx+dy，解得 dy| x=0=(ln 21)dx【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 y=nx n-1， y(1)=n，所以曲线 y=xn 在点(1，1)处的切线方程为 y-1=n(x 一 1)，【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 由直角坐标与极坐标的关系，有 x=a(1+cos)cos，y=a(1+cos)sin ，所
11、以【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 对数螺线的参数方程为 可知点 的直角坐标为 ，曲线在该点的切线斜率为 因此所求的切线方程为【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 由公式得切线斜率为【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 由 f(1+sinx)一 3f(1 一 sin x)=8x+(x)，令 x0，得 f(1)一 3f(1)=0，故 f(1)=0又所以 f(1)=2由于 f(x+5)=f(x)，所以 f(6)=f(1)=0，f(6)=f(1)=2故所求的切线方程为 y=2(x 一 6)，即 2x-y-12=0【知识模块
12、】 一元函数微分学12 【正确答案】 因为 f(x)在0 ，2上连续，且 f(1)f(0)f(2)，由介值定理，存在一点 x0(1，2)，使 f(x0)=f(0)=1，在0，x 0上，由罗尔定理，至少存在一点(0， x0) (0，2) ，使 f()=0【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 设 F(x)=f(x)一 f(1)-f(0)arctanx，x0，1，从而 F(x)在0，1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 (0，1)，使 F()=0，即 (1+2)f()= f(1)一 f(0)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 F(x)=ef(x)arctanx，x 0，1，
13、则 由定积分中值定理，存在 ，即 F(x0)=F(1) 显然 F(x)在x 0，1上满足罗尔定理条件，故至少存在一点 (x0，1) (0，1)，使 F()=0，即 (1+ 2)(arctan )f()=一 1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 (1)令 F(x)=f(x)+x 一 1，x0，1，则由已知 F(x)在0，1上连续，且 F(0)=一 1，F(1)=1 根据介值定理，至少存在一点 (0，1)，使得 F()=0，即f()=1 一 (2)根据已知条件，对 f(x)在0， ，1上分别用拉格朗日中值定理，有 将(1)的结论代入，得【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令
14、 F(x)=xnf(x)，在a，b上应用拉格朗日中值定理，则 (a，b)，使 再对 G(x)=xn 在a，b上应用拉格朗日中值定理，则 (a，b) ，使 从而 nn-1=nn-1f()+nf()，即【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 (1)由于 f(x)在a，b上连续，所以 f(a)=又 f(x)0，故 f(x)单调递增，对x(a，b)，有 f(x)f(a)=0 (2) 对函数 g(x)=x2 和 h(x)=axf(t)dt 在a，b上利用柯西中值定理，存在 (a，b) ，使 (3)在a ， 上由拉格朗日中值定理，存在 (a，)，使得 f()=f()( 一 a)，再由(2)的结论可
15、得f()(b2-a2)=【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 对 (x)=exg(x)和 f(x)在a ，b上应用柯西中值定理，则 (a，b)，使 再对 (x)=ex和 f(x)在a ，b上应用柯西中值定理，则 (a， b)，使【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 将 f(x)在 x=0 处展成泰勒公式，当 x=1 时，有上面两式相减得 f“( 1)+f“(2)=6 由f“(x)的连续性知， f“(x)在 2， 1上有最大值 M 和值小值 m，则再由连续函数的介值定理知，至少存在 2， 1(一 1，1) ，使【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 (1)对(一 1，
16、1) 内任一 x0，由拉格朗日中值定理知， (x)(0，1)，使 f(x)=f(0)+xf(x)x)因为 f”(x)在(一 1，1) 内连续且 f”(x)0，所以 f”(x)在(一 1，1)内不变号，即 f(x)单调，故 (x)是唯一的 (2)再由泰勒公式知，存在介于 0 与 x 之间的 ，使【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 在区间 上对 f(x)应用拉格朗日中值定理，有由于 f(a)0，f(x)k0，所以【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由拉格朗日中值定理，有 f(x)-f(x 一 1)=f().1， 介于 x 一 1 与 x 之间当 x 时，故 于是，由题设条件
17、可得【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 对 f(x)=ax 在 上用拉格朗日中值定理，有【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 x0，x(a ，b)，则 f(x)在以 x0， x 为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此有 f(x)-f(x 0)=f()(x-x0)，其中 介于 x0 与 x 之间 因为 f(x)在(a ，b)内有界，即存在 M10，使|f(x)| M 1，x (a，b)，所以 |f(x)|=|f(x)-f(x 0)+f(x0)| |f(x)-f(x0)|+|f(x0)| |f()(b-a)|+|f(x0)| M1(b-a)+|f(x0)|=M， 即
18、 f(x)在(a，b)内有界【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 因 f(a)=f(b)，且 f(x)不恒为常数，所以至少存在一点 c(a，b) ，使f(c)f(a)=f(b)不妨设 f(c)f(a)，则在a，c 上由拉格朗日中值定理，至少存在一点 (a，c) (a，b)，使得【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 对于任意的 x0，2 ，由泰勒公式，有令 y=0 和 y=2，得【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 g(x)=xf(x)-f(x)，g(0)=-f(0)=0 ， g(x)=f(x)+xf”(x)-f(x)=xf”(x)，g(0)=0，当 x0 时 g(
19、z)0，当 x0 时 g(x)0，故 g(0)=0 是 g(x)的最小值，所以当 x0 时，g(x) g(0)=0，从而 (x)0，即 (x)在(一 ，0) 和(0，+)都是单调增加的【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 即 g(x)在 x=0 处是右连续的当 x0 时， 0x又 f(x)在0， +)上单调增加，所以 f(x)f()，从而 g(x)0，故 g(x)在0，+)上单调增加【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 函数 f(x)的定义域为 一，一 1)(0，+) 又当x一 1 时，(x)0，从而 (x)单调增加当 x0 时，(x)0，从而 (x)单调减少【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 令 y=0，得驻点 x=0 和 x=一 1，列表有即函数的极大值为【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 f(0)不存在令 f(x)=0，得f(x)0，当由极限的保号性知， 当 x(0，)时，f(x) f(0)=2；而 x0 时，f(x)单调增加，f(x)f(0)=2从而 f(0)=2 为极大值【知识模块】 一元函数微分学
