1、浙江专升本（高等数学）模拟试卷 8 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=x2esinx ，x(一 ，+)是 ( )（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数2 下列选项中可作为函数 f(x)在点 x0 处的导数定义的选项是 ( )（A） f(x 0)(nN )（B）（C）（D）3 设 f(x)是连续函数，f(x)0，F 1(x)，F 2(x)是 f(x)的两个不同的原函数，则必有 ( )（A）F 1(x)+F2(x)=C（B） F1(x).F2(x)=C（C） F1(x)=CF2(x)（D）F 1(x)一 F2(x)=C4 下列
2、级数绝对收敛的是 ( )（A）（B）（C）（D） (k 为正数)5 求微分方程 xyylny=0 的通解是 ( )（A）y=e cx（B） y=cx（C） y=ln(cx)（D）y=x+c二、填空题6 已知函数 f(x)连续，且 =1，则 f(0)=_7 设函数 y=(1+x2)arctanx，则 y=_8 已知函数 y=f( )，f(x)=arcsinx 2，则 _9 设函数 f(x)在点 x0 处可导，且 4，则 f(x0)=_10 曲线 y=(2x 一 1) 的斜渐近线方程为 _11 _12 已知微分方程 y+ay=ex 的一个特解为 y=xex，则 a_13 已知 y=y(x)由方程
3、x eu2 du=0 所确定，则 dy x=0_14 函数 f(x)=(x5) 的拐点坐标为_15 设(ab).c=2，则(a+b)(b+c).(c 一 a)_ 三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 求极限17 设函数 y=y(x)是由参数方程 (t2n，n Z)所确定，求 18 求曲线 y=(x+1)(x1 的凹凸区间和拐点19 计算不定积分20 设函数 (x)满足关系式： etdt=xex，计算极限 (x)21 计算瑕积分 ln(1 一 x2)dx22 设 k0，讨论函数 f(x)=lnx 一 +k 在(0 ，+)内零点的个数23 讨论级数 的敛散性四、综合题24 已知函数 f(x)
4、在闭区间0 ，c上可导，f(0)=0，且 f(x)单调递减，证明：当0aba+bc 时，有 f(a+b)f(a)+f(b)25 已知函数 f(x)可积，在 一 T，T上为奇函数，且是以 T 为周期的函数，试证：f(t)dt 也是以 T 为周期的函数26 求函数 I(x)= dt 在区间2，e上的最大值和最小值浙江专升本（高等数学）模拟试卷 8 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)=x 2esinx =f(x)，所以 f(x)是偶函数，答案 D 正确2 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 可作为 f(x)在 x=
5、x0 处的右导数定义；当 f(x)在 x=x0 处可导，C，D 选项才有意义；B 选项是 f(x)在 x=x0 处的导数定义3 【正确答案】 D【试题解析】 根据原函数的概念可知，任意两个原函数之间相差一个任意常数C，即选项 D 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 0，所以 A 答案错误； =+，由发散，知 发散，故 B 错误； =1，因为级数敛散性与正数 k 有关，故级数 也与正数 k 有关，因此。错误；由比较判别法可知 收敛，所以可知级数 绝对收敛，答案 C 正确5 【正确答案】 A【试题解析】 分离变量法可得： 两边积分知： 即：y=ecx(c 为任意常数) 二、填空题6 【正确
6、答案】 2【试题解析】 由等价无穷小量和函数 f(x)的连续性可知，f(0)=1，因此 f(0)=27 【正确答案】 2xarctanxln(1x 2)(1x 2)arctanx1【试题解析】 对数求导法，对函数 y=(1+x2)arctanx 两边取对数，lny=arctanx.ln(1+x2)两边同时对自变量 x 求导数得， =(1+x2)arctanx，即 y=2xarctanx+ln(1x 2)(1x 2)arctanx1 8 【正确答案】 【试题解析】 复合函数求导，y=f ，所以 y(0)=3f(一 1)=3arcsin1=9 【正确答案】 一 2【试题解析】 f(x0)f(x 0
7、)2f(x 0)=4 所以 f(x0)=210 【正确答案】 y2x+1【试题解析】 斜率 a= =2b=21=1故斜渐近线方程为 y=2x+111 【正确答案】 3【试题解析】 =312 【正确答案】 -1【试题解析】 把 y=xex，y=e xxex 代入微分方程 y+ay=ex 解得 a113 【正确答案】 dy x=0=(e1)dx【试题解析】 方程两边同时对 x 求导，1e (xy)2 (1+y)=0，因此 y=e (x+y)21，当x=0 时， y=1，故 y x=0=e1，,所以 dy x=0(e1)dx14 【正确答案】 (一 1，一 6)【试题解析】 当 x0 时，f(x)=
8、 ，f(x)=(x+1)，令 f(x)=0，得 x=1，当 x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x) 0故点 (1，6)是拐点15 【正确答案】 0【试题解析】 在三个向量组成的混合积中，若有相同向量，则该混合积必为 0，故 (a+b)(b+c).(ca)=(ab).c 一(bc).a=0三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。16 【正确答案】 =217 【正确答案】 由参数方程求导法则知18 【正确答案】 据题意，函数 y=(x+1) ， x(一，)y=令y=0，得到 x= 另外，显然 x=1 是函数 y=(x+1) 的二阶导数不存在的点 则将函数 f(x)的定义域划分，并列表如下：由表
9、可知，曲线 y=(x+1) 的凹区间为 x ，+)，凸区间为 x(一 ，为曲线的拐点19 【正确答案】 .costdt=dcost= dcost+dcost= +cost+C= +C20 【正确答案】 根据题设关系式知：e x 一 1=xer，则 =121 【正确答案】 x=1 为瑕点， ln(1 一 x2)dx= ln(1 一 x)dx+ ln(1+x)dx=xln(1一 x) xdln(1 一 x)+xln(1+x) xdln(1+x) = (x1)ln(1x)+2ln2 2=2ln2222 【正确答案】 由 f(x)=lnx 一 +k，x(0 ，+) 令 f(x)= =0，得驻点 x=e
10、， 然而： +k)，f(e)=k0，+k)所以由零点定理知：该函数在区间(0，e)与(e，+) 内至少各存在一个零点 又因为：当 x(0，e)时，f(x)0，f(x)在(0，e)上单调递增；当 x(e，+) 时，f(x) 0，所以函数 f(x)在(e， +)上单调递减；故函数在区间(0，+) 内零点个数为 2 个 23 【正确答案】 根据重要不等式： ，(x0，一 1x+)事实上，当 x0，一 1x+时，有不等式 ln(1+x)x利用此式有：则有： 成立于是可得下述不等式： 但级数 收敛，故原级数也收敛四、综合题24 【正确答案】 () 当 0aba+bC 时，因为 f(x)在闭区间0，c 上
11、可导 f(x) 在0，a和b ， b+a上都满足拉格朗日中值定理的条件 在(0，a) 内至少存在一点 1，在(b， ba) 内至少存在一点 2，使得 f(a)f(0)=f( 1)a，f(a+b)一 f(b)=f(2)a f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a 又f(x)单调递减，且 0 1ab 2a+bc f( 2)一 f(1)0，即 f(a+b)f(a)+f(b) ()当 a=0 时，f(a+b)=f(a)+f(b)，即“=” 成立 综上可知，当 0aba+bc 时，有 f(a+b)f(a)+f(b) 25 【正确答案】 令 F(x)= f(t)dt，则 F(x+T)= f(t)dt= f(t)dt+ f(t)dt 因为函数 f(x)在 一 T，T上是奇函数，所以f(t)dt= f(t)dt 且f(u)du 所以 f(u)du=0 故 F(x+T)= f(t)dt=F(x)，所以： f(t)dt 也是以T 为周期的函数26 【正确答案】 因为 I(x)= ，x2，e，所以 I(x)0 所以 I(x)在 x2，e上单调递增，所以对任意的 x2，e，都有 I(2)I(x)I(e)， 所以最小值为，I(2)= dt=0
