1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 48 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 下列极限求解正确的是( )（A）（B）（C）（D）2 函数 的单调减少区间为( )（A）(一， +)（B） (一，-1) (一 1，+)（C） (0，+)（D）(一， 0)3 定积分 02x1dx=( )（A）0（B） 2（C）一 1（D）14 设 L 为正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，则曲线部分 Lxdy 一 2ydx 的值为( )（A）（B）（C）（D）5 下列结论正确的是( ) （A） 收敛（B） 收敛（C） 收敛（D） 收敛6 设 f(x)=tx2sin2td
2、t，则 f(x)=( )（A）sinx 4（B） 2xsinxZ（C） 2xcosx2（D）2xsinx 4二、填空题7 设 y-“y(x)满足 exy+sin(x2y)=y3，则 y(0)=_8 设函数 y=2x2+ax+3 在 x=1 处取得极小值，则 a=_9 =_。10 微分方程 ycosx-ysinx=1 的通解为_11 设a=1，ab，则 a.(a+b)=_12 曲线 y=2x 与 y=log2x 关于_对称三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 设方程 x2+y2+z2-4z=0 确定 z=z(x，y)，求 14 计算 D：x 2+y22x15 判别 的敛散性16 将 展开成
3、 x 的幂级数17 求 满足 y(一 1)=2 的特解18 已知二阶线性常系数齐次方程的特征方程的根为 r1,2=12i，求此微分方程19 设 求 y及 y20 求曲线 的凹凸区间与拐点四、综合题21 求出满足下列条件的最低次多项式：当 x=1 时有极大值 6，当 x=3 时有极小值222 设曲线 ，过曲线(2，2)点处的切线与曲线 及 y 轴所围成平面图形的面积，并求出平面图形绕 x 轴旋转的旋转体的体积五、证明题23 设函数 f(x)和 g(x)在a，b上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，g(x)0，证明在(a，b)内至少存在一点 使得 f()g()+2f()g()=
4、0.江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 48 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 故区间为(一，一 1)U(一 1，+) 故选B 项3 【正确答案】 D【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 正向圆周 x2+y2=2 在第一象限中的部分，可表示为5 【正确答案】 A【试题解析】 6 【正确答案】 D【试题解析】 利用变上限积分求导法则，f(x)=sinx 4(x2)=2xsinx4二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 x=0，y=1 ，e xy(y+xy)+cos(x2y)(2xy+x
5、2y)=3y2y代入得 1+0=3y(0)，所以8 【正确答案】 一 4【试题解析】 由极值存在的必要条件知：y x=1=0，即 4+a=0，故 a=一 49 【正确答案】 【试题解析】 10 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 1【试题解析】 a.(a+b)=a.a+a.b，又 aba.b=0 ，a.a=a 2=1，所以 a.(a+b)=1+0=112 【正确答案】 直线 y=x【试题解析】 因为函数 y=2x 与 y=lo2g2x 互为反函数，故关于直线 y=x 对称三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。13 【正确答案】 【试题解析】 (1)F=x 2+y2+z2 一 4z，
6、F x=2x，F y=2y,，F z=2z4(2)(3)14 【正确答案】 【试题解析】 (1)画出积分区域 D(2) D 关于 x 轴对称，y 关于 y为奇函数，15 【正确答案】 收敛【试题解析】 这是正项级数， 由比较法非极限形式知 收敛。16 【正确答案】 【试题解析】 17 【正确答案】 【试题解析】 (1) 可分离变量方程18 【正确答案】 y一 2y+5y=0【试题解析】 (1)特征方程：(r 一 12i)(r 一 1+2i)=0，(r 一 1)2 一(2i) 2=0，(r 一 1)2一 4i2=0(i2=一 1)，r 22r+1+4=0，r 22r+5=0 (2)微分方程：y一
7、 2y+5y=019 【正确答案】 【试题解析】 20 【正确答案】 拐点(0，一 1)及 为凹区间，(0，1)为凸区间【试题解析】 (1)定义域( 一，+)(2)得 x=0；y不存在的点为 x=1(3)列表四、综合题21 【正确答案】 对于多项式有两个极值，则该多项式的最低次数为三次不妨设所求多项式为 y=ax3+bx2+cx+d，则 y=3ax2+2bx+c，因为当 x=1 时有极大值 6，当x=3 时有极小值 2，所以 y(1)=6，y(3)=2，y(1)= 一 0，y(3)=022 【正确答案】 五、证明题23 【正确答案】 设 F(x)=f(x)g2(x)，由题设条件知，F(x) 在a ，b上连续，在(a，b)内可导，并且 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔中值定理得，在(a ，b) 内至少存在一点 ，使得 F()=0，即 f()g2(+2f()g()g()=0，由于 g()0，得 f()g()+2f()g()=0
