1、2014 年浙江专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 当 xx 0 时，若 f(x)存在极限，g(x) 不存在极限，则下列结论正确的是 ( )（A）当 xx 0 时，f(x)g(x)必定存在极限（B）当 xx 0 时，f(x)g(x)必定不存在极限（C）当 xx 0 时，f(x)g(x)若存在极限，则此极限必为零（D）当 xx 0 时，f(x)g(x)可能存在极限，也可能不存在极限2 曲线 y=x3 3x 上切线平行于 x 轴的点是 ( )（A）(0 ，0)（B） (1，2)（C） (一 1，2)（D）(0 ，2)3 函数 f(x)
2、=(x2x 一 2)x 3 一 x的不可导点个数是 ( )（A）3（B） 2（C） 1（D）04 若 f(x= sin(t 一 x)dt，则 f(x)= ( )（A）sinx（B） 1cosx（C） sinx（D）05 微分方程 y 的通解是 ( )（A）arctanxC（B） (arctanxC)（C） arctanxC（D） arctanxC二、填空题6 设 f(x)在( ，) 上连续，且 f(2)=3，则 =_7 设 f(x)= ，则 ff(x)=_8 曲线 y=xln(e )(x0)的渐近线方程是_9 设 y=ln ，则 y x=0=_10 曲线 y= (x0)的拐点是 _11 由曲线
3、 y=x 和 y=x2 所围成的平面图形的面积是_12 将函数 f(x)=sin2x 展开成 x 的幂级数为_13 设(ab).c=1，则(a+b)(b+c).(c+a)=_14 微分方程(1+x)ydx+(1 一 y)xdy=0 的通解为_15 设二阶常系数线性齐次微分方程 y+ay+by=0的通解为 y=C1ex+C1e2x，那么非齐次 yayby=1 满足的条件 y(0)=2，y(0)=1 的解为_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限 17 确定函数 f(x)= 的间断点及类型18 设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求19 在曲线 y=x2 一 x 上求一点 P，使点
4、 P 到定点 A(0，1) 的距离最近20 求21 设 f(sin2x)=cos2x+tan2x，f(0)=0，当 0x1 时，求 f(x)22 根据 a 的取值情况，讨论级数 的敛散性23 求过点 M(1，2，一 1)且与直线 垂直的平面方程四、综合题24 设函数 f(x)= 是连续函数，试求 a，b 的值25 设 =1，且 f(x)0，证明：f(x)x 26 已知 ，求 x 的值2014 年浙江专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 极限运算法则，可以举反例，若 f(x)=x2，g(x)=lnx，则 f
5、(x)= x2=0， g(x)= lnx ，但 f(x).g(x)= x2lnx=0；若 f(x)=2，g(x)=sin =2， 不存在，但 f(x).g(x)=不存在；可见选项 D 正确2 【正确答案】 C【试题解析】 由导数几何意义可知，k 切 =y(x0)=3 3=0，所以切点坐标为(1，一 2)或 (一 1， 2)，即选项 C 正确3 【正确答案】 B【试题解析】 导数定义，f(0)=所以f (0)= =2，f (0)= =2 所以函数 f(x)在 x=0 处不可导；同理，f(1)=所以f (1)= 一 (x2 一 x2)x(x+1)4f (1)= (x2 一 x2)x(x+1) 4，
6、所以函数 f(x)在 x=1 处不可导； f(1)= (x2)x 3 x=0，所以函数 f(x)在 x=1 处可导；综上可知，函数 f(x)共有 2 个不可导点，选项 B 正确4 【正确答案】 A【试题解析】 变限函数求导数，因为 sin(t 一 x)dt sinudu，所以sin(tx)dt= sinudu=0 一 sin(一 x).(一 1)=sim，可见选项 A 正确5 【正确答案】 B【试题解析】 一阶线性微分方程，由通解公式可得 y=ep(x)dx Q(x).ep(x)dxdx+C=.elnxdx+C=(arctanx+C)，可见选项 B 正确二、填空题6 【正确答案】 9【试题解析
7、】 利用连续性求极限， =3f(2)=97 【正确答案】 【试题解析】 求复合函数的表达式，ff(x)= ff(x)=8 【正确答案】 y=x+【试题解析】 计算斜渐近线，设直线 y=ax+b 为所求曲线的渐近线，则 a=lne=1，b=所以，斜渐近线为 y=x+ 9 【正确答案】 -1【试题解析】 求导函数，因为 y=ln ln(1 一 x)一 ln(1+x)所以 y= ，故 y(0)110 【正确答案】 ( )【试题解析】 求曲线的拐点，当 x0 时，y= 令y=0，得 x= ，所以拐点为 ( )11 【正确答案】 【试题解析】 据题意画图，求所围平面图形的面积 S= (xx2)dx=(
8、x2 一12 【正确答案】 ，x(一 ，+)【试题解析】 麦克劳林展式，f(x)=sin 2x= cos2x，又因 cosx=x2n，x (一， +)，所以 cos2x= (2x)2n 即 f(x)=，x(一 ，+) 13 【正确答案】 2【试题解析】 混合积，向量积运算法则，在混合积计算中，如有两向量相同，则混合积为 0因此，(a+b)(b+c).(c+a)=a(b+c)+b(b+c)=ab+ac+bb+bc.(c+a)=ab+ac+bc.(c+a)=(ab).c+(ab).a+(ac).c+(ac).a+(bc).c+(bc).a=(ab).c(bc).a=2(ab).c=214 【正确答
9、案】 lnxy+xy+C=0，C 为任意常数【试题解析】 可分离变量的微分方程，(1+x)ydx+(1 一 y)xdx=0x+lnx+C=y lny，即通解为 y=x+lnxy+C ，C 为任意常数15 【正确答案】 y=4e x【试题解析】 求二阶线性常系数非齐次方程的通解，特征方程为r2+ar+b=0，r 1=1，r 2=2 即(r1)(r 2)=0，r 23r+2=0，故 a=3，b=2所以原微分方程为 y一 3y+2y=1，由于 =0 不是特征方程的根，取 k=0，因此，设特解y*=A，则 (y*)=0，(y *)=0，代入可得 A= ，所以 y*= ，所以 y一 3y+2y=1 的通
10、解为 y=C1ex+C2e2x+ ，再由 y(0)=2，y(0)=1，可得 C1=4，C 2= ，故满足初始条件的特解为 y=4ex三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 (1)间断点为 x=0 和 x=1 =，故 x=0 是第二类无穷间断点； (2)=0 =1x=1 是第一类跳跃间断点 18 【正确答案】 19 【正确答案】 设点 P 的坐标是 (x，x 2 一 x)，则 PA=令 f(x)=x2+(x2 一 x 一 1)2，由 f(x)=2(x一 1)2(2x+1)=0，得驻点 x=1，x= 划分定义域并列表如下：由表可知，函数 f(x)在 x= 处取
11、极小值，且极小值为 f( )结合 f(x)的单调性可知此极小值且为最小值 ，故点 P 的坐标为( )，且最近距离为 所以点 P()即为所求的点20 【正确答案】 =2cot +C，C 为任意常数 21 【正确答案】 f(sin 2x)=cos2x+tan2x=12sin2x+ ，所以 f(x)=12x+(0x1) ，f(0)=0 所以 f(x)=(12x)dx+ dx=xx 2+(1+ )dx=x 2 d(1 一 x)=x 2ln1x+C 再由 f(0)=0 可得 C=0 因此 f(x)= f(t)dt=x 2 一 ln(1 一 x)(0x1)22 【正确答案】 将级数的一般项进行分子有理化，
12、得到 un=所以有 .un=2 (1)当 a 时，由于 收敛，因此级数 收敛；(2)当 a 时，由于发散，因此级数 发散23 【正确答案】 由题意，得已知直线的点向式方程为 所以已知直线的方向向量是(一 1，3，1)，即为所求平面的法向量所以所求平面的方程是一(x 一 1)+3(y 一 2)+(z+1)=0 即 x 一 3yz+4=0 四、综合题24 【正确答案】 当x1 时， x2n=0，所以 f(x)= =ax2+bx；当x1 时，f(x)=；当 x=1 时，f1)= ；当x=1 时，f(1)= ，所以 f(x)= 又因函数 f(x)处处连续，所以 (ax2+bx)=a+b=f(1)， =1=f(1)，因此=a+b=1，即 a+b=1 同理， =1=f(1)，(ax2+bx)=ab=f(1)，因此 =ab=1，即 ab=1 由解得 a=0，b=1 25 【正确答案】 因为函数 f(x)连续且具有一阶导数，故由 =1，得 f(0)=0f(0)= =1由 f(x)的泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+x2， 介于 0 和 x 之间因为 f(x)0，所以 f(x)x26 【正确答案】 设 u= ，则 et=u2+1，e tdt=2udu du=2arctanu =2(arctan= 2arctan 所以 arctan=1，因此 x=ln2
