1、2014 年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、二、填空题1 若 f(x+y，x-y)=xy+y 2，则 f(x，y)=_2 3 设 y=2x2+ax+3，在 x=1 处取得极小值，则 a=_4 设向量 a=i-j，b=2j+3k，则 ab=_ 5 二、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。6 设有直线 L： 及平面 ：4x-2y+z-2=0，则直线 L( )（A）平行于平面 （B）在平面 上（C）垂直于平面 （D）与平面 斜交7 有且仅有一个间断点的函数为 f(x，y)=( )（A）yx（B） e-xln(x2+y2)（C）（D）arctan(1+|cr
2、y|)8 若复数(a+i) 2 的辅角主值是 2，则实数 a 的值是( )（A）1（B） -1（C）（D）9 =( )（A）1（B） 2（C） 12（D）010 直线 x+y-1=0 与圆 x2+y2=9 相交，所得弦长是( )三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 计算定积分 01(x2+1)3dx12 圆心在抛物线 y2=2x 上，且圆与 x 轴和该抛物线的准线都相切，求此圆的方程13 求解微分方程(y 2-6x)dy+2ydx=014 求函数 z=x2+4xy+9y2-x-3y 的极值15 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，F(x)= ax(t)dt+bx dt，(ax
3、b) 证明 F(x)=0 在(a，b)内有唯一实根16 求 f(x)=x+ 的单调区间，极值，凹凸区间、拐点及渐近线2014 年武汉工程大学专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、二、填空题1 【正确答案】 【试题解析】 2 【正确答案】 0【试题解析】 3 【正确答案】 -4【试题解析】 y=4x+a ，由于 x=1 时，y 取得极小值，所以 y|x=1=4+a=0，即 a=-44 【正确答案】 -2【试题解析】 由题 a=1，=-1，0，b=0，2，3，故 ab=10-12+03=-25 【正确答案】 【试题解析】 二、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。6 【正确答
4、案】 C【试题解析】 由题，直线 L 的方向向量为 s= =-28i+14j-7k=-7(4i-2j+k)，由于 s 与平面 的法向量 n=4，-2 ，1共线，所以直线 L 与平面 垂直，本题选 C7 【正确答案】 B【试题解析】 A 中 f(x，y)=yx 中 x=0，y 为任意实数时，均为函数的间断点； B中只有当 x2+y2=0，即 x=0，y=0 时，f(x ，y)无意义，点(0，0)为函数唯一间断点；C 中 x+y=0 时，函数存在间断点，也有无穷多个间断点；D 中函数对 x，y 的任意取值均有意义且连续，故不存在间断点，本题选 B8 【正确答案】 A【试题解析】 复数 z=a2-1
5、+2ai，由于 z 的辐角主值为 2，则可知其实部为零，虚部为正，即 a2-1=0 日 2a0，即 a=1本题选 A9 【正确答案】 D【试题解析】 显然，当x时，x 2+， =0，本题选 D10 【正确答案】 B【试题解析】 由题，作图，直线与圆交于点 A、B，OM 垂直于 AB 于 M，则|AB|=2|AM|，已知|OM|为 O 到直线 AB 的距离，则 |OM|=故 AB= ，本题选 B三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 12 【正确答案】 由于抛物线上的点到焦点与到准线的距离相等，圆心在抛物线上，即圆心到准线的距离等于圆心到焦点的距离，由题，圆心到准线的距离等
6、于圆的半径，故圆心到焦点的距离等于半径，又圆与 x 轴相切，即切点就是焦点已知抛物线 y2=2x 的焦点坐标为 (12，0) ，故圆心的坐标为(12，1)或(1 2，-1)，半径为1，故圆的方程为(x- )2+(y-1 或(x- )+(y+1)2=113 【正确答案】 原微分方程可化为 2y -6x=-y2，将方程看作关于 z 的一阶线性微分方程，即y2+Cy3，即原微分方程的通解为 x= y2+Cy314 【正确答案】 令 当 x=03，y=01 时，A=zxx=2，B=z xy=4，C=z yy=18，B 2-AC=-200，故点(03，01)为函数极值点，又 A0，故极值点为极小值点，所
7、以函数在点(03，01)处取得极小值，极小值为 z=-0315 【正确答案】 由于 f(x)在a ，b连续，且 f(x)0，所以 F(x)=axf(t)dt+bx dt在a ，b连续，且在(a，b)上可导，又知 F(a)=ba dt0，F(b)=abf(t)dt0，故 F(x)=0 在(a，b)上至少有一实根，又 F(x)=f(x)+ 0 在a，b上恒成立，故 F(x)在a，b上单调减少，综上，F(x)=0 在(a ，b)上有且只有一个实根16 【正确答案】 由由于 f(x)0 在(- ，+)恒成立，故 f(x)在(-，+)单调增加，令 f“(x)=0，得x=0， ，以这些点划分定义区间(-，+)，列表讨论如下：综上，f(x)在(-，+) 上单调增加，无极值点，在(-，-，曲线不存在水平或垂直渐近线，由于 =1，故曲线有斜渐近线 y=x
