1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设函数 ，则 f(0) ( )（A）0（B）不存在（C） 1（D）12 若 ( )（A）（B）（C） 2（D）43 设函数 f(x)的一个原函数为 sin2x，则f(2x)dx ( )（A）cos4x+c（B） cos4x+c（C） 2cos4x+c（D）sin4x+c4 设 f(x)=g(x)，则 f(sin2x)= ( )（A）2g(x)sinx（B） g(x)sin2x（C） g(sin2x)（D）g(sin 2x)sin2x5 设直线 L 的方程为 ，则 L 的参数方程 ( )
2、（A）（B）（C）（D）二、填空题6 设 f(x)在( ，) 上连续，且 f( )=3，则=_7 曲线 y= 的垂直渐近线为_，水平渐近线为_8 已知函数 (x)= tcos2tdt，则 ( )=_9 函数 f(x)=x 一 的单调减区间是_10 +x)=_11 设函数 f(x)具有四阶导数，且 f(x)= ，则 f(4)(x)=_12 已知 y=xarctanx，则 dy=_13 曲线 tan(x+y+ )=ey 在点(0 ，0)处的切线方程为_14 已知级数 an=_15 设 y=x5+2x+1，其反函数为 x=(y)，则 _三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 设函数
3、y=y(x)，由参数方程 所确定，求 18 已知函数 求 f(x)19 计算函数 f(x)x+ 的凹凸区间和拐点20 计算不定积分： dx21 22 过点 M(1，2，一 1)且与直线 垂直的平面方程23 根据 a 的取值情况，讨论级数 的敛散性问题四、综合题24 已知函数 f(x)= 处处连续且可导，求常数 a，b25 设 a0， b0，ab，证明不等式 ap+bp2 1p (a+b)p(p1)26 设 f(x)在区间a，b上连续，且 f(x)0，F(x)= dt，xa，b(1)证明 F(x)2(2)方程 F(x)=0 在区间(a，b)内有且仅有一根浙江专升本（高等数学）模拟试卷 5 答案与
4、解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 导数定义，f(0)= =1，故选项 D 正确2 【正确答案】 B【试题解析】 因1所以3 【正确答案】 A【试题解析】 因为f(x)dx=sin2x+c，所以 f(x)=2cos2xf(2x)+C=cos4x+C4 【正确答案】 D【试题解析】 因为f(sin 2x)=f(sin2x).2sinx.cosx=f(sin2x)sin2x=g(sin2x)sin2x5 【正确答案】 A【试题解析】 据题意可知，直线 L 的方向向量为 S= =2ij3k，且过点(1 ，1，1) ，故可以写出直线 L 的参
5、数方程为 ，可见选项 A 正确二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 f( )，因而原极限为 7 【正确答案】 x=1 y=0【试题解析】 因为 =0 故 x=1 是曲线 y=的垂直渐近线，y=0 是曲线 y= 的水平渐近线8 【正确答案】 0【试题解析】 变限函数求导，(x)=xcos 2x，所以 ( )=09 【正确答案】 (0， )【试题解析】 f(x)=1 ，由 f(x)0 得 2 10 0x10 【正确答案】 -50【试题解析】 =5011 【正确答案】 【试题解析】 f(x)= (x)= f(4)(x)=12 【正确答案】 x arctanx( )dx【试题解析】 对数求导法，两
6、边取对数 lny=arctanxlnx 两边同时对 x 求导，lnxarctanx. y=y dy=xarctanx( )dx13 【正确答案】 2x+y=0【试题解析】 利用隐函数求导在方程 tan(x+y+ )=ey 两边同时对 x 求导(1+y)sec2(x+y+ )=yeyy= =2，曲线tan(x+y+ )=ey 在点(0，0)处切线方程为 y0=2(x0)即 y=2x14 【正确答案】 8【试题解析】 因为 a2n1 =a1+a3+a2n1 +=5； (一 1)n 1.an=a1a 2+a3a 4+a2n1 a 2n+=2； 所以 (1)n 1an=815 【正确答案】 【试题解析
7、】 y=x 5+2x+1，其反函数为 x(y)，由于反函数的定义域是原函数的值域，当反函数 x=(y)中 y=1 时，在原函数 y=x5+2x+1 中 x=0 而y=5x4+2 y x=0=2 原函数的导数与反函数的导数互为倒数，故三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 17 【正确答案】 据题意，x=t 2t， =2t+1 同理，方程 ey+y=t2 两边对 t 同时求导得18 【正确答案】 由 f(x)=f(0)=0 知，函数 f(x)在 x=0 处连续 当x0 时，f(x)=2xarccot 当 x0 时，f(x)= ln2=0，因此 f(0)=0 故 f(x)=19
8、【正确答案】 令f(x)=0，得 x=0，当 x1 或一 1x0 时，f(x)0；当 0x1 或 x1 时，f(x)0，所以函数 f(x)的凹区间为(1，0)，(1，)；凸区间为(0，1)，(一，1)，拐点为(0 ，0)20 【正确答案】 dx=sec2x.secxdx=secxdtanx=secx.tanxtanxdsecx=secx.tanxtan 2x.secxdx=secxtanx(sec 2x1)secxdx=secxtanxsec 3xdxsecxdx=secxtanx sec 3xdxln secxtanx 因而：dx= (secx.tanx+lnsecx+tanx)+C21 【
9、正确答案】 22 【正确答案】 平面 x1z 的法向量为：n 1=1，0，1；平面 y=3z 一 1 的法向量为 n2=0，1，3则两平面的交线的方向向量s=n1n2= =i+3j+k，故所求的平面方程为(x1)3 (y2) (z 1)=0，即 x 一 3y 一 z4=023 【正确答案】 由于 而当 n时，(1)当 a 1 时， 收敛，故收敛 (2)当 a 1 时， 发散，故发散四、综合题24 【正确答案】 当 x1 时，f(x)=x2 当 x1 时，f(x)=ax+b 当 x=1 时，f(x)= 所以函数 f(x)=由函数 f(x)处处连续知 f(x)在 x1 处连续，所以(ax+b)=a
10、+b=f( 一 1)= ， x2=1 故a+b=1 又由函数 f(x)处处可导知 f(x)在 x1 处可导，所以所以由 f ( 1)f (1)可知 a2 将 代入 中，求得 b125 【正确答案】 要证 ap bp2 1p (a+b)p，只需证 所以令 f(x)=xp，p 1， x0，则 f(x)=pxp1 0，f(x)=P(P 一 1)xp2 0 所以 f(x)曲线图形在x(O，+)上是凹的 所以由曲线凹的定义可知，对任意的 a0，b0，ab ，都有f 即 ，故 apb p2 1p (a+b)p(p1) 26 【正确答案】 由于 f(x)0，在区间a ，b上成立，则有：(1)F(x)=f(x)+=2 (2) 由于 F(a)= f(t)dt，即 F(a)F(b) 0，则由零点定理，方程 F(x)=0 在区间 (a，b)内至少有一个根又 F(x)=f(x)+ 0，则 F(x)在(a，b)内单调递增，综上，方程 F(x)=0 在区间(a，b)内有且仅有一根
