1、江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 56 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 若 =( )（A）（B） 2（C） 3（D）2 设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则 =( )（A）（B）（C）（D）3 则 k 的值为( )（A）1（B）（C）（D）一 24 下列无穷积分收敛的是( )（A）（B）（C）（D）5 设 y=f(x)为a,b士的连续函数，则曲线 y=f(x)， x=a,x=b 及 x 轴所围成的曲边梯形面积为( )（A） abf(x)dx（B） abf(x)dx（C） ab(x)dx（D） abf(x)dx6 的间断点有( )（A）一个（B）两个
2、 （C）三个（D）0 个二、填空题7 函数 y(0)=_8 设 u=exysinx， =_.9 交换二次积分得 01dx0xf(z，y)dy+ 12dx02-xf(x，y)dy=_.10 幂级数 的收敛半径 R=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 若 f(x)在 x=0 处连续，求 a，b，c.12 求不定积分x 2e-xdx13 求14 求函数 哪一点上的切线与直线 y=x 成 60角?15 u=f(x+y，x 2，ysinx)，求16 求微分方程 xy一 y=x2ex 的通解17 求级数 的和数18 当 k 为何值时，广义积分 收敛?当 k 为何值时，这个广义积分发散?又当 k
3、为何值时，广义积分取得最小值?四、综合题19 设 f(x)在闭区间0，1上连续，在 (0，1)内大于 0，并满足 xf(x)=f(x)+3x2若曲线 y=f(x)与 x=1，y=0 所围成的图形 S 的面积为 2，求 y=f(x)20 设 其中 Dt 是由 x=t、y=t 以及坐标轴围成的正方形区域，函数 f(x)连续(1) 求 a 的值使得 g(t)连续；(2) 求 g(t)21 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资金，销售收入 z(万元)与电台广告费用 x(万元)及报纸广告费用 y(万元)之间的关系有如下公式：z=15+14z+32y 一 8xy 一 2x210y
4、2问：在广告费用不限的情况下，怎样才能达到最优的广告策略?五、证明题22 设 f(x)在1，2上具有二阶导数 f(x)，且 f(2)=f(1)=0，如果 F(x)=(x-1)f(x)，试证明至少存在一点 (1，2)，使 F()=0江苏省专转本（高等数学）模拟试卷 56 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 用变量代换求极限，令，故选 C 项2 【正确答案】 B【试题解析】 故答案为 B 项3 【正确答案】 B【试题解析】 根据结论：4 【正确答案】 B【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 对于在a，b上函数 f(x)有时
5、取正值，有时取负值，所以求面积时f(x)要带上绝对值6 【正确答案】 B【试题解析】 其定义域为 x3，间断点为 x=4，x=5 二、填空题7 【正确答案】 8 【正确答案】 e xy(ysinx+cosx)【试题解析】 9 【正确答案】 01dyy2-yf(x,y)dx10 【正确答案】 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。11 【正确答案】 因为 f(x)在 x=0 处连续，所以 f(0 一 0)一 f(0+0)=f(0)，得：b=ce -4=1 所以 c=e4,b=1，a 为任意实数12 【正确答案】 x 2e-xxdx=一x 2d(e-x)=一 x2e-x=+2dx=一 x2e-x2
6、xd(e x)一一 x2e-x 一2xe-x 一 2e-x+C13 【正确答案】 14 【正确答案】 设切线斜率为 k20，y=xk 1=115 【正确答案】 16 【正确答案】 原方程化为：17 【正确答案】 对上式两边求导得：对上式两边再次求导，得：于是，对上式两边取 x=1，得18 【正确答案】 当 k1 时，即，当 k1 时，广义积分 收敛；当 k1 时，广义积分发散令f(k)=0，得驻点 但当 kk 0 时，f(k)0；当 kk 0 时，f(k)0，所以，当 k=k0= 时，广义积分取极小值，也就是最小值四、综合题19 【正确答案】 由 xf(x)=f(x)+3x2，可得20 【正确
7、答案】 如图，画出积分区域，则21 【正确答案】 广告策略最优，即要求公司通过做广告，获得的利润最大因利润函数：L(x， y)=R(x，y)一 C(x，y)=15+14x+32y 一 8xy 一 2x210y2 一(x+y)=15+13x+31y 一 8xy 一 2x2 一 10y2又 Lxx(x，y)=一4，L xy(x，y)=一 8，L yy(x，y)=一 20，故 B2 一 AC=64 一(一 4)(一 20)=一160又 A=一 40，于是点 (075，125)为极大值点，也是最大值点即广告费用为 075 万元，报纸广告费用为 1.25 万元时，才能达到最优广告策略五、证明题22 【正确答案】 设 G(x)=F(x)一(x-2)f(1)，则 G(x)在1，2上连续，在(1，2)内可导，而 G(1)=f(1)，G(2)=f(2)， 于是由 f(2)=f(1)=0 知 G(1)=G(2) 由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点 1 使 G1(1)=0，即 F(1)=f(1) 又由 F(x)=f(x)+(x 一 1)f(x)知F(1)=f(1) 显然 F(x)=f(x)+(x 一 1)f(x)在1， 1上满足罗尔定理条件 于是在(1， 1)内至少有一点 使 F;()=0， 即在(1，2)内至少有一点 使 F()=0
