1、湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 13 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 y=arcsin 的定义域为 ( )（A）1，1（B） 0，1（C） (，1（D）2，12 函数 f(x)=2x cosx 在0，+) 内是 ( )（A）偶函数（B）单调函数（C）有界函数（D）奇函数3 当 x0 时，xarctanx 是 x2 的 ( )（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶无穷小，但非等价无穷小4 对于函数 y= ，下列结论正确的是 ( )（A）x=1 是第一类间断点， x=1 是第二类间断点；（B） x=1 是第二类间断点，x=1 是
2、第一类间断点；（C） x=1 是第一类间断点，x=1 是第一类间断点；（D）x=1 是第二类间断点， x=1 是第二类间断点；5 设 f(x)在 x=1 处可导，且 f(1)=1，则 = ( )（A）（B） 1（C） 2（D）46 函数 y=x4 4x 上切线平行于 x 轴的点为 ( )（A）(0 ，0)（B） (1，1)（C） (1，3)（D）(2 ，8)7 设 f(u)可导，且 y=f(ex)，则 dy= ( )（A）f(e x)dx（B） f(ex).exdx（C） f(ex)（D）f(e x)dx8 设 f(x)=ln(x+1)在0，1上满足拉格朗日中值定理的条件，则定理结论中的 =(
3、 )（A）ln2（B） ln21（C）（D）9 函数 u=x+ 在 5，1 上的最大值为 ( )10 函数 f(x)=x 极值点的个数是 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）411 设f(x)dx=x 2e2x+C，则 f(x)= ( )（A）2xe 2x（B） 2x2e2x（C） 2x(1+x)e2x（D）12 设 f(x)=ex ，则 = ( )（A） +C（B） lnx+C（C） +C（D）lnx+C13 = ( )（A）arctanx（B）（C） arctanbarctana（D）014 设 f(x)连续，F(x)= f(t2)dt，则 F(x)= ( )（A）f(x 4)（B）
4、x2f(x4)（C） 2xf(x4)（D）2xf(x 2)15 下列式子正确的是 ( )（A） 12lnxdx 12(lnx)2dx（B） 12lnxdx=34lnxdx（C） 34lnxdx 34(lnx)2dx（D） 12(lnx)2dx=34(lnx)dx16 设 ，则 01f(x)dx= ( )（A）（B） 1ln2（C） 1（D）ln217 空间直线 与平面 4x+3y+3z+1=0 的位置关系是 ( )（A）互相垂直（B）互相平行（C）不平行也不垂直（D）直线在平面上18 方程 z=x2+y2 表示的二次曲面是 ( )（A）椭球面（B）柱面（C）圆锥面（D）抛物面19 已知 z=
5、，nN +，则 = ( )（A）1（B） n（C）（D）以上都不对20 设 z=exy，则 dz= ( )（A）e xy(xdx+ydy)（B） exy(xdxydy)（C） exy(ydx+xdy)（D）e xy(ydxxdy)21 设 I= ，交换积分次序后，I= ( )22 二次积分 01dx01ex+ydy= ( )（A）e1（B） 2(e1)（C） (e1) 2（D）e 223 积分区域 D 为 x2+y21，则 xdxdy= ( )（A）0（B） 1（C）（D）24 设 L 为抛物线 y=x2 上从点 A(0，0)到点 B(2，4) 的一段弧，则 L(x2xy 2)dx+(y2x
6、2y)dy= ( )（A）54（B） 54（C） 45（D）4525 下利级数中，收敛的是 ( )26 下列级数中，绝对收敛的是 ( )27 幂级数 的收敛区域为 ( )（A）(0 ，2)（B） (0，2（C） 0；2)（D）0 ，228 下列微分方程中，为一阶线性方程的是 ( )（A）y=e x（B） y+x2y=cosx（C） y=xey（D）yy=x29 微分方程 yy=x2 满足初始条件 y x=0 的特解为 ( )30 微分方程 y+2y+y=0 的通解为 ( )（A）y=Ce x（B） y=C1ex +C2（C） y=(C1+C2x)（D）y=e x (C1+C2x)二、填空题31
7、 极限 =_32 设函数 f(x)= 在(，+)上连续，则 a=_33 若 f(x)= 且 g(0)=g(0)=0，则 f(0)=_34 已知函数 f(x)=(x1)(x2)(x 3)(x4)，则方程 f(x)=0 有_个根35 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y2)=x3y+sinx 确定，则 =_36 不定积分 =_37 设 f(t)dt=x(x0)，f(x)连续，则 f(2)=_38 曲线 y=xex 的单调增区间为_，凸区间为_39 方程 表示_40 z=f(x+y， xy)，且 f 可微，则 =_41 设 为连接 O(0，0)，A(0，1) ，B(1，2)的圆弧段，则 (ey
8、+x)dx+(xey2y)dy=_42 级数 ，当 a_时发散43 幂级数 的收敛域为_44 微分方程 =y+x3 的通解为 y=_45 微分方程 y6y+9y=e x 的通解为 y=_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 求极限47 设函数 y=xx+2x.xx，求48 求积分(x)dx，其中 f(x21)= ，且 f(x)=lnx49 计算定积分50 设 z=f2(x，xy)，其中 f 具有一阶连续的偏导数，求51 计算二次积分52 将 f(x)= 展开为(x+1) 的幂级数并求其收敛区间53 求微分方程 2x( 1)dx+ dy=0 的通解四、综合题54 曲线 y=cosx，x 与
9、两坐标轴所围成的面积被曲线 y=asinx 及y=bsinx(ab0) 三等分，求 a，b 的值55 曲线过点(1，0) ，且曲线上任一点(x，y) 处的切线垂直于该点与原点的连线，求曲线方程五、证明题56 证明：当 0x 1x 2湖北省专升本（高等数学）模拟试卷 13 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【试题解析】 要使函数有意义，须 ，求解得：0x1，选项 B 正确2 【正确答案】 C【试题解析】 因 f(x)=2 xcosxf(x)，也不等于f(x)，即 f(x)非奇非偶，选项A、D 错误；事实上，x0 时，02 x 1，而 cosx
10、 处处有界，进而 2x cosx 是 x0区间内的有界函数，选项 C 正确又 f(x)=2x .( 1)ln2.cosx+2x .(sinx)=2 x(ln2.cosx+sinx)，在 x0 的区间内，f(x) 有正、有负，进而 f(x)无一致的单调性3 【正确答案】 A【试题解析】 因 所以 x0 时，xarctanx 是比 x2 高阶无穷小，选项 A 正确4 【正确答案】 C【试题解析】 首先肯定，x=1 皆为函数的间断点，因此两点处函数皆无定义又x1 时，y0，所以 x=1 是函数的第一类间断点；又 x1 +时，y；x1 时，y ；故 x=1 也为函数的第一类间断点故选项 C 正确5 【
11、正确答案】 A【试题解析】 因 f(1)=1所以6 【正确答案】 C【试题解析】 令 y=4x34=0，得 x=1，于是所求的点为 (1，f(1)，即(1，3)7 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=f(ex)，故 dy=f(ex).exdx，选项 B 正确8 【正确答案】 C【试题解析】 因定理结论为：f(b)f(a)=f()(b a)，(ab)所以，对已知的函数及区间，应有：ln2 lnl= (10) ，进而 = 1；选项 C 正确9 【正确答案】 B【试题解析】 因 y=1 ，于是得 y=0，得驻点 x= ，又有不可导点：x=1进而计算点 x= ，x=1 ，x=5 处的函数值有： ；f
12、(1)=1， f(5)=5+ ，故函数在5，1上的最大值为 ，选项 B 正确10 【正确答案】 B【试题解析】 因 f(x)= ，于是，f(x)有驻点 x=1；有不可导点 x=0对于点 x=0：当 x0，f(x) 0； 0x1 时 f(x)0，故 x=0 为f(x)的一个极大值点；f(x)0，故 x=1 为 f(x)的一个极小值点对于点 x=1：当0x1 时，f(x)0；x 1 时综上所述，故 f(x)的极值点有 2 个11 【正确答案】 C【试题解析】 由不定积分的概念知，f(x)=(x 2.e2x+C)=2x.e2x+x2.e2x.2=2x(1+x)e2x，选项 C 正确12 【正确答案】
13、 C【试题解析】 因 =f(lnx)d(lnx)=f(lnx)+C，又 f(x)=ex ，故=elnx +C+ +C，故选项 C 正确13 【正确答案】 D【试题解析】 因为定积分 abarctanxdx 是一常数，所以其导数为 0，选项 D 正确14 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=f(x 4).(x2)=2xf(x4)，故选项 C 正确15 【正确答案】 A【试题解析】 因当 1x2 时，0lnx1，进而，lnxln 2x，于是由定积分的不等性有： 12lnxdx 12ln2xdx，故选项 A 正确；而当 3x4 时，1lnx2，进而，lnxln 2x，于是 34lnxdx 34l
14、n2xdx，选项 C 错误；而对于 B 选项，由于 lnx 为递增函数，且 1x2 时，0lnx1；3x4 时，1lnx2，故12lnxdx 34lnxdx，所以 B 错误；D 选项也错误，因12ln2xdx 12lnxdx 34lnxdx16 【正确答案】 D【试题解析】 因 ，从而， 01f(x)dx=ln(1+x) 01=ln2选项 D 正确17 【正确答案】 B【试题解析】 因空间直线 的方向向量 s=3，1，5；而平面 4x+3y+3z+1=0 的法向量 n=4，3，3，于是 s.n=34+13+(5)3=0，从而，sn；又取直线上的点( 2，2，1)，代入平面方程验证可知，点(2，
15、2，1)不在已知的平面内，故直线与平面平行，而不在平面内选项 B 正确18 【正确答案】 D【试题解析】 该曲面 z=x2+y2 可看做曲线 绕 z 轴旋转形成的旋转抛物面19 【正确答案】 C【试题解析】 20 【正确答案】 C【试题解析】 因 z=exy，故 dz=exy(ydx+xdy)，选项 C 正确21 【正确答案】 A【试题解析】 因积分区域 d 为： ，如图所示 区域 D 又可表示为： ，故积分 I 交换积分次序后 为I=04dy f(x，y)dx，选项 A 正确22 【正确答案】 C【试题解析】 01dx01ex+ydz=01exdx01eydy=(e1) 223 【正确答案】
16、 A【试题解析】 积分区域 D：x 2+y21 可用极坐标表示为： 从而=0，选项 A 正确24 【正确答案】 B【试题解析】 将路径 L 的方程代入曲线积分的被积表达式中计算 L(x2xy 2)dx+(y2x 2y)dy=02(x2x 5)+2(x22x 4)xdx =02(x+2x36x 5)dx=5425 【正确答案】 C【试题解析】 对于选项 A：u n= ，显然 ，于是级数 具有相同的敛散性；而 是 p级数，发散，故 A 选项中的级数发散；对于选项 B： ，故级数发散；对于选项 C： ，即选项 C 中的级数是公比大于 0 小于 1 的等比级数，收敛；对于选项 D：，故级数发散仅选项
17、C 正确26 【正确答案】 A【试题解析】 对于选项 A：其绝对值级数为 ，这是 p= 1 的 p-级数，故收敛，即原级数绝对收敛，选项 A 为正确选项对于选项B：u n= ，显然，u n 0，(n) ，故该级数发散；对于选项 C：其绝对值级数为 ，因 发散，故绝对值级数也发散，即原级数不绝对收敛；对于选项 D：其绝对值级数为 ，这是p= 1 的 p-级数，发散，即原级数不绝对收敛27 【正确答案】 D【试题解析】 这四个选项中，区间端点相同，故只须验证级数在区间端点是否收敛即可得答案 对于 x=0，对应的数项级数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂级数在 x=0 处收敛； 对于 x=2，对应的数
18、项级数为： ，这是绝对收敛的级数，即幂级数在 x=0 处收敛；对于 x=2，对应的数项级数为： ，这是p=21 的 p-级数，收敛，故收敛域为闭区间0 ， 2，选项 D 正确 28 【正确答案】 B【试题解析】 选项 A 中的方程是二阶微分方程，不合要求；选项 B 中的方程，是一阶微分方程且 x2y 皆为一次的表达式，该方程符合要求；选项 C 中的方程中，含 y 的指数运算，不是线性运算，不合要求；选项 D 中，含 yy项，不是线性29 【正确答案】 A【试题解析】 原方程可化为： (y2)=x2，于是方程的通解为： ，将初始条件 y x=0=2 代入通解中，得 C=2，故特解为： 选项 A
19、正确30 【正确答案】 D【试题解析】 因微分方程的特征方程为：r 2+2r+1=0，于是有特征根：r 12 =1，故微分方程的通解为：y=(C 1+C2x).ex 选项 D 正确二、填空题31 【正确答案】 【试题解析】 32 【正确答案】 -1【试题解析】 =1+2a，令 1+2a=a，则 a=1，即当 a=1 时，f(x)在 x=0 处连续，进而区间(，+)上连续33 【正确答案】 0【试题解析】 f(0)= =0(根据无穷小量与有界变量乘积仍为无穷小量)34 【正确答案】 3【试题解析】 函数 f(x)在闭区间1 ，2上满足罗尔定理的条件，则至少存在一点1(1， 2)，使 f(1)=0
20、，即方程 f(x)=0 在区间(1，2)上至少有一个根，同理 f(x)=0在区间(2 ，3)，(3，4)上分别至少各存在一根，再由于 f(x)为三次多项式，即方程f(x)=0 至多有三个根综上所述，方程 f(x)=0 有三个根分别位于区间(1，2)，(2，3)，(3，4)内35 【正确答案】 1【试题解析】 方程两端 y 对 x 求导 (2x+y)=3x2y+x3y+cosx，当 x=0 时，y=1，代入可得 y x=0=136 【正确答案】 lnsinx+cosx+C【试题解析】 d(sinx+cosx)=lnsinx+cosx+C37 【正确答案】 【试题解析】 方程两端对 x 求导：f(
21、x 2+x3).(2x+3x2)=1，取 x=1，则 f(2)=38 【正确答案】 (，1)，( ，2)【试题解析】 因 y=xex ，所以 y=ex xee x =(1x)e x ， y=e x (1 一 x)ex =(x2)e x 令 y0，得曲线的递增区间为 (，1)；令 y0，得曲线的凸区间为( ，2)39 【正确答案】 两条平行直线【试题解析】 由于圆柱面 x2+y2=4 的母线平行 z 轴且被一平行 z 轴的平面 y=1 去截，显然截痕为两条平行直线。40 【正确答案】 其中 u=x+y v=xy【试题解析】 设 u=x+y，v=xy，则 z=f(u，v)所以41 【正确答案】 【
22、试题解析】 因 ，所以积分与路径无关，改变积分路径，所以原式= 01(1+x)dx+02(ey2y)dy=e 242 【正确答案】 a e【试题解析】 43 【正确答案】 【试题解析】 44 【正确答案】 y= x3+Cx【试题解析】 变形 xyy=x 3，45 【正确答案】 y=(C 1+C2x)e3x+【试题解析】 先求对应齐次方程 y6y+9=0 的通解，因特征方程为 r26r+9=0所以 r=3 为二重根，故齐次方程的通解为：Y=(C 1+C2x)e3x，设 y*=Aex 为原方程的特解，则 y*=y*=Aex 代入原方程比较系数可得 A= 所以 y= ， 即原方程的通解为 y=Y+y
23、*=(C1+C2x)e3x+三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 原式= =1847 【正确答案】 因 y=xx.(1+2x)，于是 =(xx).(1+2x)+xx.(1+2x)=(exlnx).(1+2x)+xx.2x.ln2 =exlnx.(lnx+1)(1+2x)+xx.2xln2=xx.(lnx+1).(1+2x)+2x.ln248 【正确答案】 49 【正确答案】 50 【正确答案】 因 z=f2(x，xy)，f 可微，于是： =2f(x，xy).f 1.(x，xy)+f2(x，xy).y=2f(x ，xy).f 1(x，xy)+yf 2(x，xy) =2f(x，
24、y).f 2(x，xy).x=2xf(x ，xy).f2(x，xy)51 【正确答案】 由被积函数知，该二重积分如果先对 y 积分是不易积分的，它易于先对 x 积分，后对 y 积分因积分区域 D 为： ；区域 D 又可表示为于是，52 【正确答案】 因 f(x)= ，即所求幂级数为收敛区间为(， +)53 【正确答案】 方法一：原微分方程可化为两边积分，得：方法二：原方程可化为：y+2x.y=2x ，此方程为一阶线性非齐次微分方程，于是通解为四、综合题54 【正确答案】 曲线 y=cosx 与两坐标轴所围面积为： cosxdx=1 设曲线y=cosx 与 y=asinx 的交点横坐标为 x1，则 x1= 所以从已知：所以有：用同样方法可得b= (这里略写)55 【正确答案】 设 P(x,y)为所求曲线上任意一点，过该点的切线斜率为 y而直线OP 的斜率为 ， 由于过 P 点切线垂直 OP，所以 y= ，ydy=xdx 所以，即 x2+y2=C，由 x=1，y=0 ，所以 C=1 故所求曲线方程为x2+y2=1五、证明题56 【正确答案】
