1、河南省专升本（高等数学）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)= 的定义域为 ( )（A）x0，x-3（B） x0（C） x-3（D）x-3 且 x02 下列各对函数中相同的是 ( )（A）y= ，y=x+4（B） y= ，y=x（C） y=lgx4，y=4lgx（D）3 当 x时，f(x)= ( )（A）是无穷小量（B）是无穷大量（C）有界，但不是无穷小量（D）无界，但不是无穷大量4 f(x)= 的第二类间断点个数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）35 设 f(x)= 在 x=1 处连续且可导，则 a，b 的值分别为
2、( )（A）a=-2，b=-1（B） a=-2，b=1（C） a=2，b=-1（D）a=2 ，b=16 下列函数在 x=0 处可导的是 ( )（A）y=3sinx （B） y=3lnx（C） y=5x（D）y=6cosx7 下列函数在1，e上满足拉格朗日定理的是 ( )8 y=x3(x-2)的拐点的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）无拐点9 y=2+ 的渐近线 ( )（A）只有水平渐近线（B）只有垂直渐近线（C）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D）无渐近线10 下列函数中是同一函数的原函数的是 ( )（A）lgx 3，lg3x（B） arccosx，arcsinx（C） sin2x
3、， sin2x（D）cos2x ，2cos 2x11 设 ，且 f(0)=1，则 f(x)= ( )（A）e 3x（B） e3x+1（C） 3e3x（D）12 下列广义积分收敛的是 ( )13 设 f(x)在a，b上连续，则 f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的平面图形的面积等于 ( )14 直线 与平面 4x-2y-2z-3=0 的位置关系是 ( )（A）直线与平面垂直（B）直线与平行平面（C）直线与平面斜交（D）直线在平面内15 方程 x2+y2=3z2 在空间直角坐标系下表示的是 ( )（A）柱面（B）椭球面（C）圆锥面（D）球面16 = ( )（A）2（B） 0（C） （D
4、）-217 设 z=xy，则 dz (2,1)= ( )（A）dx+dy（B） dx+2ln2dy（C） 1+3ln2（D）018 z=f(x，y)在点(x 0，y 0)处的两个偏导数都存在，则 ( )（A）z=f(x，y)在(x 0，y 0)处可微（B） z=f(x，y)在(x 0，y 0)处连续（C） z=f(x，y)在(x 0，y 0)处不连续（D）和在(x 0，y 0)处是否连续无关19 y=ln(1+x2)的凸区间为 ( )（A）(-，-1)（B） (-1，1)（C） (1，+)（D）(-，-1)(1，+)20 (x0，y 0)=0， (x0，y 0)=0 是函数 f(x，y)在点(
5、x 0，y 0)取得极值的 ( )（A）无关条件（B）充分条件（C）充要条件（D）必要条件21 函数 z=2x3-3y2-6x+6y+1 的极值点为 ( )（A）(1 ，1)（B） (-1，1)（C） (1，1) 和(-1，1)（D）(0 ，0)22 设 D=(x,y)x 2+y29)，则 dxdy= ( )23 设 I= f(x，y)dy，交换积分次序后，I= ( )24 设 L 由沿圆周 x2+y2=2x 的上半部分和 x 轴闭区域边界正方向围成，则L2exsinydx+(2excosy+x)dy= ( )（A）（B）（C）（D）不存在25 若 收敛，则下列级数必收敛的是 ( )26 若
6、a 为常数，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 a 有关27 下列级数中为条件收敛的是 ( )28 xy-2y=x3+x 的通解为 ( ) 29 y+y=cosx 的特解应设为 ( )（A）x(acosx+bsinx)（B） x2(acosx+bsinx)（C） acosx+bsinx（D）acosx30 y-6y+8y=0 的通解为 ( )（A）C 1e2x（B） C1e4x（C） C1e2x+C2e4x（D）e 2x+e4x二、填空题31 设 f(ex)=e2x+ex+1，则 f(x+1)=_32 设 =6，则 a=_33 设函数 y=y(x)由方程 ln(
7、x2+y)=x3y+sinx 确定，则 =_34 曲线 y= 的渐近线有_35 曲线 y=xe3x 的拐点坐标是_36 设 a=3 -21，b=p-4-5 已知 ab，则 ab=_37 设 z=xexy，则 =_38 设曲线 C：x 2+y2=1 取逆时针方向，则曲线积分 =_39 通解为 y=C1ex+C2 的二阶常系数齐次微分方程是 _40 幂级数 的和函数 s(x)=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。41 42 设 y=43 求44 设 f(x)= 求45 设 z=f(x2-y2，tanxy ，其中 f 可微，求46 计算二重积分 xy2dxdy，其中 D 是由 y2=2x，x=1
8、 所围成的平面区域47 把函数 f(x)=ln(2-x)展开成 x 的幂级数，并写出收敛区间48 若 f(x)满足：f(x)+ =x2，求 f(x)四、综合题49 已知某工厂生产甲、乙两种产品，当产量分别为 x，y 单位时，总成本函数C(x，y)=x 2+2xy+3y2+2，若设两种产品销售价格分别为 4，8，且生产的产品能全部售出，求使该厂取得最大利润时两种产品的产量及最大利润50 过曲线 y=x2(x0)上某点 A 作切线，若过点 A 作的切线，曲线 y=x2 及 x 轴围成的图形面积为 ，求该图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积 V五、证明题51 设 f(x)在区间0，1上连续，在区间
9、 (0，1)内可导，且(0)=1，f(1)=0，求证：在(0，1)内至少存在一点 ，使得 f()+f()=0河南省专升本（高等数学）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 使函数有意义，需 lg(4+x)0 且 x0，即 4+x1 且 x0，所以 x-3且 x02 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，第一个函数的定义域为 x4，第二个函数的定义域为全体实数；对于 B，第一个函数值域为 y0，第二个函数值域为全体实数；对于 C，第一个函数的定义域为 x0，第二个函数的定义域为 x0；对于 D，两个函数的定义域、值域、
10、对应法则都相同，所以选 D.3 【正确答案】 A【试题解析】 当 x时， 是无穷小量，而 是有界变量，所以当 x时，f(x)= 是无穷小量4 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)= 有三个间断点，分别为-1，0，1，因为=，所以 x=-1 是垂直渐近线；又=0，所以 x=1 不是渐近线；又=-1，所以 x=0 不是渐近线；又因为=1，y=1 是水平渐近线5 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)在 x=1 处连续，所以，所以 a+b=1； 又因 f(x)在 x=1 处可导，所以 ，整理 =2，利用洛必达法则得 a=2，所以 b=-16 【正确答案】 D【试题解析】 对于 D，从 y=6
11、cosx图象能看出在 x=0 处切线为 y=6，所以y= 6cosx在 x=0 处可导7 【正确答案】 D【试题解析】 对于 D，y= 在1，e上连续，在 (1，e) 内可导，所以满足拉格朗日定理8 【正确答案】 B【试题解析】 y=3x 2(x=2)+x3=4x3-6x2，y=12x 2-12x=12x(x-1)，当 x0 时，y0；当 01 时，y0 ；所以(0，0)，(1，-1)为拐点9 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =3，所以 y=3 为水平渐近线；又因=+，所以 x=0 为垂直渐近线10 【正确答案】 D【试题解析】 同一个函数的原函数只相差一个常数，所以选 D.11 【正确答
12、案】 A【试题解析】 对于 ，两边同时求导，得 f(x)= f(x)，整理得， =3dx，所以 f(x)=Ce3x，又因为 f(0)=1，所以 C=1，即 f(x)=e3x12 【正确答案】 D【试题解析】 对于 D， ，所以选 D.13 【正确答案】 D【试题解析】 根据定积分的几何意义，知应选 D.14 【正确答案】 B【试题解析】 直线的方向向量为 =2，7，-3，平面的法向量为 =4，-2，-2，因 =24+7(-2)+(-3)(-2)=0，故这两个向量垂直，即直线与平面平行或重合，又直线过定点(-3，-4，0)不在平面上，所以直线与平面平行，故选 B.15 【正确答案】 C【试题解析
13、】 根据二次曲面的特点知，x 2+y2=3z2 为圆锥面16 【正确答案】 D【试题解析】 17 【正确答案】 B【试题解析】 z x=yxy-1，z y=xylnx，所以 dz=yxy-1x+xylnxdy，所以 dz (2,1)=dx+2ln2dy18 【正确答案】 D【试题解析】 对于二元函数 z=f(x，y) ，偏导数在点 (x0，y 0)处存在与在该点处连续没有关系19 【正确答案】 D【试题解析】 y= ，所以 x-1 或 x120 【正确答案】 A【试题解析】 根据二元函数极值的性质，知应选 A.21 【正确答案】 B【试题解析】 令 =6x2-6=0， =6-6y=0，得驻点为
14、(1，1)，(-1，1) 设 P(x，y)= =72x，把点(1，1)代人 P(x，y)，得 P(1，1)=720，所以在点(1，1)处没有极值；又 P(-1，1)=-7222 【正确答案】 A【试题解析】 区域 D 化为极坐标的形式得 D：(r，)02,0r3)， 所以23 【正确答案】 A【试题解析】 如第 23 题图所示，积分区域 D 还可表示为： (x，y)0y4 ， xy， 故积分，交换积分次序后为： I= ，所以选 A24 【正确答案】 C【试题解析】 2exsinydx+(2excosy+x)dy= (2excosy+1-2excosy)dxdy= dxdy=25 【正确答案】
15、D【试题解析】 例如， 收敛，对于 A，发散；对于 B，发散；对于 C，发散，所以选 D.26 【正确答案】 A【试题解析】 ，根据 P 级数的特点，因为 绝对收敛，所以 绝对收敛27 【正确答案】 D【试题解析】 对于 A，因 =1，所以 发散；对于 B，因=，所以 发散； 对于 C，因 ，根据 P级数的特点知该极数收敛，所以 绝对收敛；对于 D，发散，但 收敛，所以 为条件收敛故选 D28 【正确答案】 C【试题解析】 令 u=y，则 u=y，原方程可化为 u-2. =x2+1，解得 u=y=x3-x+C1x2，两边积分得 y=29 【正确答案】 A【试题解析】 y+y=cosx 化为标准
16、形式为 y+y=e0x(cosx+0.sinx)，其特解的形式为y=xke0x(acosx+bsinx)，其齐次方程的特征方程为 r2+1=0，解得 r=0i，又 0+i 是一个特征根，所以 k=1，即特解应设为 y=x(acosx+bsinx)30 【正确答案】 C【试题解析】 原方程的特征方稗为 r2-6r+8=0特征根为 r1=4，r 2=2所以通解为y=C1e2x+C2e4x二、填空题31 【正确答案】 x 2+3x+3【试题解析】 令 t=ex，f(t)=t 2+t+1，从而 f(x+1)=(x+1)2+(x+1)+1=x2+3x+332 【正确答案】 -1【试题解析】 因 x0 时
17、，函数的分母以 0 为极限，从而要使极限为 6，应使分子以 0 为极限，故 1+a=0，即 a=-133 【正确答案】 1【试题解析】 方程两边对 x 求导，得 (2x+y)=3x2y+x3.y+cosx，因当 x=0 时，y=1，故 =cos0=134 【正确答案】 y=0 及 x=-1【试题解析】 因 =0，故曲线有水平渐近线 y=0；又 =，故曲线有垂直渐近线35 【正确答案】 【试题解析】 因 y=e3x+x.3e3x=(1+3x)e3x，y=(6+9x)e 3x，令 y=0，得 x= ，且x 时，y 时，y0，故曲线的拐点为36 【正确答案】 14,14，-14【试题解析】 因 ab
18、，于是有 3P+8-5=0，从而 p=-1，即 b=-1，-4，-5，故ab= =14i+14j-14k=14，14，-1437 【正确答案】 (2x+x 2y)exy【试题解析】 因 =exy+xyexy=(1+xy)exy故 =xexy+(1+xy)xexy=(2x+x2y)exy38 【正确答案】 -2【试题解析】 39 【正确答案】 y-y=0【试题解析】 由题设知特征根为 r1=0，r 2=1，故特征方程为 r2-r=0 所以该二阶常系数齐次微分方程为 y-y=040 【正确答案】 x 33e-x【试题解析】 =x3e-x 即和函数 5(x)=x3e-x三、解答题解答时应写出推理、演
19、算步骤。41 【正确答案】 42 【正确答案】 两边取对数得，lny= ，两边对 x 求导得 43 【正确答案】 +C.44 【正确答案】 45 【正确答案】 令 u=x2-y2，v=tan(zy) ，则有 46 【正确答案】 积分区域如第 51 题图所示，47 【正确答案】 因为 f(x)=ln(2-x)=ln2(1- )=ln2+ln(1- )， 又 ln(1-x)= ， x-1，1) 所以 ln(2-x)=ln2- ，x-2，2)48 【正确答案】 原式两边求导得 f(x)+2f(x)=2x，这是一阶线性微分方程，它对应的齐次微分方程的通解为 y=Ce-2x，设 f(x)+2f(x)=2
20、x 的通解为 y=C(x)e -2x，则y=f(x)=C(x)e-2x-2C(x)e-2x， 代入微分方程得，C(x)e -2x=2x，即 C(x)=2xe2x， 所以C(x)=2xe2xdx=xe2x- e2x+C 故微分方程的通解为 f(x)=x- +Ce-2x，把初始条件 f(0)=0代人得 C= 所以所求函数 f(x)=x-四、综合题49 【正确答案】 由题意，设利润函数为 L(x，y)，则 L(x，y)=4x+8y-C(x ，y)=4x+8y-x2-2xy-3y2-2 又A=Lxx(x，y)=-2，B=L xy(x，y)=-2 ，C=L yy(x，y)=-6 在点(1，1)处，B 2-AC=(-2)2-(-2)(-6)=-8，且 A=-250 【正确答案】 如第 55 题图所示，设 A 点坐标为 (x0， )，由 y=2x，得切线方程为 y- =2x0(x-x0)，由已知 ，所以x0=1， y0=1，切线方程为 2x-y-1=0，切线与 x 轴交点为 ( ，0)，于是 V=(立方单位)五、证明题51 【正确答案】 设 F(x)=xf(x)，很明显，F(x)在0 ，1 上连续，在(0，1)内可导，又 F(0)=0，F(1)=1.f(1)=0，所以在(0，1)内至少存在一点 ，使得F()=0，即 f()+f()=0
