1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 2 要使 f(x)= 在点 x=0 处连续，应给 f(0)补充定义的数值是( )（A）km（B）（C） lnkm（D）e km3 设 f(x2)=x4+x2+1，则 f(1)=( )（A）1（B） 3（C）一 1（D）一 34 已知 f(x)=(x 一 3)(x 一 4)(x 一 5)，则 f(x)=0 有( )（A）一个实根（B）两个实根（C）三个实根（D）无实根5 已知 f(x)的一个原函数为 cosx，g(x)的一个原函数为 x2，则 fg(x)的一个原函数为( )（A）x
2、2（B） cos2x（C） cosx2（D）cosx6 设 e-x 是 f(x)的一个原函数，则xf(x)dx=( )（A）e -x(x+1)+C（B） -e-x(x+1)+C（C） e-x(1 一 x)+C（D）e -x(x 一 1)+C二、填空题7 设 y=y(x)满足 exy+sin(x2y)=y3，则 y(0)=_8 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_9 =_.10 设 则 f(1)=_11 曲线 在点(1，1，1)处的切线方程为_12 函数 在点(1，2，3)处的全微分是_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 14 15 z=(x+y)exy，求
3、 dz16 17 求 y一(cosx)y=e sinx 满足 y(0)=1 的解18 设 z=xf(x2，xy)，其中 f(u，v)的二阶偏导数存在，求19 求函数 y=xln(x+1)的单调区间，极值及其曲线的凹凸区间20 求幂级数 的收敛域四、综合题21 求曲线 的切线方程及法平面方程22 从(0 ，0) 作抛物线 y=1+x2 的切线，求： (1)由切线、抛物线所围成区域的面积； (2)上述图形绕 y 轴旋转所得的旋转体积23 甲、乙两村合用一变压器(如图)，若两村用同样型号线架设输电线，问变压器设在输电干线何处时，用线最短?五、证明题24 证明函数 f(x)= 在 x=0 处连续，在
4、x=0 处不可导25 证明：当 x一 1 时，江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 2 【正确答案】 A【试题解析】 f(0)=km，选 A 项3 【正确答案】 C【试题解析】 (1) f(x2)=(x2)2+x2+1， f(x)=x 2+x+1 (2)f(x)=2x+1，f( 一 1)=一2+1=一 1， 选 C 项4 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)在3，4连续在(3，4)，可导且 f(3)=f(4)=0， f(x)在3，4满足罗尔定理条件， 故有 f(1)=0(3 14)
5、 (2) 同理 f(x)在4，5满足罗尔定理 有f(2)=0，4 25 综上所述，f(x)=0 在(3，5) 至少有两个实根 (3)f(x)=0 是一元二次方程，至多有两个根，故选 B 项5 【正确答案】 B【试题解析】 (1) f(x)=(cosx)=一 sinx，g(x)=(x 2)=2x， fg(x)=一 sin2x (2)(cos2x)=2cosx(-sinx)=一 sin2x， 选 B 项6 【正确答案】 A【试题解析】 F(x)=e -x， f(x)=F(x)=一 e-x， 原式=xdF(x)=xF(x)-F(x)dx=xe -x 一e-xdx=(x+1)e-x+C 选 A 项二、
6、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 x=0，y=1 ，e xy(y+xy)+cos(x2y)(2xy+x2y)=3y2y代入得 1+0=3y(0)，所以 y(0)=8 【正确答案】 一 4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y| x=1=0，即 4+a=0，故 a=一 49 【正确答案】 1【试题解析】 10 【正确答案】 2【试题解析】 11 【正确答案】 【试题解析】 所给曲线的方程不是参数方程，曲线是空间两张曲面的交线令y=t，则可将曲线的方程化为参数方程 而点，所以，曲线在点 t=1 处的切向量为 T=s=2，1，5，故切线方程为 而法平面方程为 2.(x-1)+1.(y-t)+5
7、.(z-1)=0，即 2x+y+5z-8=012 【正确答案】 一 24dx+12dy+8ln2dz【试题解析】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 14 【正确答案】 设 arctanx=t,x=tant，则：15 【正确答案】 因为 =exy+(x+y)exy.y=(1+xy+y2)exy 所以dz=(1+xy+y2)exydx+(1+xy+x2)exydy16 【正确答案】 17 【正确答案】 这是一阶线性非齐次微分方程，其中 P(x)=一 cosx，Q(x)=e sinx 于是方程的通解为： y=e -P(x)dxQ(x)eP(x)dxdx+C=e-(-cosx)
8、dxesinxe(-cosx)dxdx+C =esinx(esinxe-sinxdx+C)=esinx(x+C) 由 y(0)=1，得 C=1，故所求解为：y=e sinx(x+1)18 【正确答案】 19 【正确答案】 函数的定义域为 (一 1，+) ； 令 y=0，得驻点 x=0 于是函数的曲线恒为凹的曲线弧，即凹区间为：(一 1，+)；又-1x0 时，y0，函数递减；0x+ 时，y0，函数递增，故函数单调递减区间为：(一 1，0)；递增区间为：(0，+)；且函数在x=0 处取得一极小值 f(0)=020 【正确答案】 四、综合题21 【正确答案】 该点为 t=1 时的对应点，所以过该点切
9、线方程的方向向量为 所求切线方程为： 法平面方程为： 即：2x 一 8y+16z 一 1=022 【正确答案】 设切点为(x 0，1+x 02)，k=y=2x 0，则切线方程 y=2x0x，那么1+x02=2x02，所以 x0=1，即切线方程为 y=2x，23 【正确答案】 设变压器所在地 C 距 A 处 x 公里，两村输电线总长为 y，则移项，平方，整理得 1.25x2+6x一 9=0解得 x=12，由于驻点唯一 (负值舍去)故变压器放在距 A 地 12 km处，所需电线最短五、证明题24 【正确答案】 因为所以又 f(0)=0，所以函数 f(x)在 x=0 处连续所以函数 f(x)在 x=0 处不可导25 【正确答案】 令 F(x)= 显然，F(x)在(0，+)上连续由于 F(x)=故 F(x)在(0，+) 上单调递增，于是，当 0x1 时，F(x)F(1)=0，即 又(x 21)lnx(x-1) 2，故(x 21)lnx(x 一 1)2；当 x1 时，F(x)F(1)=0，即 又 x2 一 10，故(x 21)lnx(x 一 1)2综上所述，当 x0时，总有(x 21)lnx(x 一 1)2
